基于Gross方程的饱和砂土液化后流动特性模型

吴海清

(上海申元岩土工程有限公司，上海 200002)

地震是人类面临的主要自然灾害之一。近年来，世界范围内地震活动频繁，如2008年中国“5·12”汶川大地震(里氏震级M=8.0)[1]，2010年智利“2·27”大地震(里氏震级M=8.8)以及2011年日本“3·11”本州岛海域大地震(里氏震级M=9.0)[2]，2018年印尼“9·28”大地震(里氏震级M=7.4)等，这些大地震中均存在因饱和砂土液化而引起的震害，因此，地震液化问题的研究仍然是土动力学与岩土地震工程领域重要的课题之一。

Seed等[3]把不排水循环剪切试验中有效应力第一次为0的状态称为“初始液化”，从而将液化过程分为“液化前(初始液化前)”和“液化后(初始液化后)”两个阶段。已有的震害调查发现，砂土层“液化后”引起的地基大变形是导致强震区各种基础设施和生命线工程遭到破坏的主要原因，因此，随着液化研究的深入，学者们越来越关注“液化后”砂土层应力应变的响应以及“液化后”地基大变形产生的机理。根据力学理论的不同,目前对砂土液化后大变形本构模型的研究主要有两类：一类基于固体力学理论，如Shamoto等[4]提出描述砂土液化后不排水剪单调剪切大变形的本构模型；另一类将“液化后”的砂土层视为一种流体，基于流体力学的理论研究大变形的问题[5]。

将液化后砂土视为一种流体是一种较新的研究思路。Sasaki等[6]利用振动台试验研究砂土液化变形问题时发现，液化砂土具有非常类似于流体的性质；Miyajima等[7]采用拖球及落球试验，根据流体力学中的公式获得液化后砂土的表观黏度。Tamate等[8]在拖管试验中，根据钢管受到的拖拽力和相似性，研究液化后砂土的流动特性。Hadush等[9]总结了几组由不同测量方法获得的表观黏度与剪应变率关系后，发现液化后砂土的表观黏度随剪应变率的增大而减小的特性。Hwang等[10]等通过沉球试验及拖管试验研究液化后地表流对桩基的影响时，同样发现液化砂土的这种特性。陈育民等[5, 11-12]通过动扭剪试验和振动台拖球试验，王志华等[13]通过自由场地基振动台试验，其他一些学者[14-20]通过空心扭剪实验、离心机振动台实验等方法，研究液化后砂土流动特性时，也获得了同样的结果，即液化后砂土是一种“剪切稀化非牛顿流体”。由于对于液化后砂土流体动力学特性的研究起步较晚，理论研究相对缺乏，在流动本构模型方面的研究尚处于初步探索阶段[14]。

笔者采用流体力学理论进一步解释砂土液化后大变形的机理，通过对动扭剪试验结果的分析，探讨可以描述液化后砂土零有效应力状态的流动本构模型。

1 流体力学方法分析液化后砂土流动特性的理论基础

1687年，牛顿在其所著的《自然哲学的数学原理》中提出牛顿内摩擦定律

(1)

由于液化砂土的流速梯度很难获得，因此，需要进一步说明该项的物理意义。如图1所示，在厚度为dy的上、下两流层间取矩形流体微团。因上、下层的流速相差du，经过时间dt后，微团除位移外，还有剪切应变dγ，即

(2)

式(2)可变形为

(3)

因此，式(1)又可写成

(4)

(5)

式(5)即为可描述液化后砂土流动特性的流动本构模型。

可以推断，砂土液化后处于零有效应力状态时，颗粒间失去土骨架结构，处于类似“悬浮”的状态，当没有受到剪应力作用时，颗粒在溶液中处于静止状态，由于颗粒本身在液化过程中受到动荷载的作用，处于杂乱无章的分布状态，一旦受到剪应力的作用，随着流动的进行，它们将沿着流动方向开始有序地排列起来，此时剪应变率开始增大，这种定向排列将随着流动的进行，越来越整齐，流动的阻力就越来越小，即其表观黏度将越来越小，这就反映出一种剪切稀化的趋势。当剪应变率较小时，不足以破坏原有的结构，即不能够使排列得杂乱无章的颗粒定向排列，此时表观黏度为常数η0且与剪应变率无关，而当剪应变率很大时，已经最大限度地使颗粒定向排列，从而颗粒已经处于有序整齐的状态，此时再增大剪应变率，表观黏度也无法再小了，即趋向于一个常数η∞，且η∞<η0。

2 非牛顿流体的流动本构模型

由于目前还没有一个普适的流动本构模型可以统一描述非牛顿流体的流动特性。因此，在研究非牛顿流体剪应变率-表观黏度之间的关系时，存在着许多流动本构模型。归纳起来可以分为两大类：一类是纯粘性流动本构模型，即在撤除剪切应力后，它们在受剪切应力作用期间的任何形变都不会恢复；另一类是粘弹性流动本构模型，即在撤除剪切应力后，它们在受剪切应力作用期间所产生的形变会完全或部分得到恢复。

张建民等[23]在研究砂土不排水循环扭剪试验时发现：初始液化后零有效应力状态时产生的剪应变分量γ0的变化特点为：γ0只在液化后有效应力过零点时产生；γ0的大小与当前的剪应力大小无关，只依赖于应力应变历史。由于笔者研究的对象为液化后处于零有效应力状态的砂土，只需要考虑剪应变分量γ0，即在此状态下，砂土不存在土骨架的概念，因此，该研究对象属于纯粘性流体。

根据式(5)，可以得出广义的非线性粘性流动本构模型，即

Sij=η(Π)Aij

(6)

式中：Sij为偏应力张量；Aij为一阶Rivlin-Ericksen张量;Π为Aij的第二不变量。

为了获得流动本构模型方程式(6)，需要知道

η=η(Π)

(7)

表1中列出了7种常用的纯粘性流动本构模型。

表1 纯粘性流动本构模型Table 1 Viscous flow constitutive model

注：表格中τ0为初始屈服应力；K为时间量纲下的常数；λ1、λ2、m为无量纲常数。

3 基于动扭剪试验结果分析液化后砂土的流动本构模型

3.1 试验方法

试验采用河海大学岩土所和日本圆井株式会社共同研制的静动多功能三轴试验仪。采用的砂样为重塑试样(颗粒比重G1为2.56，有效粒径d10=0.16 mm，限制粒径d60为0.42 mm，最大孔隙比emax为0.974，最小孔隙比emin为0.568，不均匀系数Cu为2.63，曲率系数Cc为1.17，粘粒含量为0%)，试样采用空中砂雨法制备。试验中，采用先通CO2气体排除试样中空气，再通脱气水，然后再施加反压的方法进行饱和，确保饱和度B≥0.97。试样完成固结操作后，在不排水条件下以一定的动剪应力比给试样施加动扭剪应力，当试样发生初始液化后，继续施加动扭剪应力，以此来模拟液化后砂土的流动特性。试验中考虑了不同初始相对密实度和前期固结应力对流动特性的影响，具体方案如表2所示。

表2 动扭剪试验方案Table 2 Experimental plan of dynamic torsional teat

3.2 分析方法

根据流体力学中常用的建立流动本构模型的方法，即采用实验数据建立流变曲线进行参数拟合。为了确定描述液化后砂土非零有效应力状态的流动本构模型，将根据动扭剪试验结果绘制成的流变曲线作为研究对象。根据所采用流动本构模型的形式，流变曲线采用剪应变率-表观黏度之间的关系曲线。剪应变率和表观黏度均由试验数据计算获得，公式为[11]

(15)

(16)

式(15)中γi-1、γi和γi+1分别对应时间ti-1、ti和ti-1时的剪应变，表观黏度η的国际单位是Pa·s，由于在处理试验数据时发现液化后砂土的表观黏度较大，所以，在数据分析中采用的单位为kPa·s。

表3 动扭剪试验数据整理Table 3 Experimental data reduction of dynamic torsional teat

注：加载周期中24#表示循环荷载第24周的第一半周加载；23.5#表示循环荷载第23周的第二半周加载。

3.3 剪应变率-表观黏度曲线拟合

将试验结果中超孔压比接近1.0的液化后砂土剪应变率-表观黏度的关系采用不同的流动本构模型进行曲线拟合，绘出流变曲线。采用的数据组为No.9、No.10、No.13、No.14、No.25和No.26。

图2为采用不同流动本构模型进行曲线拟合的结果，从图2可以发现，Carreau方程和Gross方程能较好地拟合出试验结果。尽管两个方程均为4参数方程，但Carreau方程在形式上比Gross方程更加复杂，因此，考虑在工程上本构模型越简单越方便应用的原则，选择Gross方程作为液化后砂土零有效应力状态的流动本构模型。

图2 不同试验参数下液化后砂土的剪应变率-表 观黏度关系及不同本构模型的拟合结果Fig.2 Relationship between shear strain rate and apparent viscosity and Fitting results of different constitutive equations

3.4 Gross方程曲线拟合的结果分析

采用Gross方程进行曲线拟合，拟合的方式为最小二乘法。调整相关度后，拟合度均达到了0.99，说明拟合出来的曲线和实验数据点之间具有良好的相关度。

图3为不同相对密实度下Gross方程的拟合结果，从图中可知，在同一个周期的两次加载过程中，“第一半周加载”和“第二半周加载”为两个独立的加载过程，剪应变率-表观黏度关系不一致。主要原因是，两个加载过程的方向相反，应力-应变历史不一致，因此，有必要把两个加载过程分开分析。

图3 不同相对密实度下液化后砂土的剪应变率-表 观黏度关系及Gross方程拟合结果Fig.3 Relationship between shear strain rate and apparent viscosity and Fitting results

从图3(a)中拟合曲线可知，当剪应变率相同时，相对密实度不同的液化后砂土，其表观黏度不同，其中，相对密实度为40%的液化后砂土表观黏度大于相对密实度为30%的液化后砂土，反映了松砂的表观黏度随相对密实度的提高而增加，即提高相对密实度可以增强疏松砂层液化后抵抗变形的能力。产生这一现象的原因是：松砂在振动受剪时，颗粒可以滚落到平衡位置，使得排列更加紧密，表现出剪缩性，当液化后砂土流动时，砂颗粒会重新排列，趋于整齐，砂颗粒越紧密，趋于整齐的过程中受到的流动阻力就越大。相对密实度为50%的液化后砂土，其表观黏度与相对密实度的关系没有反映出松砂的特性，产生这一现象的原因是：紧砂在液化后大变形的过程中，主要体现了剪胀性，即紧砂在振动受剪时，颗粒只能通过抬高或者错位来离开原有位置，表现为剪胀性，当液化后砂土流动时，砂颗粒同样会重新排列，趋于整齐，趋于整齐的过程中受到的流动阻力随着砂颗粒的齐整程度而减小。图3(b)中也存在类似的情况。

由图3(c)中拟合曲线的走势可知，在相对密实度和固结应力相同时，同一剪应变率对应的表观黏度随着循环周期的增长而增长，图3(d)中也存在类似的情况。产生这一现象的原因是：液化后零有效应力状态下砂土的流动过程即是砂颗粒重新排列整齐的过程，进行这一过程前，就已经存在过一次砂颗粒排列整齐后再被打乱的循环，本次重新排列过程势必受到上一次的影响，并且这样的影响是一种累加的过程，即建立在前一次循环基础上的后一次重新排列过程要更困难，张建民等[17]的研究也发现，液化后零有效应力状态时，砂土经历的前期最大剪应变越大，此后发生的剪应变也越大。此外，从图中相同条件下不同循环周期的拟合曲线分布较密可知，这种应力-应变历史导致表观黏度的增长幅度不大。

图4为不同固结应力下Gross方程的拟合结果，从拟合曲线的走势可知，在剪应变率相同时，同一相对密实度的液化后砂土表观黏度在固结应力为100 kPa时比在固结应力为50 kPa时大，即相同条件下，固结应力越大，液化后砂土流动时受到的阻力越大，产生这一现象的原因是：前期固结应力越大，砂颗粒之间越密实，当液化后砂土开始流动，砂颗粒开始重新排列整齐时，如果砂颗粒之间接触得越紧密，则这种重新排列的过程越困难，从而流动阻力增大。

图4 不同固结应力下液化后砂土的剪应变率-表 观黏度关系及Gross方程拟合结果Fig.4 Relationship between shear strain rate and apparent viscosity and Fitting results

3.5 液化后砂土基于Gross方程的本构模型探讨

由式(12)可知，Gross方程中包含4个参数：零剪切表观黏度η0，极限剪切表观黏度η∞，时间量纲下的参数K和无量纲参数m。这些参数在描述液化后砂土零有效应力状态下的流动特性时，具体表现为：

1)无量纲参数m不受初始相对密实度、前期固结应力、同一荷载周期内加载方向以及循环荷载周期的影响。

2)时间量纲下的参数K，单位为s，受初始相对密实度、前期固结应力以及同一荷载周期内加载方向的影响，但与循环荷载周期无关。在试验结果中，当处于“第一半周加载”时，参数K随前期固结应力单调递减，初始相对密实度越高，参数K越小；当处于“第二半周加载”时，参数K随前期固结应力单调递减，初始相对密实度越高，参数K越大。参数K的表达式可以写为

(17)

式中：σ3为前期固结应力；Dr为初始相对密实度；T=0时，处于“第一半周加载”，T=1时，处于“第二半周加载”。

3)零剪切表观黏度η0和极限剪切表观黏度η∞，单位为kPa·s，受初始相对密实度、前期固结应力、同一荷载周期内加载方向以及循环荷载周期的影响，在试验结果中，当处于“第一半周加载”时，η0和η∞随循环荷载周期单调递增；η0和η∞随固结应力单调递增；η0和η∞随相对密实度单调递增。当处于“第二半周加载”，η0和η∞随循环荷载周期的增加在低固结应力时单调递增，在高固结应力时单调递减(由于递减的幅度很小而且数据组数量有限，这里考虑到试验精度以及物理性质的统一性，函数关系依然采用递增关系)；η0和η∞随固结应力单调递增；η0和η∞随相对密实度单调递增。η0和η∞的表达式可以写为

(18)

式中：n为循环荷载周期数。

由于筛选出的试验组数量有限，式(17)和式(18)具体的形式还有待更多的试验数据来进行拟合推导。

4 结论

开展了液化后砂土零有效应力状态的流动本构模型研究，得出以下主要结论：

1)液化后砂土在零有效应力状态时，表现为一种固液混合流体，其流动特性可以归属于混合粘性流体的研究范畴，这种混合流体结构导致其剪应变率-表观黏度的流动曲线上出现了“零剪切表观黏度”η0和“极限剪切表观黏度”η∞。

2)对动扭剪试验结果的分析表明：液化后砂土在零有效应力状态下，相对密实度较低时，即松砂相对密实度越高，液化后砂土流动时表观黏度越大，相对密实度较高时，则反映了紧砂的剪胀性；液化后砂土流动过程中受到的阻力随着受剪循环周期的增加而增加；前期固结应力越高，液化后砂土流动过程中受到的阻力越大。

3)对动扭剪试验结果的拟合表明，Gross方程可以较好且相对比较简洁地描述液化后砂土零有效应力状态时的流动特性，其方程中的参数在加载过程的“第一半周加载”和“第二半周加载”是相互独立的，并且通过对拟合参数的分析，得到了时间量纲下的参数K以及零剪切表观黏度η0和极限剪切表观黏度η∞的函数关系。

动扭剪试验获得的有效数据数量有限，为获得液化后砂土零有效应力状态的流动本构模型的具体形式，还需要开展更多的室内试验进行验证和校正。