基于DE算法的重力坝坝基多斜面抗滑稳定可靠度研究

钱 龙，王 刚，许丽娜，赵云兴

(1.大连理工大学水利工程学院，辽宁 大连 116024；2.大连连大安全职业卫生技术服务中心有限公司，辽宁 大连 116021)

目前我国在建或拟建的大型水利水电工程多为高坝大库，安全问题非常突出。重力坝作为大坝建设的主要坝型之一，在考虑复杂地质条件的情形下研究其坝基稳定安全性仍具有重要的现实意义。另外，随着大坝的设计理论和筑坝技术长足的发展，当前重力坝的破坏风险研究将集中于存在诸多不确定性因素的坝基深层抗滑稳定问题上[1]。结构可靠度方法是目前国内外分析重力坝稳定性的一种常用方法，是结构安全分析与风险分析之间的“桥梁”，它通过计算重力坝的可靠指标β以判断该工程是否满足设计及长期使用功能[2]，并明确其失效风险概率。水利工程中可靠指标β的计算方法主要有一次二阶矩法、蒙特卡洛数值模拟方法等[3]，而对于隐式极限状态问题，多采用响应面法[4]，通过多次迭代运算从而拟合功能函数。若可靠度计算针对更为复杂的高度非线性隐式功能函数问题，上述方法可能存在计算无法收敛或者计算量大的缺陷。目前可以依据可靠指标β的几何涵义[5]，将可靠度计算转化为约束最优化问题，并通过群体智能优化方法来求解。差分进化(DE)算法是一种基于种群的进化方法，它尝试通过重组、变异和优胜劣汰进化出更好的结果[6]。本文尝试将改进的DE算法应用到重力坝多斜面抗滑稳定可靠度计算中，对现有可靠度计算方法进行有益补充，为当前大坝风险评估提供有实际意义的技术支持。

1 可靠指标 β优化模型

1.1 可靠指标 β的几何涵义

在标准正态坐标系中，极限状态曲面为g(X1，X2，…，Xn)=0，P(X1，X2，…，Xn)=0是该曲面上的点。验算点Xi是原点到极限状态曲面距离最短的点，可靠指标β是原点到极限状态曲线的最短距离。如若随机变量相互独立且均服从正态分布，可以得到可靠指标β的约束优化模型

(1)

式中，μXi和σXi分别为Xi的平均值和标准差。

1.2 随机变量Xi的处理

实际工程中，抗剪断摩擦系数f′和粘聚力c′等岩土力学参数对重力坝抗滑稳定影响比较大，在可靠度计算中，可根据坝址地质条件，将这些力学参数视为具有一定分布类型和变异系数的随机变量，进行失稳概率的计算。若随机变量非正态分布或者存在相关性，则需要对随机变量进行处理，得到等效的正态分布且相互独立的随机变量。

对于非正态分布的随机变量，可以采用当量正态化方法对随机变量进行处理，即在验算点P*处，令Xi和Xi′的累积分布函数和概率密度函数分别相等，得到等效正态分布的均值μXi和标准差σXi带入智能算法进行优化计算[7]，即

(2)

式中，FXi(Xi)和fXi(Xi)分别为Xi的累积分布函数和概率密度函数。

如若随机变量之间存在相关性，可以利用变量{X}的协方差矩阵[CX]，在基本向量空间中求解β的优化方法模型[8]。变更之后的β计算公式如下

(3)

式中，E({X})为变量{X}的平均值向量。

2 改进的DE算法

2.1 DE算法

基本DE算法的实现包括以下4个主要环节：

(1)种群初始化。此阶段，需要确定种群的结构，比如向量的维度D，每代种群的数量Np，以及初始参数的上下界等。

(2)变异。算法对种群进行变异和重组操作来产生一个由Np个试验向量构成的种群。本文变异方法是从种群中选择3个相异个体，进行如下操作：

vi，g=xr1，g+F(xr2，g-xr3，g)

(4)

式中，vi，g为变异之后的个体；xr1，g、xr2，g、xr3，g为当前种群个体；r1、r2、r3为当前种群个体的索引，r1≠r2≠r3；i为个体编号；F∈(0， 2)为变异缩放因子。

(3)交叉操作。为保持种群多样性，交叉操作时仅保留一部分变异操作。本文使用二次项交叉原则，每个变异操作时都生成一个0到1的随机数，若随机数小于交叉因子CR，则此变异操作被保留。

(5)

式中，i为个体编号；j为个体向量编号；g为进化代数；CR为交叉因子；ui，j，g为试验个体；vi，j，g为变异操作后的向量；xi，j，g为变异操作前的向量。

(4)选择操作。DE算法将试验个体ui，g与当前个体xi，g进行竞争，本文为最小值优化问题，故函数值较小的个体被保留。

(6)

式中，xi，g+1为下一代个体；f(·)为个体适应值。被保留的个体参与下一代进化，直至函数迭代结束，得到目标函数最优值。

2.2 DE算法的改进

本文求解的是约束优化问题，约束处理包含于DE算法的第(4)步选择操作中。选择操作对种群个体采用的比较准则为可行解优先准则，即：若两个解决方案都满足约束条件，则较小目标函数获胜；两个解决方案中有且仅有一个满足约束条件，满足约束条件的获胜；两个解决方案均不满足约束条件，那么约束违反程度较小的获胜。

这个比较准则的缺陷在于强调可行解优于非可行解，在求解可靠度的过程中，如果初始值的上下界预估不合理导致第一代就陷入局部极值，那么之后的子代都会陷入局部极值，此外，在算法的进化后期也容易出现进化停滞现象。因此，改进的主要思路是引入种群约束允许放松程度的概念，通过构造一种比较准则，使得进化过程可以充分利用种群中优秀非可行解的信息，让可行域边界上拥有较优目标的非可行函数解也能进入种群。随后逐步减小种群约束放松程度，直至为0，使种群完全由可行解组成。该方法被称为ε-DE算法，在约束优化问题领域效果显著[9]。

首先，定义种群个体违反约束程度之和

G(X)=max{0，|hj(x)|-δ}

(7)

式中，hj(x)为等式约束条件；j为等式约束条件的编号；δ为约束的放松程度，它是进化代数gen的函数，见式(8)。同样形式的函数还有种群约束允许放松程度ε，它表示种群进化到gen代时个体X违反程度G(X)的界限，见式(9)。

(8)

(9)

式中，θ1，θ2分别为每进化一代，δ，ε缩小的比例，本文均取1.05。

算法根据ε(gen)来定义可接受解和不可接受解，当种群进化到第gen代时，如果0ε(gen)，则个体X为不可接受解。定义完成后，比较准则变更为：两个都是可行解，目标函数小的获胜；两个都是非可行解，约束违反程度G(X)小的获胜；一个是可行解一个是非可行解，分两种情形，如果非可行解是可接受解，那么比较非可行解和可行解的目标函数，小的获胜，如果非可行解是不可接受解，那么可行解获胜。

3 工程实例

3.1 工程概况

某水电工程是以发电为主的大型水库电站，工程规模为二等工程，永久主要建筑物为2级建筑物，按照国家规范正常工况情况下其稳定性目标可靠指标取3.7。该工程采用混凝土重力坝，最大坝高119.00 m，坝顶高程2 564.00 m，正常蓄水位2 560.00 m，对应的下游水位为2 471.61 m，淤沙高程2 497.70m，渗透扬压力系数为0.25。以该坝的典型坝段6号坝段为例，其建基面高程为2 445.00 m，岩基内存在较多的缓倾角软弱结构面，可能存在A、B、C3条滑移通道，岩基深层滑动面的断层连通率按照100%进行计算。

3.2 滑移通道B的可靠度计算

根据文献[10]，可使用重力分配法和等安全系数法构建多斜面情况下的极限状态方程，此时极限状态方程为复杂的非线性方程组，安全系数K隐含在方程组之中，即可靠度计算的功能函数是典型的非线性隐式功能函数，且滑动面数目越多，非线性程度越高，常规一次二阶矩法难以解决该问题。本文以滑移通道B为例，进行可靠度分析，基岩分为3个滑块，按多斜面模型进行考虑，其中坝踵拉裂面为B1-B2，底滑面分别为B2-B3、B3-B4、B4-B5，3个底滑面的断层倾角分别为-14.04°、-15.78°、-13.85°。断面示意见图1。

图1 滑移通道B滑块示意

随机变量取滑移通道上的抗剪断摩擦系数f′和粘聚力c′结合以往研究统计数据和实际地质力学参数，各滑裂面f′与c′的特征值拟定见表1。

表1 基岩结构面参数的统计特征

计算中抗剪断摩擦系数f′服从正态分布，粘聚力c′服从对数正态分布。分别采用蒙特卡洛(MC)法和本文方法计算，并且分为不考虑相关性系数和考虑相关性系数为-0.3两种情况，MC法抽样次数为300万次，本文方法中，种群个体数为20个，变异缩放因子F取0.8，交叉因子CR值取0.7，随机变量的上下界分别取μXi±3σXi，其中μXi和σXi为fi与ci的平均值和标准差，得到结果见表2。

表2 2种方法计算成果比较

从表2可知，以MC方法计算结果作为参考，DE法计算结果与其计算结果吻合较好，可靠指标β相差仅为1.8%和2.1%，失效概率量级一致，精度能满足工程需要；考虑参数负相关性之后，工程失效概率较不相关情况更小，实际上，根据文献[11]，抗剪断摩擦系数f′和粘聚力c′之间为负相关性，且相关性越弱，可靠指标β越小，对大坝的安全性越不利；计算过程DE算法相对于蒙特卡洛法效率较高，几分钟就能得出结果，参数不相关情况下的DE算法收敛过程见图2。

图2 算法收敛过程

从图2可以看出，算法的初期收敛波动幅度较大，这是因为ε-∑DE算法在进化初期约束放松程度较大。算法的约束放松程度会随着迭代次数的增加而收紧，这样能进行更好的全局化寻优，避免算法前期收敛速度过快轻易地陷入局部极值。在复杂极限状态方程时的可靠度计算中，算法迭代数千代(本文算例用时3～4 min)以后，即可获得比较精准的结果。

3.3 f′的均值和c′的均值变化对可靠指标的影响

多斜面情况下的可靠度敏感性分析目前研究较少，本文主要讨论f′的均值和c′的均值变化对可靠指标的影响。f′服从正态分布，c′服从对数正态分布，且不考虑其相关性。讨论某个参数的敏感性时，其他参数不变，且采用表1值(如f1变动时，f2、f3、c1、c2、c3取值均采用表1值)。根据当地地区基岩结构面参数的统计特征，f1、f2、f3、c1、c2、c3均值取值见表3，使用DE算法求可靠指标β，结果见表4。

表3 f′均值和c′均值的取值

从表4知，可靠指标β随着抗摩擦系数f′均值的增加而增加。其中，f3值的改变，对β的影响最大，f1均值的改变对β影响最小；随着粘聚力c′的增加，可靠指标β逐渐增加，其中c3值的改变对β的影响最大，而c1和c2的改变对β的影响较为相近。

4 结 论

本文使用改进的DE算法对某重力坝多滑面抗滑稳定进行了研究，结论如下：

表4 f′均值和c′均值对可靠指标的影响

(1)本文方法能兼顾精度和效率求得工程的可靠度指标，对于功能函数是隐式非线性方程组的情况也能很好地处理，同时也能考虑随机变量的分布类型和相关性，适用性比较强。

(2)通过工程实例可知，本文方法能有效应用在计算及分析重力坝基岩复杂多滑面抗滑稳定可靠度的场合，在实际工程中，多滑裂面是更为一般的情况，本文可为重力坝抗滑稳定安全分析的进一步研究提供新的技术支持。