一种静定单跨梁弯曲内力的编程计算方法

闻扬琎 陈小亮 蒋利成

（重庆科技学院建筑工程学院，重庆401331）

陈俊旗等人[1]以梁的弯曲内力和弯曲应力的教学为例,介绍了有限单元法辅助教学的过程, 帮助学生可以更好地理解梁弯曲时的内力和应力, 尤其对弯曲时横截面上的正应力有一个更为直观的认识。冯丽[2]基于弯曲内力方程与数学函数存在一致性,在数学教学中引入内力函数,而在力学教学中强化数学分析,达到了知识整合的目的。热依汗·依不拉依木和陈国新[3]在有关教材规定符号方法的基础上总结出一套通俗易懂的方法, 方便学生掌握弯曲内力正负规定和计算方法。史双喜和丁少玲[4]引入MATLAB 语言编程计算弯曲内力和作图, 可使内力的分析更直观,从而激发学生学习兴趣,大大提高教学效率。王晔和杨姝[5]将MATLAB 和具体的材料力学课程相结合, 对培养学生应用科学计算工具解决工程实际问题进行了探索。刘永丰[6]给出了弯曲内力计算除截面法以外的几种计算方法，这几种方法的特点是不需要先计算支座约束反力，而是由荷载直接计算出梁的内力。周蔚宇[7]探讨了用奇异函数求梁的弯曲内力和变形。王泉祥[8]提出一个应用奇异函数解决梁的弯曲内力、变形及静不定问题的简便方法，用该方法可将作用在梁上的各种载荷用一个载荷集度函数表示，通过积分,全梁的剪力、弯矩、转角和挠度可分别用一个方程表示。吉蔚[9]建立了等直梁弯曲内力和变形的普遍方程式。

1 左端固定的悬臂梁弯曲内力计算

首先定义一个奇异函数 δ（x）：

图1 左端固定的悬臂梁

图1（a）所示左端固定的悬臂梁在任意集中力F 作用下的弯曲剪力和弯矩可表示为：

图1（b）所示左端固定的悬臂梁在任意集中力偶Me 作用下的弯曲剪力和弯矩可表示为：

图1（c）所示左端固定的悬臂梁在任意分布力q 作用下的弯曲剪力和弯矩可表示为：

注意，本文外力当中的集中力和均匀分布载荷均假定向上为正、集中力偶假定逆时针为正，内力（剪力和弯矩）的正负号遵循工程力学教材的规定。

2 右端固定的悬臂梁弯曲内力计算

图2 右端固定的悬臂梁

图2（a）所示右端固定的悬臂梁在任意集中力F 作用下的弯曲剪力和弯矩可表示为：

图2（b）所示右端固定的悬臂梁在任意集中力偶Me 作用下的弯曲剪力和弯矩可表示为：

图2（c）所示右端固定的悬臂梁在任意分布力q 作用下的弯曲剪力和弯矩可表示为：

3 简支梁和外伸梁的支座反力计算

图3 简支梁和外伸梁的支座反力

如图3 所示，简支梁或外伸梁的两个支座距离梁左端的距离分别为b 和c，所受集中力F 或集中力偶Me 的位置距离梁左端的距离为b。则图3（a）所示简支梁或外伸梁在任意集中力F作用下的支座反力可表示为（外力假定向上为正）：

图3（b）所示简支梁或外伸梁在任意集中力偶Me 作用下的支座反力可表示为：

对于简支梁或外伸梁在任意分布力q 作用下的支座反力，可先把分布力等效为一个集中力，然后就可以按照公式（14）-（15）计算两个支座反力。

4 讨论

对于左端固定的悬臂梁受任意集中力、集中力偶、均匀分布载荷作用，可基于叠加原理利用公式（2）-（7）计算梁的剪力和弯矩；对于右端固定的悬臂梁受任意集中力、集中力偶、均匀分布载荷作用，可基于叠加原理利用公式（8）-（13）计算梁的剪力和弯矩；对于简支梁或外伸梁受任意集中力、集中力偶、均匀分布载荷作用，首先基于叠加原理利用公式（14）-（17）计算梁的两个支座反力，然后把支座反力也看成集中荷载，就可以基于叠加原理利用公式（8）-（13）计算梁的剪力和弯矩。本文探讨的静定梁弯曲内力计算方法对于弯曲内力的编程计算是非常便利的。