例析七年级数学规律题的解题策略

梁燕

【摘要】在数学中，规律探究是一种题型，是根据特殊的一列数字或一组图形进行类比、归纳、猜想找出存在的一般关系，从而列出代数式。规律探究题在历年的中考题中屡见不鲜，题型可涉及填空选择或解答题，它是近几年中考试题的命题热点。规律探究更是一种能力的体现，不仅考查了学生的分析观察和总结归纳的能力，更是考查了学生的探究创新和解决问题的能力。本文主要围绕七年级数学规律題的常见类型和解题策略两方面来进行探究，引导七年级学生掌握数学规律题的解题方法。

【关键词】规律探究;数字图形计算

学生由小学升入中学后，不仅学科的数量增加了，而且所学知识的广度和深度也在增加，尤其是数学学科。例如，在抽象的代数世界里，奇妙的字母可以帮助我们方便地表达无数多的研究对象，在七年级数学中学习了用字母表示数后，把数字发展到了符号，因此，求解规律题的难度更是加大了。同时，七年级学生理性思维存在局限性，探究知识的经验不足，会导致有些七年级学生对数学规律题感到困难，因此，如何引导学生转变思维和掌握探索方法，是七年级数学教师面临的重要任务。七年级数学的规律题大部分是数字中的规律和图形中的规律，下面将围绕这两类常见的题型进行解题策略的探究。

一、数字中的规律

1.按某种算法排列

例1：在如图所示的数据运算程序中，当第一次输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是6……，求第2019次输出的结果。

解：把x=2代入得×2=1;把x=1代入得1+5=6;

把x=6代入得×6=3;把x=3代入得3+5=8;

把x=8代入得×8=4;把x=4代入得×4=2;

把x=2代入得×2=1;…

以此类推，由2019÷6=336…3，可得第2019次输出的结果为3。

分析：规律通常隐藏在求解数列的过程中。此题把x=2代入程序中计算，当把前7次的结果求出来后，则发现所有结果组成的数列具有周期性，以6个数字为一组，只要算出2019中有多少组，即可确定出第2019次输出的结果。在这类型的规律题中，弄清题中的程序图是解题的关键，程序图中隐藏着代数式的求值，只要把求值的结果列出来，就可以快速地找出周期并得到一般性规律。

2.按某种形状排列

例2：有一组数排成如图（1）的形式，若继续排下去，求第8行从左边数第14个数。

解：观察图中数据的特点：奇数是负数，偶数是正数;每行最后一个数是这个行数（偶数）的平方或是这个行数（奇数）的平方的相反数。因此，第7行最后一个数字是﹣7×7=﹣49，那么第8行从左边第14个数是：﹣（49+14）=﹣63。

分析：这种规律题的图形往往隐藏着很多信息。首先此题所有的数都是按照“塔形”来排列;数列中还隐藏着符号的规律，奇数是负数，偶数是正数;除此之外，随着行数的增加，数列的排列个数等于行数的2倍减1，找出数字排列的特点是解题的关键。

另外，此题非常容易进行变式，例如：如图（2），将从1开始的自然数按以下规律排列，位于第3行第4列的数是12，求位于第45行第1列的数和第7列的数。同样的，仔细观察数字排列的特点可知：第n行第一个数是n2，可得第45行第1列数是2025，推出第45行第7列的数是2025﹣6=2019。

3.按某种定义排列

例3：符号“a”，“b”分别表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：

（1）a（1）=0，a（2）=1，a（3）=2，a（4）=3，…，a（10）=9，…;

（2）b（）=2，b（）=3，b（）=4，b（）=5，…，b（）=11，…。

利用以上规律计算：b（）﹣a（2017）=（）

解：观察运算结果，设m、n为正整数，则有：a（m）=m﹣1;b（）=n。可得：b（）﹣a（2017）=2017﹣（2017﹣1）=1。

分析：在这种规律题中，数列中的数字之间往往不存在很大的联系，反而是与原数的关系密切。此题中的符号“a”“b”显然是表示一种新定义运算，要观察每个数在新定义下的结果与原数之间的联系与变化。例如，在m、n为正整数的前提下，对于运算“a”是m与m﹣1的关系，对于运算“b”是与n的关系，同时值得一提的是此题中的m与n并无联系，但这一点往往是出题者进行变式的依据。

二、图形中的规律

1.求图案中基础图形的个数

例4.下图是一组有规律的图案，求组成第（10）个图案的基础图形的个数。

解：第（1）个图案由4个基础图形组成，4=3+1;第（2）个图案由7个基础图形组成，7=3×2+1;第（3）个图案由10个基础图形组成，10=3×3+1;…第（n）个图案由（3n+1）个基础图形组成;所以，第（10）个图案有10×3+1=31个基础图形。

分析：在图形的规律题中，很显然图形是主角。这种类型规律题是求组成图案的基础图形的个数问题，每组图案都按某种规律进行变化，因此，仔细观察每组图案中基础图形数量的递增变化是解题的关键。此题先写出前三个图案中基础图形的个数，并得出后一个图案比前一个图案多3个基础图形，从而得出第（n）个图案中基础图形的个数规律是（3n+1）个。

对于七年级学生来说，找出每组图案中基础图形数量的递增变化难度不大，但是有些题在计算上可能需要一些技巧。例如，把上题的图案变为下图，求第（10）个图形中小正方形的个数。此题不难发现图案中正方形个数的变化规律，第（1）个图形中正方形的个数为1;第（2）个图形中正方形的个数为1+2=3;第（3）个图形中正方形的个数为1+2+3=6;第（4）个图形中正方形的个数为1+2+3+4=10;则第（10）个图形中正方形的个数为1+2+3+…+10=55。对于七年级学生来说，数列求和是高中代数的内容，有一定难度，大部分数列求和在计算上都需要一定的技巧。

2.求图形分割后的个数

例5：将图①中的正方形剪开得到图②;将图②中的一个正方形剪开得到图③;将图③中的一个正方形剪开得到图④……如此下去，求第2019个图中共有多少个正方形。

解：观察上图，图②中共有4个正方形，即3×0+4;图③中共有7个正方形，即3×1+4;图④中共有10个正方形，即3×2+4……图n中共有正方形的个数为3（n﹣2）+4;所以，第2019个图中共有正方形的个数为3（2019﹣2）+4=6055。

分析：例5与例4在图形上形成鲜明对比，例4是“补”，例5是“割”。观察图案的变化，后一个图案的正方形的个数都比前一个图案的正方形的个数多3个，从而得到第（n）个图案的正方形的个数为3（n﹣2）+4。此题的问法和解法与上题非常相似，这两个例题都是属于“数”图形的个数，把图形转化为数字规律，写出算式并观察算式的基本结构，通过比较算式中相同部分和不同部分的数量关系，写成用序号与变量表示的关系式。

除了利用数形结合的方法找出规律外，出题者往往会在问法和解法这两方面进行变式，考查学生充分利用几何图形的特征和相关知识去发现规律的能力。例如，将如图所示的长方形ABCD纸片任意剪N刀，你能发现图中的角存在什么数量关系吗？此题借助添加辅助线，利用平行线的性质可得：由图1得∠1+∠3=∠2;由图2得∠1+∠3+∠5=∠2+∠4;由图3得∠1+∠3+∠5+∠7=∠2+∠4+∠6;则将矩形纸片任意剪N刀，会发现标号为奇数的角的和等于标号为偶数的角的和。

探究数学规律题就是一个感受数学美的一个过程，不同类型的规律题都有各自不同的解题方法，只要我们不怕困难、积极探索，肯定能顺利揭开规律题的神秘面纱。

参考文献：

[1]卢仲红.浅谈初中数学的规律探究[J].文理导航（下旬），2016（4）.

[2]王林飞.浅谈初中数学中考规律性问题[J].教育科学（全文版），2017（3）.

[3]张正东.浅谈初中数学探究式教学[J].中学数学参考，2014（20）.