怎样发射沿椭圆轨道运动的人造地球卫星

范旺

摘要：人教版高中物理必修Ⅱ中对于第二宇宙速度只进行了简单的叙述，并没有给出更多的解释.本文通过介绍椭圆曲率半径的知识，引导学生利用已有的动力学知识导出这一结论.

关键词：第一宇宙速度 第二宇宙速度 离心运动

在高中物理人教版必修Ⅱ《万有引力定律》一章的学习中，对人造卫星的发射问题学生有普遍的认识：“地球的第一宇宙速度值是7.9km/s，第二宇宙速度值是11.2km/s，当发射卫星的速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间时，卫星沿椭圆轨道运动，地球位于椭圆一个焦点上.”那么其中的道理何在呢？本文从动力学角度来探讨这一问题.

如图1所示，围绕地球做圆周运动的卫星在圆轨道的A点点火加速后，卫星将发生离心运动，只要速度合适卫星就会围绕地球沿椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点上.

设卫星沿圆轨道经过A点的速度设为v1，沿椭圆轨道经过A点速度设为v2，则沿圆轨道经过A点时的向心加速度an1=v21r，其中r表示圆的半径;沿椭圆轨道经过A点时的法向加速度为an2=v22ρ，其中ρ为椭圆在A点的曲率半径.根据牛顿第二定律，沿两不同轨道经过A点时卫星受到地球的引力大小、方向是一定的，因而an1=an2.因此要探讨v1和v2的关系只需求出椭圆在该点的曲率半径，问题就可迎刃而解.

一、求椭圆在点P处的曲率半径

如图2，设椭圆的半长轴为a，椭圆的半短轴为b，焦距为2c.把椭圆投影在水平面上则投影图形是圆，其半径r=b.故图中cos θ=ba.

设质点沿椭圆运动经过P点时速度为v，则质点沿投影圆运动，在P点的速度也是v;另设质点沿椭圆经过P点的法向加速度设为an1，沿圆经过P点的向心加速度设为an2，可知：an2=an1·cos θ，而an2=v2r=v2b，an1=v2ρ，从而可以解出椭圆在P点的曲率半径ρb2a，用同样的方法也可求出椭圆在短轴两端的曲率半径.

二、讨论在图1中，v1和v2的关系

由an1=an2，其中r=a-c，ρ=b2a有：v21a-c=av22b2，由椭圆知识可知：a2=b2+c，故v2=a+cav1.而椭圆的离心率e=ca，0

若v1为地球的第一宇宙速度，则当发射速度为7.9km/s

三、已知椭圆其中一个焦点、近拱点、离心率以

及表示椭圆在三维空间的倾向法向量，可以得到此椭圆的公式

1.根据焦点和近拱点，得到近拱点到焦点的距离dp.

2.根据离心率、近拱点距离可以得到远拱点到焦点的距离da.

3.根据近拱点、焦点以及远拱点距离，可以得到远拱点的坐标值.

4.根据近拱点、远拱点即可得到椭圆的中心点坐标.

5.根据公式：半短轴=近拱点距离×远拱点距离，即可得到半长轴b的长度.

6.根据代表椭圆倾向的法向量n和长轴方向的单位向量，两者叉乘即可得到短轴方向上的单位向量，并且根据半短轴的长度，即可得到半短轴向量.

7.已知半短轴向量、半长轴向量，根据椭圆的参数方程，即可得到椭圆上任一点的坐标值.

四、结语

在人造地球卫星轨道运动问题教学的过程中，常常会遇到一些教材讨论较浅或没有讨论的实际问题，怎样把这些疑难问题向学生讲清楚，讲得既生动、有趣，又不犯科学性的错误，这就要求我们教师必须 具有坚实的理论基础，要不断地学习，加深拓宽知识面，同時在设计教学方案时，恰当地将一些相关知识和处理问题的方法渗透到课堂教学中去，力求居高临下，深入浅出地对问题进行讲解.

参考文献：

[1] 严导淦主编，面向21世纪普通高等教育规划教材物理学教程.上册 ，上海：同济大学出版社，2002.8.

[2] 程稼夫编著，中学奥林匹克竞赛物理（力学），合肥：中国科技大学出版社，2000.11.