张拉整体机器人建模及静态坡面研究①

赵凯凯 常 健 李 斌 杜汶娟

(*中国科学院沈阳自动化研究所机器人学国家重点实验室 沈阳 110016)(**中国科学院机器人与智能制造创新研究院 沈阳 110016)(***中国科学院自动化研究所 北京 100190)(****中国科学院大学 北京 100049)

0 引 言

近些年来，移动机器人多用在军事任务、空间探测、灾后救援等领域。移动机器人通常分为刚体机器人和软体机器人。其中，刚体机器人以刚性结构为主，根据运动形式可大致分为轮式[1]、腿式[2]、履带式[3]等，具有机构刚度大、控制精度高、负载能力强等优点，但是其机械结构复杂、自由度固定、环境适应性较差，多用于已知环境下。而软体机器人由软体材料构成，具有柔顺性好、变形能力强、自由度高，可抓取不规则物体或者易碎物体，但存在制造困难、负载能力差、难以建模的问题[4]。因此，为了兼顾刚体机器人和软体机器人的优点，将张拉整体结构的概念引入到移动机器人领域中，即在柔性材料中嵌入刚性材料，可实现张拉整体机器人具有较大的强度质量比以及一定的负载能力，同时还具有较强的可变形能力和减震能力。

张拉整体结构可追溯到20世纪20年代，其是由一系列连续的弹性拉索和不连续的刚性压杆构成具有稳定体积的力网络结构[5，6]。其中，弹性拉索仅承受拉力，而刚性压杆仅承受压力。该结构最早应用在艺术、建筑、土木等领域，例如穹顶[7]、桥梁等。随后又被生物学家用来描述细胞骨架[8]以及动物肌肉骨骼[9]等。在工程方面，由于该结构具有展开性，可用于反射天线的结构设计[10]。

张拉整体结构首次由Paul等人[11]提出，他们研制了3压杆和4压杆张拉整体机器人，对蠕动步态进行了研究，表明张拉整体机器人具有容错性。由于6杆张拉整体机器人结构相对简单且能实现多种步态，因此众多研究人员对其展开研究。日本立命馆大学[12]提出了基于气动人工肌肉的6杆张拉整体机器人，并对其初步形态以及滚动步态进行了研究。美国航空航天局(NASA)[13，14]、哈尔滨工程大学[15]等机构对张拉整体机器人的结构以及步态展开了相关研究，且均在平坦地形下展开研究，而对于张拉整体机器人在斜坡上的运动研究较少。中国科学院沈阳自动化研究所[16]分析了6杆张拉整体机器人位于斜坡上的一种低重心的构型，可避免机器人向下滚落的情况。加州伯克利大学[17]通过改变致动器的数量对机器人在斜坡上的滚动进行研究，可分别有效实现适合机器人在倾斜表面运动和提升运动速度，并利用仿真和物理实验进行了相关验证，但是并未对机器人与坡度的关系进行研究。本文首先对张拉整体机器人进行数学建模，随后对其临界翻滚角度进行分析，最后利用open dynamic engine (ODE)仿真平台对机器人建模并进行了仿真和实验。

1 张拉整体机器人

该机器人为第2代电驱动张拉整体机器人(见图1)，一共包含6根中空的铝杆和24条弹性拉索。其中，铝杆长为650 mm，外径为30 mm，内径为28 mm，它的每一端都设计了一个空心方块体(见图2)，具体尺寸为80 mm×80 mm×120 mm，壁厚为1 mm，用来保护2个舵机及控制单元。中空的铝杆中放置1块锂电池，为舵机及控制单元供电。在方块体上添加一个半球形泡沫塑料使机器人始终与地面保持接触，同时还能增加与地面的摩擦力。弹性拉索(见图3)是由弹簧和刚性绳索组成，通过动滑轮进行连接，这样的设计使得作用在弹性拉索的力变为舵机输出力的2倍。此外，挂有螺母的绳索与舵盘相连，另一根绳索固定在方块体上。

图1 6杆张拉整体机器人样机

图2 空心方块体

图3 拉索组成构件

2 张拉整体机器人数学建模

6杆张拉整体机器人是基于张拉整体结构组成的，因此，可首先描述该结构的数学模型。6杆张拉整体结构有6根压杆和24个弹性拉索，如图4所示，对节点进行编号。其中，细黑线表示弹性拉索成员，粗线表示压杆成员。

由图4可知，张拉整体结构有12个节点。在图示坐标系中，对于第i个节点，可表示为

图4 6杆张拉整体结构

ni=[xi,yi,zi]Ti=1,2,…,12

(1)

张拉整体结构可通过节点表示出来，其暗含了压杆和弹性拉索的长度以及相邻压杆与弹性拉索的角度等信息。

对于张拉整体结构，压杆和弹性拉索通过节点相互连接，因此均可由节点坐标进行表示。结构中的第p个压杆成员定义为bp，可表示为

bp=n2p-n2p-1p=1,…,6

(2)

取结构中第k个弹性拉索成员为sk，该弹性拉索的2个节点分别为njk和nik，该拉索可表示为

sk=njk-nikk=1,…,24

(3)

其中ik和jk的值见表1。

表1 ik和jk的取值

由式(1)～(3)可分别得到张拉整体结构的节点矩阵N、压杆成员矩阵B、弹性拉索成员矩阵S。

N=[n1, …,n12]

B=[b1, …,b6]

S=[s1, …,s24]

(4)

张拉整体结构的整个成员矩阵可写为

M=[B,S]

(5)

为了建立结构的节点矩阵与成员矩阵之间的关系，引入了连接矩阵。连接矩阵的每一行表示一个成员与所有节点之间的关系。连接矩阵的每个值可以通过式(2)和式(3)得到。连接矩阵中的元素只包括-1，0和1。“0”代表节点不是该成员的端点，“1”代表节点为成员向量的终止点，“-1”表示节点为该成员向量的初始节点。

由于张拉整体结构由压杆和弹性拉索组成，因此连接矩阵可以描述为

C=[CB;CS]

(6)

其中，C为张拉整体结构的连接矩阵，CB和CS分别为压杆和弹性拉索的连接矩阵。

由此，根据连接矩阵的定义，可得到如下等式：

M=NCT

(7)

至此，建立起张拉整体机器人的数学模型。

3 临界翻滚坡度分析

3.1 滚动原则

机器人重心与底边三角形投影的关系可分为2种情况，如图5所示。其中，G为张拉整体机器人的重心，G′为机器人重心的投影，ijk为底边接触的三角形，带有颜色的区域为底边三角形在水平面的投影。当重心的水平面投影在底边三角形的水平面投影区域时，机器人处于稳定状态，如图5(a)所示。反之，将发生滚动，如图5(b)所示。

(a) 稳定状态 (b) 滚动状态

依据滚动原则，利用Matlab图形用户界面(GUI)设计了张拉整体机器人人机交互界面，如图6所示。

图6 张拉整体机器人人机交互界面

首先可选择与坡面接触的三角形类型，之后通过输入斜坡的角度Theta和机器人绕Z轴旋转的角度Beta，点击“Plot”，生成张拉整体机器人的结构3维图以及重心与坡面接触三角形的3维图。

3.2 临界翻滚坡度

张拉整体机器人由于坡度以及摆放姿态的角度不同，其重心会发生变化。当斜坡的角度达到临界坡度时，无论机器人摆放何种姿态，机器人都能稳定在斜坡上，即要保证机器人的重心位于底边三角形在水平面的投影区域内。

对于张拉整体机器人来说，有2种初始状态：

(1) 机器人与坡面接触为RT三角形

当机器人与坡面接触的三角形为RT179时，如图7(a)所示，坐标轴下标为w的表示基坐标系，下标为b的表示体坐标系，θ为坡度，β为Xb与Xw的夹角，且逆时针旋转，a为2个坐标系原点在水平面的距离。此时，机器人关于轴对称，因此，β的取值范围为0～120 °，为逆时针旋转。

(a) 底边为RT179

(b) 底边为IT137

通过在张拉整体机器人人机界面输入不同的θ和β，可得到张拉整体机器人的不同位姿，观察机器人重心的位置。经过反复计算可知，底边为RT179时，机器人临界翻滚坡度在22 °左右, 其中，β值为旋转80～90 °时，机器人的重心的水平面投影靠近17边的水平面投影，故机器人有沿底边17翻滚的趋势。

(2) 机器人与坡面接触为IT三角形

当机器人与坡面接触的三角形为IT137时，如图7 (b)所示，坐标轴下标为w的表示基坐标系，下标为b的表示体坐标系，θ为坡度，β为Xb与Xw的夹角，a为2个坐标系原点在水平面的距离。此时，机器人关于平面对称，因此，β的取值范围为-90～90 °，且为逆时针旋转。

分析方法同RT179，利用张拉整体机器人人机界面可得，底边为IT137时，机器人临界翻滚坡度在17 °左右, 其中，β值为5～45 °时，机器人的重心的水平面投影靠近17边的水平面投影，机器人有沿底边17翻滚的趋势。

4 仿真及实验

4.1 ODE仿真

ODE是一个免费的具有工业品质的动力学仿真平台。该平台可以模拟真实环境下物体的动力学。在该平台建立的物体包括2部分：body和geom。其中，body包括物体的位姿和材料参数(例如密度、质量)等；geom包括物体的形状参数，例如直径、长度、位姿信息。相比于ADAMS来说，只需要改变机器人的位姿便可对机器人展开研究。对于张拉整体机器人(见图8)，压杆采用两头为半球形的实心构件来模拟真实的杆件，弹性拉索简化为2个万向关节，通过滑移关节进行连接来模拟弹簧的伸缩。压杆和弹性拉索的连接采用万向节。ODE仿真过程如图9所示。由于弹性拉索的质量远小于压杆的质量，因此，可以忽略弹性拉索的质量。机器人在ODE中建模的其余结构参数见表2。

图8 张拉整体机器人仿真模型

图9 ODE仿真过程

表2 张拉整体机器人构件参数

随后，通过式(8)进行齐次变换，建立坐标系，如图10所示。

(a) 底边三角形为RT179

(b) 底边三角形为IT137

(8)

随后，改变θ和β的值，可得到如下结果：

(1) 底边为RT179时，无论β取何值都能稳定在斜坡上的临界翻滚坡度为18 °。其中，β值为80～90 °时，机器人开始出现不稳定状态，有沿边17翻滚的迹象，这与Matlab计算得到的结果一致。

(2) 底边为IT137时，无论β取何值都能稳定在斜坡上的临界翻滚坡度为14 °，而且β取值为5～45 °时，机器人有沿边17翻滚的迹象，与Matlab计算的结果一致。

可以看出，ODE仿真结果与Matlab的计算结果有差异，这是由于机器人在ODE仿真平台中压杆的末端为半球形结构，导致拉索变短，使得机器人的重心略有前倾，导致与理论值有所差别。

4.2 实验验证

为了验证上述仿真结果的正确性，搭建了实验平台，如图11所示。其中，数显倾角仪可以显示坡度值，分辨率为0.1 °。海绵垫是为了增大机器人与坡面的摩擦力。

图11 实验平台搭建

通过反复进行实验，发现张拉整体机器人底边三角形为RT时，机器人可以稳定在坡度17.8 °左右，见图12。底边三角形为IT时，机器人的临界翻滚坡度为14.7 °左右，见图13。由此可知实验结果与仿真结果相近验证了建立的仿真模型的正确性。

5 结 论

本文首先对6杆张拉整体机器人结构进行了描述和数学建模。随后利用Matlab软件和ODE仿真平台对6杆张拉整体机器人建立张拉整体机器人的仿真模型，并根据翻滚原则对临界翻滚坡度进行了分析，最后搭建实验平台进行实验，将仿真结果和实验结果进行了对比，验证了临界翻滚坡度仿真结果的正确性和仿真模型的合理性。本文的主要贡献包括：

图12 底边三角形为RT

图13 底边三角形为IT

(1) 建立了张拉整体机器人的数学模型，并设计了张拉整体机器人的人机界面，通过输入参数，可以获得机器人的位姿以及重心的位置。

(2) 利用ODE动力学平台建立了仿真模型，对机器人处于静态坡面的情形进行了研究，确定了机器人的临界翻滚坡度，并通过实验进行了验证。

未来将利用ODE仿真平台建立的机器人仿真模型对张拉机器人的动力学以及斜坡滚动方向展开研究。