抛物随机微分方程的多水平Monte Carlo法

向亚红　罗贤兵

摘 要：在熱传导、化学物质扩散的问题中，常出现带有随机系数的抛物偏微分方程，而求这些随机抛物微分方程的解析解非常困难，因此考虑其数值近似。本文用多水平Monte Carlo法和有限差分法相结合来求解抛物随机问题的数值解，与传统的Monte Carlo法相比，它的渐近成本显著降低，计算速度显著提高，数值算例检验了该方法的高效性。

关键词：多水平;Monte Carlo方法;抛物随机偏微分方程;有限差分法

中图分类号：O241.82; O35

文献标识码： A

现实生活中很多物理现象都是用微分方程来描述，特别是随机偏微分方程（SPDE）在现代物理学、化学、生物学、经济学等都有很多应用。由于求随机问题的解析解比较困难，于是转而考虑数值解。在处理这类数值问题时，Monte Carlo（MC）法是首选方法， 多水平Monte Carlo（MLMC）法是GILES首先基于多重网格的思想在传统Monte Carlo法的基础上提出来的[1]，目前渐渐受到了广泛关注。

到目前为止，Monte Carlo 法（包含拟Monte Carlo法、多水平Monte Carlo法、多水平拟Monte Carlo法）在常见的随机椭圆偏微分方程[2-3]的数值解方面已经取得了一些进展。比如2011年CLIFFE等将MLMC法应用在含有随机系数的椭圆偏微分方程，并在数值计算中证明了该方法对地下水流中出现的一维和二维模型问题的有效性[4];BARTH等于2011年采用多水平Monte Carlo法数值近似有随机系数的椭圆偏微分方程，并给出了详细的理论分析[5];2011年GRAHAM等利用拟Monte Carlo法求解含有随机系数的椭圆偏微分方程[6];2015年KUO、SCHWAB，以及SLOAN利用多水平拟Monte Carlo（MLQMC）法结合有限元方法数值求解在带有随机系数的椭圆偏微分方程[7]; 2016年KUO和NUYENS分析了拟Monte Carlo法在含有随机系数的椭圆偏微分方程的应用，分别比较了均匀分布与正态分布、单水平算法与多水平算法、一阶拟Monte Carlo规则与高阶拟Monte Carlo规则，确定的拟Monte Carlo法与随机拟Monte Carlo法，给出了误差分析的总结，提供了在偏微分方程问题中生成拟Monte Carlo点的示例[8];2017年KUO等将对数正态问题的多水平拟Monte Carlo方法，应用于随机多孔介质中典型椭圆问题稳态流动解的线性泛函，得出了误差分析，并用数值实验检验[9]。这对于处理地下流动问题的不确定性量化至关重要。

然而，用多水平Monte Carlo方法在处理带时间的随机偏微方程数值解的研究较少。本文考虑用多水平Monte Carlo方法研究抛物随机微分方程的数值近似。

参考文献：

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（責任编辑：于慧梅）