泛函分析中常见空间相对紧集判别充要条件探讨

胡鹏

摘要：一般泛函分析教材只給出了C[a，b]空间相对紧集判别充要条件。文章以类似的方法给出了常见Banach空间判别法，可以依据该充要条件容易判断出是否相对紧集，对紧算子的判定也非常便利。

关键词：相对紧集;完全有界集合

中图分类号：O177.92 文献标识码：A 文章编号：1674-9324（2020）21-0327-02

给定一个Banach空间，判定其中集合是否为相对紧集是泛函分析的一个重要内容，也关系到紧算子判定、有界算子谱理论等重要内容。一般泛函分析教材只给出了C[a，b]空间中的判定条件，即Arezela-Ascoli定理[1]，并未给出一般Banach空间通用的判定定理。本文将做有益的尝试，讨论几种常见空间相对紧集判定的充要条件。

一、相关定义引理介绍

定义1[1] 若为紧集则称为A相对紧集。

定义2[1] 若集族覆盖集合A，则称为A的ε网。

定义3[1]若，X中存在有限个元素构成A的ε有限网，则称A是完全有界的。

引理1[1]若X为Banach空间，则A相对紧集等价于A为完全有界集。

另外此处再介绍下Arezela-Ascoli定理[1]。

定理1（Arezela-Ascoli定理）是相对紧集当且仅当K为范数有界的等度连续函数族。

二、lp空间中相对紧集的充要条件

定义4[1] lp为无穷序列空间，其中每一个元素为一无穷序列满足，且

定理2相对紧集当且仅当E有界并且，存在N使得，

从而Eh构成E的ε网，由引理3知Eh相对紧，由引理2知E相对紧得证。

本文解决了两种常见空间相对紧集的判定问题，更多空间相对紧集判定问题还有待研究。

参考文献：

[1]刘培德.泛函分析基础[M].修订版.北京：科学出版社，2012：39，42，18.

[2]周民强.实变函数论[M].第3版.北京：高等教育出版社，2016：248.

[3]A·H·柯尔莫戈洛夫，C·B·佛明.函数论与泛函分析初步[M].第2版.北京：高等教育出版社，2006.

[4]程其襄，张奠宙.实变函数与泛函分析基础[M].第3版.北京：高等教育出版社，2010：118.

Abstract： In general functional analysis textbooks， only the necessary and sufficient conditions for discriminating the relative compact set of C[a， b] spaces are given. This paper gives a similar method—the Banach space discriminant method， which easily judges whether the compact set is relative or not according to this sufficient and necessary condition， and can also conveniently judge the compact operator.

Key words： relatively compact set; completely bounded set