利用DFT在分析信号调制时频率泄漏的讨论

刘留 胡健 李艳凤 薛健 陈后金

摘要：窗函数在分析信号频谱中具有重要的作用，文章以利用DFT分析信号调制频谱为例，研究时域加窗截断对调制信号的频率泄漏问题，证明了矩形窗函数频谱函数和矩形窗频谱函数的卷积仍为矩形窗函數的频谱函数。说明对调制信号频谱分析中，相乘后加窗和加窗后相乘，截断的调制信号频谱函数相同，频域上仅存在“一次”泄漏，最后利用仿真实验证明了这一结论，有利于对于时域加窗问题教师教学和学生理解。

关键词：窗函数;频谱分析;加权的矩形窗

中图分类号：TN911.72 文献标识码：A 文章编号：1674-9324（2020）21-0116-02

一、引言

时域加窗是数字信号处理课程教学和课程设计实验中一个比较重要的概念，将无限长的信号（连续或离散）转化为有限长的信号，时域加窗在工程实践中有非常重要的意义。通常认为，在利用离散傅里叶变换（DFT，Discrete Fourier Transform）分析无限长信号频谱时，时域加窗会导致频率泄漏的现象，影响频率分辨率，从而影响频谱分析的质量[1，2]。在物理意义和数学分析上，其还有更深层次的内涵。

以分析调制信号为例，设已调信号y（t）=x（t）·c（t），其中，x（t）是调制信号，c（t）是载波。调制的过程，实际上是实现信号x（t）的频谱搬移。若对y（t）信号以采样频率fsam采样，得到离散序列y[k]=x[k]·c[k]（这里假设采样间隔fsam大于y（t）最高频率的两倍，即满足奈奎斯特采样定理）。若需计算调制信号y[k]的频谱，有两种方式：第一种方式是直接对采样后的y[k]加窗截断（这里假设使用长度为N的矩形窗函数rN[k]），再将得到的yN[k]=y[k]·rN[k]进行离散傅里叶变换即可得到对应频谱函数;第二种方式是分别对x[k]和c[k]加窗截断，在得到xN[k]=x[k]·rN[k]和cN[k]=c[k]·rN[k]后再相乘得到yN[k]。上述两种方式，第一种方式是直接对信号y[k]“一次”加窗截断，导致y[k]频域上“一次”频率泄漏;在第二种方式中，存在对信号xN[k]和cN[k]“两次”加窗，时域的“两次”加窗会造成频域的“两次”频率泄漏。然而，虽然这两种截断方式的时域效果相同，但频域存在“一次”泄漏和“两次”泄漏的差别，这个差别对应的理论基础和物理意义是什么？是否确实存在“两次”频率泄漏？现有的教学对这个部分的讨论较少，本文将从理论和物理意义上深入阐述本问题的内涵。

二、理论分析

因此，采用非矩形窗函数截断调制信号时，同样仅造成“一次”频率泄漏，该泄漏同样源于非矩形窗函数对序列x[k]时域截断，与载波序列c[k]的截断无关，c[k]在频域仅仅起到频谱搬移的作用。

三、仿真实验验证

本文以Matlab作为仿真工具来验证本文第二部分的理论分析，这里假设载波，其中，fc=100Hz，为更为准确的描述泄漏特征，本文选用正弦型信号为待调制信号，其中，f0=20Hz，使用采样频率fsam=800Hz对信号y（t）进行采样得到离散序列y[k]，仿真时候设置采样点数为2048点，即用长度N=2048的矩形窗对序列截断。

下图画出了待调制信号x[k]、y1[k]和y2[k]信号的频谱，从图上可以看出，待调制信号（虚线）由于进行了时域截断，频谱上存在泄漏。信号y1[k]的频谱，是对y[k]截断后进行DFT得到，这里仅有一次频率泄漏;信号y2[k]的频谱，由式（2）中截断待调制信号x[k]·rN[k]和截断载波信号c[k]·rN[k]分别进行DFT再卷积得到，此时由于存在“两次”时域加窗，结果包含“两次”频率泄漏。从仿真结果看，两种加窗截断信号的频谱结构和幅度完全相同，说明虽然y2[k]有“两次”时域矩形窗截断，但由于两个矩形窗的频谱函数RN（ejΩ）的卷积仍是RN（ejΩ），“两次”时域截断本质上只有“一次”频率泄漏，该泄漏源于对序列x[k]时域截断，c[k]在频域仅仅起到频谱搬移的作用。

时域加窗信号频谱图

四、结语

本文研究了加窗在信号调制中的泄漏问题，证明了矩形窗函数频谱函数和任何窗频谱函数的卷积仍为任意窗函数的频谱函数，说明在调制信号频谱分析中，相乘后加窗截断和加窗截断后相乘，截断的调制信号频谱函数相同，频域上仅存在“一次”泄漏;同时，本文利用仿真实验证明了这一结论，所得结论有助于将工程实际与理论分析统一起来，便于教师教学和学生理解。

参考文献：

[1]胡广书.数字信号处理理论、算法与实现（第二版）[M].北京：清华大学出版社，2003年8月

[2]陈后金，薛健，胡健.数字信号处理（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2008年11月

Abstract： Time windowing has important significance in theory and practice for digital signal processing. In this paper， the leakage of windowing the modulated signal using DFT is investigated. We prove that the convolution result of frequency functions of two rectangular windows is the frequency function of a rectangular window. By using this result， we can get that the frequency functions of the two time windowing methods （multiplying before windowing and windowing before multiplying） are the same. This means that there is only one leakage caused by the time windowing modulated signal. The result is beneficial to understanding the time windowing problems.

Key words： window function; spectrum analysis; weighted rectangular window