Schwarz Christoffel 变换在曲流河地质建模中的应用

王玉风，陈昭衡

（1.陇东学院能源工程学院，甘肃庆阳 745100；2.中国石油天然气股份有限公司长庆油田分公司第八采油厂，陕西西安 710021）

曲流河致密砂岩储层物性非均质强，物性分布复杂，如何精确模拟曲流河沉积相致密砂岩储层是油藏开发阶段研究的一个核心内容，但模拟要基于地质静态的地质模型，地质模型是对油气藏的类型、几何形态、规模大小、油藏内部结构、储层参数及流体分布的高度概括，同时也是油藏综合评价的地质基础、油藏数值模拟的必要参数以及油藏开发调整方案的直接依据。国内对于曲流河的地质建模方法，一般都是基于常规的地质统计学方法进行建模研究[1-5]。基于地质统计学的属性数据模拟，这些属性数据分布的趋势与变差函数有着密切的关系。在曲流河沉积的区域，河道多次变迁、改向使得很难用变差函数来控制约束属性数据的方向。为此提出了Schwarz Christoffel 映射变换模型，将曲流河沿着河道映射到矩形区域，在矩形区域中按照常规地质统计学方法进行模型建立并预测属性参数。Schwarz Christoffel 变换能够把一个二维空间上复杂边界几何体映射到另一个二维空间上形状简单的几何体，从而可以简化工程中复杂边界问题的处理。因此借助Schwarz Christoffel 变换方法，把曲流河沿着河道方向映射到矩形区域，映射后的模型保证河道方向唯一性。在Schwarz Christoffel 变换方面，诸多学者做了大量的研究。从多边形带状区域到矩形区域的Schwarz Christoffel 变换映射，需要借助带状过度区域辅助完成映射。先将多边形带状区域映射到上半平面的两端开口的带状过度区域，带状过度区域的高度为1，然后借助雅克比椭圆函数与对数函数的复合关系，将带状过度区域边界映射到矩形区域边界[7]。在Schwarz Christoffel 映射变数值计算时，多边形带状区域形状与矩形区域的形状差异大，或映射点选择不当，将导致计算速度慢，计算结果精度低[8，9]。多边形带状区域到带状过度区域的Schwarz Christoffel 变换数值计算时，存在奇异积分方程的计算。对于奇异积分方程处理时，需要借助高斯雅克比积分方法进行求解。高斯雅克比积分求解时的难点在于如何选择积分节点数量及积分的路径长度，Tobin A 和Eugenio Costamagna 提出了解决办法[9，10]。Schwarz Christoffel 边界映射计算都要受到边界映射点位的约束，要遵循黎曼原理。王玉风等根据文献[11，12]对实参数的变换方法，结合文献[7]变换思想，建立复参数与实参数的变换关系，解决了边界映射参数的约束问题。

借鉴这些学者的研究成果，根据曲流河的特点，将带状不规则曲流河边界进行离散，形成封闭的多边形带状区域。根据Schwarz Christoffel 变换的基本思想及曲流河形状与矩形区域形状的相似关系，将曲流河边界沿着河流的流向映射到矩形规则区域，曲流河中的井位等相关参数映射到规则矩形区域进行地质模型的建立与分析。经过映射之后，规则区域中河流的流向与矩形边界平行或垂直，因此对于映射后的矩形区域油藏而言，储层物性沿着河道的分布方向基本统一。通过上述映射变换的模拟，使得模拟的结果更加符合实际的沉积情况。

1 基本数学原理

在复平面w（封闭多边形区域）上有N（N≥4）边形，它的顶点与内角分别为wb（k）和παk（k=1，2，…N）。将带状区域z 边界上的点映射到复平面w 多边形区域顶点的Schwarz Christoffel 映射公式为：

式中：A-伸缩系数；C-映射中心，m；wb（k）-多边形区域边界点，m；zb（k）-带状过度区域边界点，m；fj（ξ）-分段函数，具体表达式如下：

式中：i-虚数单位；M-带状区域下边界点的总个数；N-复平面w 多边形区域顶点的总个数；θ+-带状区域左边的无限远点的角度，rad，则θ+=π；θ--带状区域右边的无限远点的角度，rad，则θ-=-π。

若已知矩形基本参数，即映射模量，则矩形区域边界到带状区域边界的Schwarz Christoffel 映射可由（3）式表示：

式中：ub（k）-矩形区域边界点位，m；l-第一类椭圆函数的映射模量，由选择映射的矩形顶点决定。关于（2）式与（3）式边界映射的计算方法在文献[6]中已有详细论述。

2 实例分析

2.1 X 油藏基本情况

X 油田2000 年发现，位于鄂尔多斯盆地，其勘探开发主要经历了三个阶段，第一阶段15×104t 方案编制实施、第二阶段全油田20×104t 方案编制实施滚动增储上产、第三阶段全油田50×104t 产能方案编制及实施。到2017 年7 月，X 油田砂岩油藏共钻井78 口，其中直井50 口，水平井28 口，目前采油井70 口，累积采油24.48×104m3。2006 年8 月开始注水，目前注水井8 口，累积注水6.68×104m3。

X 砂岩油藏属于河流相沉积，属于小型的地层加背斜构造复合圈闭，油藏整体无统一的油水界面，含油面积79.6 km2。含油范围既受岩性尖灭线限制，也受构造控制。针对X 砂岩油藏，采用测井曲线组合对比的方法，首先从取心井的骨架剖面出发，确定全区闭合的精细地层划分对比方案，进而扩展到全区78 口直井，建立X 砂岩油藏精细的地层格架。研究区内X 砂岩油藏厚度为8 m～26 m，总体上具有由西向东、由南向北逐渐减薄的趋势。X 砂岩油藏地层自下而上划分为5个砂层。X 砂岩油藏共计有78 口井，其中部分直井与斜井位于同一个位置，因此在建模过程中，选出本区域具有代表性的38 口井进行建模。

根据X 砂岩油藏沉积相分布情况，确定油藏的边界，并将油藏的边界进行离散。X 砂岩油藏边界及井位分布（见图1）。根据图1 油藏边界的形状，按照第1 部分的方法确定矩形油藏边界四个顶点，第一顶点为37号点，第二顶点为16 号点，第三顶点为17 号点，第四顶点为36 号点。

2.2 矩形区中地质模型建立及物性参数的建立与分析

为了使映射后建立的矩形区域的模型与原地质模型在尺度上具有一致性，对矩形区域中的地质模型进行缩放。由于矩形边界的第一点（37 点）位于坐标原点，不存在平移，因此只需对带状区域边界及带状区域中的井位乘以相应的伸缩系数即可。根据映射伸缩系数的计算方法，计算得到x 方向的伸缩系数为2 462.986，y 方向的伸缩系数为22 230.606。因此在建立矩形区域的地质模型时，对映射后矩形区域的井位及边界点数据，分别乘以x 方向和y 方向对应的伸缩系数，同时分别除以矩形宽度和矩形的高度。在构造、地层模型的控制下，通过不同模拟方法比较，最终选用了砂层厚度控制的序贯高斯模拟方法，模拟了X 砂岩油藏在映射后矩形区域油藏中的孔隙度参数场的分布（见图2），孔隙度沿着矩形区域油藏的高度方向呈现条带状的分布。

图1 油藏边界映射为矩形区域的顶点选择结果

图2 矩形区域中X 砂岩油藏孔隙度分布模拟结果图

2.3 矩形区域地质模型与原区域模型的比较

针对原始油藏的数据，在构造、地层模型的控制下，采用序贯高斯模拟方法，模拟了X 砂岩油藏映射前的孔隙度参数场的分布模型（见图3）。从图3 四个图采用序贯高斯模拟孔隙度的方向与变差函数分析的方向基本一致，在河流改向后有一段与孔隙度的变化方向与河流流向垂直，造成这种结果的主要原因是由于变差函数的方向性引起的。在第2 小层、第3 小层和第5 小层的模拟中，孔隙度都呈现出明显的方向性，而且这个方向由变差函数的方向决定。

图3 X 砂岩油藏映射变换前的孔隙度分布图

图4 从矩阵区域还原到实际油藏边界的X 砂岩油藏孔隙度分布图

将区域的地质模型通过Schwarz Christoffel 逆变换，将属性参数还原到原油藏的实际边界区域中，还原后的孔隙度分布情况（见图4）。通过图4 可以看出，进行映射变换处理，孔隙度变化方向基本沿着河道方向，符合基本的地质规律。矩形油藏的规则正交网格也被映射到实际油藏的模型中，也保持了一定的正交性。

3 结论及建议

根据Schwarz Christoffel 变换基本原理，建立曲流河边界映射到矩形区域边界的积分方程的数学模型。以鄂尔多斯盆地曲流河沉积的X 砂岩油藏为例，选择了研究区域的38 口直井进行分析，得出直接采用变差函数分析，原地质模型物性分布依赖于变差函数，而通过Schwarz Christoffel 映射变换，可以减弱变差函数对物性依赖性。通过适当选择的变换点位，使得曲流河中物性分布更加符合地质规律。