低雷诺数下流致振动能量收集模拟研究

金 凯， 王 磊， 信志强， 徐业鹏

（河海大学力学与材料学院，南京 211100）

近年来，无线微型传感器和无线网络系统在工业上的应用备受关注. Collins［1］发表了一篇关于无线传感器网络在工业上应用的文章，在此基础上，Paradiso等［2］对该领域进行了更深入的研究和阐述. 这些设备和系统在工作时很难实现电网供电，因此需要使用电池供电或者从周围环境中吸收能量，而由于传感器和无线网络工作环境的限制，频繁更换电池相当困难，使得直接从工作环境中获能成为此类型设备和网络的最佳供能方式. 广泛存在于环境中的机械能、热能、电磁能、流体能以及生物和化学能，都可以作为获能的能量源［3］.

利用机械结构将流体动能转化为压电材料的应变能，进而通过压电效应［4］产生电能，实现直接从流体环境中俘获能量为微型无线传感系统供能［5］，这是一种高效、可行的获能方式［6～8］. 最初设计中，使用压电悬臂梁作为风车叶片，叶片转动使梁自由端偏转并产生电荷，但这种装置只实现了几毫瓦的电功率［9］. 在此基础上，Allen和Tylor提出了eel式压电获能装置［10-11］，该装置使用由PVDF（聚偏氟乙烯）压电材料制成的压电旗带将流体的动能转化为电能. 进一步的研究中，Mccarthy等［12］制作了双串联PVDF（压电薄膜材料）压电梁，利用风吹过钝体时在后方形成的漩涡，诱导压电梁在漩涡作用下发生弯曲变形，进而产生电能. Rezaei等［13］对电能收集装置进行了改良，在保留压电悬臂梁的基础上增加了一个带有永磁体的小型风扇，使整个装置收集风能的启动风速大大降低，拓宽了整个俘能装置的适用风速范围.

研究者不仅对如何利用压电材料收集风能进行了大量研究，还针对通过压电装置俘获水流动能这一课题做了大量工作. 利用水流流过圆柱时在下游形成的涡街，诱导压电悬臂梁在流体力作用下发生变形，并通过压电效应产生电能［14］. 在另一项研究中，Shan等［15］在水流流经钝体下游形成的涡街中放置柔性纤维复合材料，使其在流体力作用下发生周期性弯曲变形进而产生电能. 进一步研究表明，当压电材料固有频率和漩涡脱落频率大致相当时，水流动能转换为电能的效率最高.

关于流致振动获能的研究大多都是运用实验方法，而通过数值模拟分析流致振动获能机理的研究则相对较少. 本文采用松耦合算法模拟流体和柔性压电结构之间复杂的非线性耦合运动，得到柔性压电结构在流体作用下的运动过程，进一步将结构运动方程代入到压电方程中，根据压电效应得到理论上能够俘获的电能.

1 模拟方法

流体部分通过有限体积法求解ALE（任意拉格朗日坐标系）下不可压缩N-S（纳维-斯托克斯）方程，结构部分则采用有限元法对结构动力学方程进行求解，流体和结构之间的数据交换通过在流固耦合面上的数值插值来完成. 通过松耦合算法计算得到的结构振型函数蕴含了结构机械能，经过压电效应转化，可以得到柔性压电结构最终获得的电能.

1.1 流体方程

流体为不可压缩牛顿流体，ALE下三维连续性方程和动量方程［16］为：

式中：uf为速度矢量；P为压强矢量；ρf为流体密度，因流体具有不可压缩性，其值为常数；v为流体运动黏度.

流体部分主要采用有限体积法进行求解. 流固耦合过程中固体在流场作用下发生变形，流体网格必须同步进行更新，从而保证流固耦合交界面始终是匹配的. 本文使用动网格技术来保证流场网格的更新，计算过程中流场网格会发生大变形，需使用动网格技术中的网格重构法来更新流场网格. 该方法通过对旧的网格物理量进行数值插值，得到新的流场网格.

1.2 结构方程

结构组成材料假定为线弹性材料，ALE下基于初始坐标构型的结构动力学控制方程［17］为：

式中：Fs=I+∇us是变形梯度张量；ρs代表结构的密度；us为结构的位移矢量；g 为体积力；I 是单位张量；J 是Fs对应的行列式；σs表示柯西应力张量，可压缩材料本构模型表示为：

将结构的控制方程进行有限元离散，并忽略阻尼对结构的影响，结构运动方程表示为：

式中：MS为结构质量矩阵；Ks是结构刚度矩阵；QS是作用在结构上的外力矢量.

1.3 流固耦合面的控制

1.3.1 耦合条件 为保证整个计算过程中流场和结构的数据能够在流固耦合面上顺利传递，耦合面上应满足平衡条件和位移协调条件：

式中：n 是耦合面单位外法线矢量；σs和σf分别表示耦合面上结构和流体的应力矢量；Ss和Sf分别是耦合面上结构和流体的位移矢量.

1.3.2 耦合算法 本文采用强耦合算法求解非线性流固耦合问题. 该算法基本思路是将流场和结构分别在流体求解器和结构求解器中进行求解，然后使用耦合程序进行数据传输，即在流固耦合面上将流场计算得到的应力传递给结构求解器，将求解结构方程得到的位移传递给流体求解器，在每一个计算时间步内需要经过多次迭代，保证耦合面上满足平衡条件和位移协调条件，该算法具有很高的计算精度.

强耦合算法的基本流程如图1所示，在初始条件下求解流体控制方程，得到流场应力分布，由于流固耦合面上流场网格和结构网格存在节点不匹配，需在流固耦合面上对流场应力进行数值插值，作为外荷载传递给结构；而结构在流场荷载作用下产生的位移，同样通过插值方式反馈给流场，流场以此作为运动边界来更新网格. 每个耦合时间步的计算都需要经过多次迭代，达到流场、结构和耦合面上数值插值的收敛标准，才能进入下一个时间步.

1.3.3 流固耦合算法验证 刚性钝体尾流区发生的涡激振动经常被用来验证流固耦合算法的有效性［18-19］，本文选择对刚性方柱下游涡流场中柔性平板涡激振动现象进行模拟. 模型计算域如图2所示，流场为30 cm×12 cm×1 cm，方柱尺寸为1 cm×1 cm×1 cm，紧跟着方柱的平板大小为4 cm×1 cm×0.06 cm，选取平板末端中间位置点A 为监测点，方柱位置固定，平板左端固支在方柱尾端. 初始时刻平板保持水平静止，整个模拟过程忽略重力影响，边界条件设置和材料参数选取与文献［19］一致. 将计算得到的监测点A 的竖向位移幅值umax、振动频率f 和作用在平板上的升力幅值Fmax，与文献结果进行对比，如表1所示，结果吻合较好，说明本文采用的流固耦合算法有效可行.

图1 强耦合算法流程图Fig.1 Flow chart of strong coupling algorithm

图2 涡流区中柔性平板涡激振动的计算域Fig.2 Computational domain of vortex-induced vibration of flexible plate in eddy current field

表1 涡流区中柔性平板涡激振动计算结果对照Tab.1 Comparisons of vortex-induced vibration of flexible plate in eddy current field

1.4 压电转换理论

压电悬臂梁在流场中受到流场荷载作用产生运动，其位移是与空间和时间相关的二元函数w( x,t ). 通过流固耦合计算，得到不同时刻t 下的振动函数φ( x )，从而将二元函数简化为只与空间相关的一元函数.

悬臂梁单侧表面的压电片粘贴排列方式如图3所示，在悬臂梁双侧表面，参数相同的压电片沿着悬臂梁长度方向依次排列粘贴，压电片能够随着悬臂梁振动同步变形. 悬臂梁的弯曲变形会导致梁表面交替出现正向和负向的轴向应变，梁表面粘贴的压电片同时开始收集电荷. 第i 个压电片表面产生的电荷和电压Vgi［20］：

式中：C′V=CV/b，CV表示单个压电片电容；b 为悬臂梁宽度；e31为压电常数；l 为单个压电片长度；h 和he分别代表悬臂梁和压电贴片的厚度.

图3 压电片粘贴方式示意图Fig.3 Sketch of pasting mode of piezoelectric patch

取Δt 为时间间隔，压电悬臂梁在一个稳定振动周期T 内产生电能W 为：

压电悬臂梁单位时间内产生的电能，也就是电功率S 为：

2 物理模型

2.1 几何模型

本文主要研究涡流场中柔性压电悬臂梁流致振动的俘能特性，考虑了不同截面形状阻流体、悬臂梁-阻流体间距及压电悬臂梁长度对俘能效果的影响. 利用柱体绕流理论，在流场中放置刚性阻流体，流体流经阻流体发生漩涡脱落在下游形成涡流场. 将距离阻流体更近一端作为固定端的悬臂梁放置在涡流场中，梁在流场作用下会发生振动，进而通过梁表面压电贴片的压电效应产生电能. 整个模型的简图如图4 所示，整个流场域为30D×12D×1D（D=1 cm），阻流体为D×D×D的刚性方柱（或者是直径为D，沿y轴厚度为D的圆柱），阻流体与流场入口相距6.5D，在距离阻流体尾部d 处放置一根左端固定的柔性悬臂梁，悬臂梁表面沿长度方向满布粘贴了一系列压电片，压电片材料参数如表2 所示. 表2 中，单片压电片的长度为l，厚度为he，宽度为b，压电常数为e31，电容为Cv.

柔性压电悬臂梁在涡流场中的振动过程通过数值计算进行模拟，而数值模拟需要对模型进行网格划分来离散几何模型. 考虑到流场动边界会发生大变形，将流场划分成能够适应大变形的楔形网格，并在阻流体和悬臂梁附近做网格加密处理，以提高计算精度；结构则采用六面体网格单元进行离散.

2.2 材料参数和边界条件

流体材料近似为空气，流场左端为速度入口，来流速度v 为0.513 m/s，阻流体特征长度为D，雷诺数Re=333（在较低雷诺数中该雷诺数附近的涡流场中漩涡的能量最高［21］）. 为防止回流发生，流场右侧设置为压力出口，流场沿z 方向和y 方向的面均设为对称边界. 为保证悬臂梁能够产生较大变形，需选择有足够柔性的结构材料，悬臂梁和流体的材料参数如表3 所示. 表中，流体的密度和运动黏度分别为ρf和υ，结构的密度、杨氏模量和泊松比分别表示为ρs、E 和μ . 在初始时刻，悬臂梁保持水平静止，计算中忽略重力影响.

图4 计算模型简图Fig.4 Sketch of the computational model

表2 压电贴片材料参数Tab.2 Material parameters of piezoelectric patch

表3 所选流体和结构的材料参数Tab.3 Material parameters of selected fluid and structure

3 模拟结果与讨论

3.1 悬臂梁与阻流体不同间距下俘能机理分析

本节主要研究当刚性阻流体具有不同截面形状（圆形和方形）时，与阻流体处于不同间距下的压电悬臂梁的俘能表现、振动特性和流场的特征. 整个过程中保持来流速度v 和特征长度D=1 cm不变从而保证雷诺数不变. 悬臂梁的几何参数和前两阶固有频率，如表4所示，悬臂梁的长度为a，厚度h，宽度b，一阶固有频率是f1，二阶固有频率为f2. 以特征长度为衡量标准，对悬臂梁与阻流体间距d=0D～8D 时在流场中的振动进行了数值计算，进而通过悬臂梁表面的压电贴片产生电能.

3.1.1 俘能分析 刚性方柱和圆柱分别作为阻流体时，压电悬臂梁和阻流体处于不同间距下的俘能表现如图5 所示，图中，S 表示整个压电悬臂梁单位时间内产生的电功率. 可以看出，相同间距下，方柱下游压电悬臂梁产生的电功率S 高于圆柱，俘能效果更好. 间距在0D～3D 内方柱激发的梁的俘能能力明显优于圆柱，而在3D～8D 内仅仅是稍高于圆柱. 不管是方柱还是圆柱，当压电悬臂梁与其间距改变时，梁的俘能表现都可以分为两个阶段，间距较小时俘能表现明显优于间距拉大后的俘能表现. 这种俘能能力的转变都有一个临界间距，过了这个临界间距，压电悬臂梁俘能能力从优变劣. 阻流体为方柱的临界间距在3D～3.25D 之间，圆柱的临界间距则在2.75D～3D 之间. 一旦间距超过临界间距，压电悬臂梁收集的电能就会骤降，这种现象在方柱阻流体中体现地更为明显，间距为3D时的平均电功率达到80 mW，而间距增大到3.25D却陡降到了4 mW.

压电悬臂梁与阻流体的间距增大到临界间距之前，随着间距不断增大，压电悬臂梁俘能能力总体上逐渐变弱，圆柱作为阻流体时梁的俘能能力减弱得更快. 圆柱作为阻流体最佳俘能位置为间距0D时，而方柱作为阻流体的最佳俘能位置则在间距为1D时. 当间距超过临界间距时，压电悬臂梁俘能能力变化趋势与到达临界间距之前一样，随着间距增大越来越弱，但是下降速度相对慢得多，梁能够收集的电功率只有几mW. 很明显，当压电悬臂梁与阻流体的间距越来越大，离核心涡区也就越来越远，作用在梁上的流体力也越来越小，梁能够俘获的流体动能也越来越低.

3.1.2 振动分析 悬臂梁振动导致其表面压电片同步弯曲变形，压电片所俘获的能量正是来源于弯曲变形产生的应变能，并通过压电效应转化为电能. 因此，要揭示不同压电悬臂梁-阻流体间距下导致梁俘能表现产生差异的本质原因，必须要对悬臂梁振动特性进行分析.

压电悬臂梁与阻流体处于不同间距下，梁端监测点A振动稳定时沿z轴的竖向平均振幅UZ及其振动频率fU，如图6所示. 这里的平均振幅定义为

表4 悬臂梁几何尺寸及固有频率Tab.4 Geometric dimensions and natural frequencies of cantilever beam

图5 压电悬臂梁与阻流体不同间距下产生的平均电功率Fig.5 Average electric power generated by piezoelectric cantilever beam at different distances from bluff body

UZmax和UZmin分别表示A点竖向最大和最小位移. A点平均振幅变化趋势大致和压电悬臂梁俘能的电功率变化趋势相对应，都随着间距拉大而逐渐减小，也会出现临界间距，且位置范围相同，间距超过临界间距后A点平均振幅同样出现陡降并保持在一个较小振幅振动. 唯一不同的是，阻流体为方柱时A点平均振幅最大位置出现在悬臂梁与阻流体间距0D时，而电功率最大值出现的位置则是在间距1D时.

图6 悬臂梁与阻流体不同间距下梁端监测点沿z轴方向的平均振幅和振动频率Fig.6 Average amplitude and vibration frequency along z-axis of the monitoring point at the end of the cantilever beam at different distances from bluff body

A点振动频率变化趋势和平均振幅相反，悬臂梁与阻流体间距到达临界间距前，梁的振动频率很小，仅稍高于其一阶固有频率3.09 Hz，并随间距拉大缓慢提高；间距超过临界间距之后，A 点振动频率先骤升，而后随间距的增大而缓慢提高并且逐渐趋于稳定，圆柱和方柱作为阻流体时A点振动频率分别稳定在10 Hz 和7 Hz 附近.由于在间距增大到临界间距之前悬臂梁振动频率仅比其一阶固有频率稍高一些，可以认为此时悬臂梁处于共振区间附近，导致其产生较大变形. 但是当悬臂梁与阻流体间距越拉越大时，梁的振动频率开始远离其一阶固有频率，不再处于共振区间附近，梁端振幅急速降低. 对监测点平均振幅和频率变化趋势的解释可以相互佐证，高频率对应小振幅，反之亦然，梁端出现高振幅对应更佳的俘能能力，小振幅则体现较弱的俘能表现.

在悬臂梁和阻流体的间距到达临界间距之前，相同间距下，方柱下游悬臂梁的板端振幅和频率都大于圆柱，致使方柱下游压电悬臂梁能够产生更大的电功率；间距到达临界间距之后，虽然方柱下游悬臂梁板端振幅依旧大于圆柱，但频率却低于圆柱，此阶段相同间距下，方柱下游梁的俘能表现仅仅略强于圆柱. 悬臂梁与方柱阻流体相距1D时的振动频率高于间距0D时的振动频率，但梁端平均振幅却相近，正是由于在相同振幅下却具有更高振动频率，导致间距为1D时梁达到相近振幅却用了更少时间，这意味着相同时间内梁能完成更多振幅相近的振动，从而产生更多机械能，显而易见，间距为1D时压电悬臂梁产生的电功率会高于将梁固支在方柱尾端上产生的电功率.

图7 悬臂梁和阻流体不同间距下悬臂梁中性轴在一个周期内的振动形态Fig.7 Vibration pattern of the neutral axis of a cantilever beam with different distance between the cantilever beam and the bluff body in a period

悬臂梁和圆柱阻流体相距2.75D（将达临界间距）、3D（刚过临界间距），以及和方柱阻流体相距3D（将达临界间距）、3.25D（刚过临界间距）四种情况下，悬臂梁中性轴在一个周期内的振动形态如图7所示，这可以充分反映临界间距前后两个阶段的普遍特征. 在间距未到达临界间距之前，阻流体不论是方柱还是圆柱，其下游悬臂梁运动方式基本上都以一阶弯曲模态为主；到达临界间距之后，悬臂梁运动则明显混杂着二阶弯曲模态，而激发这些高阶振型需要消耗部分动能，最终导致压电片能够俘获的机械能大大减少.

3.1.3 流场分析 流体流经阻流体时会在下游形成涡街，放置在涡流区的悬臂梁正是在漩涡作用下产生振动来俘获流场动能，并最终通过悬臂梁表面的压电片将机械能转化成为电能. 由于最初能量来源是流场动能，因此对流场特性进行分析必不可少.

不同压电悬臂梁-阻流体间距下，作用在臂梁上沿z轴方向的升力的频率及其平均幅值FZ如图8所示.其中，升力的平均幅值定义为

图8 悬臂梁距阻流体不同间距时作用在悬臂梁上沿z轴方向的平均升力幅值和升力频率Fig.8 Average amplitude and frequency of lift force acting on the cantilever beam along z-axis with the different distance between the cantilever beam and the bluff body

FZmax和FZmin分别表示升力最大值和最小值. 悬臂梁和阻流体处于不同间距时，升力频率fF和悬臂梁振动频率fU基本一致，说明悬臂梁竖向位移主要受作用在梁上的升力控制. 平均升力幅值FZ变化趋势和梁端监测点平均振幅UZ走势相反，间距到达临界间距之前，作用在悬臂梁上的升力反而小于间距超过临界间距之后作用在梁上的升力. 悬臂梁与阻流体的间距不管是在临界间距之前还是之后，平均升力幅值都大致稳定并整体上逐渐减小.

由于方柱和圆柱作为阻流体时梁的电功率、平均振幅和平均升力幅值随间距的变化趋势总体上相似，将方柱作为阻流体的情况作为代表进行分析，从流场角度分析俘能能力发生变化的原因. 悬臂梁在距离方柱阻流体3D和3.25D时，运动到梁端竖向位移最大位置UZmax、最小位置UZmin以及平衡位置UZ0的压力P分布云图，如图9所示. 当梁运动到最大和最小竖向位移位置，间距为3.25D下梁上下表面压力差明显大于间距3D时的压力差，导致前者作用在梁上的升力也大于后者，而3D和3.25D分别在临界间距前后，能很好反映这两个区间的普遍特征.

悬臂梁振动主要是受阻流体尾端脱落的漩涡作用，在较低雷诺数范围内，方柱绕流激发的漩涡能量会高于圆柱，当梁和阻流体间距不改变时，方柱作为阻流体的俘能效果明显优于圆柱. 悬臂梁与方柱相距3D、3.25D 时，运动到梁端竖向位移最大位置UZmax、最小位置UZmin以及平衡位置UZ0的涡量V 分布云图，如图10所示. 在相同流场长度内，梁与阻流体相距3.25D下激发出来的涡的数量明显更多，这说明不同间距下悬臂梁对阻流体漩涡脱落会产生不同影响，也说明了此时方柱的涡脱频率更大，而梁处于方柱下游涡街中，脱落的漩涡对悬臂梁的作用主要体现为升力，这导致了间距3.25D下的升力频率也相应地高于3D. 悬臂梁与方柱相距3D和3.25D时诱导的涡对梁作用的最大区别在于，前者的涡还未从方柱尾端脱落下来就直接作用在梁上，而后者则是涡从尾端脱落下来之后才作用在梁上，漩涡脱落并向后运动的过程会有能量耗散，导致后者作用在梁上的涡能量远不如前者. 不仅如此，间距3D时方柱尾端产生正负一对漩涡且同时作用在悬臂梁上，而间距3.25D时只有单个涡作用在梁上，梁从一对涡中吸收的能量自然是高于单个涡，这都导致悬臂梁与阻流体间距在到达临界间距之前的俘能效果优于间距超过临界间距之后的俘能效果.

图9 悬臂梁与方柱不同间距下运动到不同位置的压力云图Fig.9 Contours of pressure when cantilever beam moving to different positions with different distance between cantilever beam and square cylinder

图10 悬臂梁与方柱不同间距下运动到不同位置的涡量云图Fig.10 Contours of vorticity when cantilever beam moving to different positions with different distance between cantilever beam and square cylinder

方柱和圆柱作为阻流体最大区别是最佳获能位置不一样，悬臂梁固支在圆柱尾端时能够俘获的能量最多，而悬臂梁与方柱相距1D时可获得的电功率最高. 从图7可以看出，悬臂梁与方柱相距1D与固支在方柱尾端相比，虽然平均升力幅值Fy稍小，但升力频率fF却偏高，综合两者来看，升力频率提高值大于平均升力幅值减少值，导致相同时间内间距1D时作用在梁上的升力合值大于间距0D下的升力合值，升力合值越大对应流场对梁做功越多.

悬臂梁和方柱相距0D和1D时作用在方柱上沿z轴方向的升力以及经过快速傅里叶变换得到的频谱图，如图11所示. 方柱升力频率和悬臂梁升力频率一致，间距1D时方柱上的升力频率为3.53 Hz，间距0D时为3.18 Hz，说明间距1D时漩涡的涡脱频率大于悬臂梁固支在方柱尾端的涡脱频率，而作用在梁上的升力体现了漩涡对梁作用，更高的涡脱频率则对应着相同时间内有更多漩涡作用在梁上，梁吸收的流场能量也就越多，具有的机械能也越高，通过压电效应产生的电能也就越多.

3.2 不同悬臂梁长度下俘能机理分析

通过上文对不同截面形状阻流体、压电悬臂梁-阻流体间距下的俘能机理研究，可以得到，方柱作为阻流体时激发的压电悬臂梁的俘能效果更佳，且俘能最佳位置在梁距离方柱阻流体1D处. 在此基础上，将压电悬臂梁放置在获能最佳位置，仅仅改变悬臂梁长度，分别取为4D、8D、12D，继续研究了压电悬臂梁长度改变对俘能的影响.

图11 悬臂梁与方柱相距0D、1D时作用在方柱上的升力及其经快速傅里叶变换得到的频谱Fig.11 The lift force acting on a square cylinder when the cantilever beam is 0D and 1D away from the square cylinder and its spectrum obtained by fast Fourier transform

将压电悬臂梁产生的电功率和作用在梁上的沿z轴的升力平均幅值都平均到梁的每块压电片上，如表5所示，S′表示每块压电贴片产生的平均电功率，F′是作用在单片压电片上的升力的平均幅值，f′是作用在梁上的升力频率. 平均到每块压电片的电功率和升力幅值一一对应，都是先增大后减小，悬臂梁长度为8D时每块压电片的平均电功率和平均升力幅值同时达到最大值，悬臂梁长度超过8D后随着梁长增大梁上每块压电片的平均俘能能力越来越差，而长度为4D时压电悬臂梁上单块压电片平均俘能效果优于长度为12D的梁.

表5 悬臂梁与方柱相距1D时不同悬臂梁长度的获能表现Tab.5 Capacitance performance of cantilever beams with different lengths when the distance between cantilever beams and square cylinder is 1D

正是由于不同悬臂梁长度下每块压电片的平均升力幅值及其产生的平均电功率变化趋势一致，为了揭示不同梁长下单块压电片产生不同平均电功率的原因，只需从流场角度分析悬臂梁长度的改变对作用在单片压电片上的升力的影响即可. 不同长度悬臂梁与方柱相距1D时运动到不同位置的压力P分布云图，如图12所示. 悬臂梁长度为4D时，上下表面只有一侧有负压力集中区；当梁长增加到8D时，悬臂梁两侧表面分别出现正负压力核心，此时的压力差最大，作用在梁上的升力也为最大值；而梁长为12D下沿长度方向梁两侧表面同时出现一对正负压力核心，梁两侧面上相同的压力核心在形成升力时会相互抵消，导致作用在单片压电片上的平均升力反而最小，而升力直接决定悬臂梁的运动变形，更小的平均升力导致悬臂梁所能产生的机械能平均到每块压电片上会更小，每片压电片所能产生的平均电功率也更小.

从不同悬臂梁长度下作用在梁上的升力频率f′的差异也可以看出，梁长8D时升力频率最大，且从流场分析中可以知道此时作用在单块压电片的平均升力幅值也最大，在单位时间内单片压电片上升力对其做功最多，能够产生的电能也最多，同理可以得到12D梁长时单片压电片的平均电功率最小.

图12 不同长度悬臂梁与方柱相距1D时运动到不同位置的压力云图Fig.12 Contours of pressure when cantilever beam with different lengths moving to different positions 1D apart from square cylinder

4 结语

本文通过在涡流场中放置压电悬臂梁，吸收流场能量使悬臂梁发生振动，压电贴片跟随悬臂梁同步运动触发压电效应将机械能转化为电能. 为了得到该模型最佳俘能效果以及力学机理，本文针对不同截面形状阻流体、梁与阻流体的距离以及悬臂梁的长度等参数开展了压电悬臂梁的俘能模拟，并进一步深入分析了悬臂梁振动特性以及流场特征，解释了压电悬臂梁的最佳俘能机制. 主要结论如下：

1）在相同的来流速度下，不同截面形状的阻流体下游的压电悬臂梁的俘能效果差异较大. 在本研究中的低雷诺数范围内，方柱作为阻流体与圆柱相比，能够激发出更大强度的涡，导致其下游的压电悬臂梁的俘能表现更好，产生的最大电功率达到了圆柱下游压电悬臂梁所俘获的最大电功率的2倍.

2）压电悬臂梁和阻流体的间距超过临界间距（方柱的临界间距在压电悬臂梁与之相距3D～3.25D 之间，圆柱的则在2.75D～3D 之间），压电悬臂梁俘能效率骤降，悬臂梁的梁端振幅和振动频率也随之骤降，而作用在悬臂梁上的升力却出现骤升的情况. 这是由阻流体激发出来的漩涡的长度和空间分布状态所决定的.

3）当阻流体截面形状和压电悬臂梁与阻流体间距等参数固定时，存在最佳获能梁长，最佳获能梁长的确定取决于阻流体诱发的流场特征. 悬臂梁长度小于最佳获能梁长时，梁长不够导致其上粘贴的压电贴片能够吸收的流场能量有限；悬臂梁长度超过最佳获能梁长，流场对悬臂梁的压力在梁的两个表面分布不均，并出现正负压力相互抵消的现象，导致平均到每块压电片上的升力随梁长增加而减小，每块压电片上能够产生的平均电功率也随之减小.