碰撞中动能损失与恢复系数的一般关系及其证明

黄亦斌

(江西师范大学物理与通信电子学院，江西 南昌 330022)

碰撞是力学中一个热门话题。通常讨论较多的是一维正碰、二维斜碰、球与杆的碰撞、杆与杆的碰撞等[1-10]，见图1。而且，众多的作者都讨论了各种情形下的动能损失，并将其用恢复系数来表示。作为最简单的两小球一维正碰，有

(1)

其中，m1,m2分别为两小球的质量，v10,v20为二者碰撞前的速度，ΔK为总动能的变化，而e为恢复系数——两小球分离速度与接近速度的比值。

图1 各种碰撞模型(a) 两小球正碰； (b) 两小球斜碰； (c) 球与自由杆正碰； (d) 球与一端固定杆正碰； (e) 球与杆斜碰； (f) 两杆正碰； (g) 两杆光滑铰接； (h) 三杆光滑铰接

从多种已研究过的碰撞模型中可以归纳出：(1)e=1等价于动能不变(弹性碰撞)；(2)e=0等价于动能损失最大(完全非弹性碰撞)；(3)动能改变具有ΔK∝(1-e2)的形式。

这些结论尚未碰到反例。然而，从图1中可以看出，这类碰撞有无穷多种情形，我们显然不可能对每一种情形都进行研究并证实或否定该结论。我们要问：上述结论是否具有一般性？有没有适用条件？更为一般的碰撞是什么样子？总可以使用恢复系数来表达动能改变吗？本文就试图一般地解决这类问题。

1 碰撞的自由度分析

首先，任意碰撞时的冲力都很大但作用时间很短，故都可做如下的理想化：碰撞前后系统内的任意质点的位置都不变，但速度可以发生突变，且常规力(如重力)跟冲力相比可以忽略。这是处理碰撞的一般规则。其次可以做如下限定：碰撞只发生在两个刚体之间(小球和细杆不过是刚体的退化情形)，而不是多个刚体同时碰撞；二者或二者之一可以通过光滑铰链(理想约束)跟其他刚体相连或被固定；刚体间的碰撞只发生在一处地方。

考虑两刚体相碰之处。一般而言，二者之间有沿公切面法向的冲量I，也可能有与公切面平行的冲量(如摩擦)。然而，最一般地，二者之间的相互冲击不仅存在主矢，还存在对碰撞点的主矩(冲量偶矩)，共六个独立分量。

为什么会有主矩呢？虽然碰撞通常都是局部的点碰撞，但就碰撞细节而言，碰撞处两刚体总存在弹性形变，接触处不是一个点而是一个小面。于是原则上其相互作用就是一个力系，可能存在对碰撞点的主矩，从而对两刚体的运动造成额外影响。在这个小面理想化为一个点后，主矩必须仍然保留才能解释此额外影响。(主矩不能忽略的另一个例子是，细杆可视为由两段构成，相接处显然被视为一个点。但两段之间的相互作用通常既有力，又有力偶矩。这是因为相接处实为一个小面，本就有力偶矩，即使小面趋于零时，主矩的效应也不可能消失。)主矩独立于主矢，取决于接触处的碰撞细节。

主矩为0的点碰撞可以称为“严格点碰撞”，以区分主矩不能忽略的一般情形。对于图1中的各种碰撞，我们通常都假定主矩(三个分量)为0，且切向力(两个分量)为0，即我们研究的碰撞既是光滑碰撞，又是严格点碰撞，从而在碰撞处的自由度从6个减为1个。

文[11]研究了两自由刚体的一般碰撞，得出动能损失最大所对应的末态特征是，碰撞后两碰撞点速度相等且两刚体角速度相等，就像两刚体粘住了一样。该结论符合我们的预期。但要注意，要实现这样的末态，相互冲击的主矢和主矩必须都允许任意调节。如果是光滑碰撞或严格点碰撞，那么通常就无法达到这样的状态，动能损失要小些。

实际上，如果碰撞满足光滑条件和严格点碰撞条件，就整个系统而言，其自由度必然只有一个。以两粒子一维正碰为例。确定系统状态需两个速度，但存在动量守恒，故只剩下一个自由度。这个自由度可以取为粒子1的速度，也可取为粒子2的速度，或者取为两粒子的速度差Dv=v2-v1。无论取哪个，只要它的取值确定，那么结合动量守恒方程(由初始条件确定总动量)，就可以确定系统所有部分的速度情况，从而确定整个系统的状态。

图2 两串相撞的刚体

更为一般的情形如何呢？先考虑这样的简单情形：系统中的刚体共有N个，分为两串(如图2所示，但也允许有分枝情况出现)：前m个为一串，后(N-m)个为第二串。两串中的各成员相互光滑铰接，而碰撞发生在分属两串的两个刚体之间。不会有刚体与这两串都不铰接：如果有，要么它不参与碰撞，要么违反“碰撞只发生在一处地方”的约定。又假定两串刚体分别是自由的，没有哪个刚体与参考系铰接(做定点转动)。

设碰撞初态已知，考虑末态。每个刚体的状态由其质心速度和角速度确定，共6个未知数。N个刚体则有6N个未知数。两两刚体之间有相互冲量，共3(N-1)个未知数，其中包括相撞的两刚体之间的冲量I。注意此处用到了光滑铰接和点碰撞条件，故铰接处和碰撞处的主矩都为0，否则未知数会增加。于是，系统的未知数共有9N-3个。

约束方程呢？首先，两刚体在铰接处速度相等，而两串刚体共N-2个铰接点，故共有3(N-2)个运动学约束。其次，在动力学方面，质心运动定理和对质心的角动量定理对每个刚体给出6个独立方程，共6N个动力学方程。此外，碰撞处的光滑条件给出I·n=0，这是2个约束。于是，独立的约束方程共有

3(N-2)+6N+2=9N-4

个。比较未知数个数和方程个数可知，系统只有一个自由度。

如果有三个刚体相互铰接在一起，或者有几个刚体形成一个圈，那么就意味着多了一处铰接。此时，多了一个冲量作为未知数(3个)，但同时也增加了“两刚体在新铰接处速度相等”这个运动学条件(也是3个)，故而不改变系统的总自由度。每多一处铰接都是如此，即使把两串刚体在某处铰接起来也是如此。

如果有刚体跟参考系光滑铰接而做定点运动呢？每出现一个定点，则多了一个冲量作为未知数(3个)，但同时也增加了“定点速度为0”的运动学约束(也是三个)，故仍不改变系统的总自由度。

总之，我们通常研究的碰撞只有一个自由度。这是一个基本结论。可以看出，该结论的严格证明涉及图论，但以上的说明已经足够充分了。

在只有一个自由度时，谈论恢复系数才是有意义的，否则一个恢复系数根本就不够。恢复系数的一般定义是法向上分离速度与接近速度的比值：

(2)

2 动能不变与e=1等价的证明

碰撞过程中，对于质点系中的质点i，它可能受到外冲量Ii和内冲量Iji(质点j对i的冲量)，由动量定理，得

miΔi=mi(

(3)

考虑所有质点的上述方程，并根据牛顿第三定律，两质点i和j的相互作用力等大、反向(Iji=-Iij)且共线((rj-ri)×Iji=0)，马上得到质点系的动量定理和角动量定理：

(4)

其中考虑到了碰撞前后ri不变。

跟质点系的一般情形一样，动能定理总要复杂一些。式(3)两边同时点乘′i或0i，得

两式相加除以2，并对i求和，注意左边即为系统动能的增量ΔK=K′-K，故有

(5)

此即质点系碰撞过程的动能定理[12]，其中右边第一项是外力做的功，第二项是内力做的功，这在恒力做功情形很容易辨认出来。同时，两式相减除以2，并对i求和，又得到

(6)

文献[12]把上式左边称为“损失(或增加)速度的动能”。注意其中出现的不是速度平方，而是速度增量的平方，故并不是真正的动能。

下面考虑刚体间的碰撞是光滑的，且为严格点碰撞，其中刚体可以是自由的，或做定点(定轴)转动，也可以出现几个刚体光滑铰接的情形。不管怎样，这些约束都是理想的。下面的任务是分析式(5)～(6)中的外力部分和内力部分的贡献。

系统在碰撞时可以受外冲量(定点、定轴情形)，但外力做功为0。用式(5)中的Ii·(′i+0i)/2来解释，受力点i的速度：′i=0i=0，故做功为0。同理，式(6)中Ii·Δi=0。

系统质点间的内力分为三种情形：1)同一刚体内部；2)两刚体的铰接处；3)碰撞处。在式(5)中，同一刚体内部的各质点内力做功之和为0，两刚体光滑铰接处两相互冲力做功之和为0。式(6)右边第二项中涉及刚体内部和铰链处的贡献也都为0。用式(5)～(6)本身来解释的话，由于Iji的反对称性，式(5)右边第二项等于

(7)

而式(6)中的对应项为：

(8)

图3 相撞的两刚体

于是，式(5)～(6)的右边，或式(7)～(8)中，唯一可能不为0的，来自于碰撞点P处的相互作用(如图3所示)。根据假设，碰撞时只有沿法向n的弹力，且主矩为0。于是，设主矢为I12=I=In，则对式(7)～(8)中的如下典型项，有

其中D含义见式(2)，且最后一式省略了脚标P。如果不满足光滑碰撞和严格点碰撞条件，那么上式应等于I·D0P+M·Dω，其中I和M(冲量偶矩)都有三个分量，且独立。

于是，式(5)～(6)变为

(9)

两式消去I，再利用恢复系数的定义(2)，即得

(10)

这就是动能改变的一般结果。

由此可以看出，ΔK=0只对应两种情形：(1)各质点Δi=0，即碰撞未发生(此时当然动能不变)；(2)e=1。于是命题得证。

3 动能损失最大与e=0等价的证明

由于我们所研究的这些碰撞只有一个自由度，那么在初态给定的情况下，系统的末态只有一个自由度，可取为e或D′n。而且，系统的中间状态也只有一个自由度，可由状态空间中的一条曲线上的点表示。不仅如此，状态曲线还可向两头无限延伸，也就是说，所有被约束所允许的状态都是可实现状态。

如果取速度差Dvn为自由度(状态曲线上的参数)，那么，Dvn原则上可在(-∞,∞)内取值而没有任何限制。对于通常的碰撞，初始时Dvn=Dv0n<0，然后经过Dvn=0的状态，到达Dvn=-eDv0n≥0的末态而结束。这里的e仅表示初态与末态的关系。但实际上，完全可以对用Dvn表示的任意中间态定义一个e值(参考式(2))：e=-Dvn/Dv0n。在这样一种更广阔的视角下，通常的碰撞可以视为这样的过程：e从-1出发，连续增加，直至在区间[0,1]内的某个终值而结束。e的终值成为给碰撞分类的标准。

但也完全可以存在这样的“碰撞”：(1)终态e=-1，这表示碰撞刚开始就结束了(或根本就没有发生碰撞)。它跟e=1的弹性碰撞都有ΔK=0。(2)终态e=-0.5(即Dvn=Dv0n/2<0)，意思是相对速度还没有减为0碰撞就结束了，比如子弹打穿木块。(3)终态e=2(即Dvn=-2Dv0n>0)，这可解释为相互挤压之后，在恢复过程中还有额外的能量输入，比如发生了爆炸。(4)终态e=-2(即Dvn=2Dv0n<0)，这可解释为两粒子不仅相互穿越，而且也有额外的能量释放。注意这一过程不仅没有经历e=0的状态，甚至也没有出现趋于该状态的过程，而是一开始就远离该状态。总之，只要允许精细的设计各种可能的碰撞细节，状态曲线上的任何一点都可以实现。而广义的碰撞，就是状态点从某点出发，沿着曲线连续移动，直至另一点结束。这里对初态和末态没有任何要求，甚至状态点在曲线上往返也不是不可能(但不会跳跃)。

在这样一种更一般的视角下，式(10)，或者

(11)

就可视为是曲线上任意两个允许状态的动能差。现在固定初态Dv0n，考虑系统经历一无限小过程到达末态Dv′n(Dv′n比Dv0n可大可小)。如果要求动能总是增加的，即上式总大于0，那么唯一的可能是Dv0n=0。这就是说，在状态曲线上的所有状态中，Dvn=0对应的状态，其动能最小。于是，动能损失最大与e=0等价。命题得证。

4 动能损失与恢复系数的一般关系

显然，动能是速度差的函数：K=K(Dvn)，因为若Dvn确定，则系统的状态确定，从而系统动能确定。但这一函数不能从式(11)中直接得到，因为其中的求和部分也暗含有Dv′n,Dv0n。而根据前面的结论，|Dvn|相同则K相同(弹性碰撞的始末状态的Dvn互为相反数)，Dvn=0时K最小，再考虑到式(11)，可以判断函数K(Dvn)是开口向上的偶函数，在(0,∞)范围内单调递增。但这具体是一个怎样的函数呢？

根据第一部分关于自由度的分析，把各种速度、角速度、冲量当成未知数时，其方程组会有无穷多组解，但仅由一个自由参数Dvn决定。另一方面，同一刚体内部各质点的速度之间的关系都是线性的，其他约束处的速度关系也是线性的(如固定点处速度为0，铰接处速度相等)。而各刚体的独立且完备的动力学方程(动量定理和角动量定理)也都是线性的。因此，上述方程组一定是线性方程组，且其解集合是一维线性流形(对应一个自由度)；所有未知数(包括各点速度)不仅由Dvn唯一确定，且都是Dvn的线性函数。由于动能所含的是各点速度的平方，故而动能一定是Dvn的二次函数。而前面已经得到K(Dvn)是偶函数，故而最后有

K=a(Dvn)2+c

(12)

其中a>0，c≥0，二者都由系统的位形和质量分布唯一决定，且c就是Dvn=0时的最小动能。式(12)就是这类单参数系统的动能的一般表达式。

有了一般表达式，动能改变则为

ΔK=K′-K0=a(Dv′n)2-a(Dv0n)2

用恢复系数表示，则有

ΔK=-(1-e2)a(Dv0n)2

(13)

它同式(10)一样都是动能改变的一般结果。但不同的是，此式中末态只体现在因子(1-e2)中，而式(10)中前后两个因子都跟末态有关。

至此，我们在引言中归纳的三条结论都得到了证明，而且得到了其成立条件：刚体间的碰撞只发生在一处地方，且为光滑碰撞和严格点碰撞，此外其他约束皆为理想约束。这些条件使得系统的状态仅有一个自由度。

我们还可以得到恢复系数与冲量的关系。联立式(9)的第一式(用e表示)和式(13)，可得

I=-2(1+e)aDv0n

注意通常的碰撞满足Dv0n<0,I>0。可以将上式拆为两部分：

I=Ic+Ir,Ic=-2aDv0n,Ir=-2eaDv0n

其中Ic,Ir分别为压缩过程和恢复过程中刚体1对2的冲量。于是有

(14)

即恢复系数等于恢复冲量与压缩冲量之比。这是恢复系数的另一种定义，其前提当然仍是理想约束、光滑碰撞和严格点碰撞。