例析求解平抛运动常见问题的常用方法

■江西省南康中学

平抛运动是运动合成与分解的典型应用，也是重要的考点和命题热点。与平抛运动相关的常见问题，有直接运用平抛运动规律的问题，也有平抛运动与圆周运动相组合的问题，还有平抛运动与天体运动相组合的问题，求解这些问题往往需要灵活运用动能定理、机械能守恒定律和能量守恒定律等。下面通过实例剖析求解平抛运动常见问题的常用方法。

一、直接运用平抛运动规律的问题

处理平抛运动时，一般将运动沿初速度方向和重力方向进行分解，按照分运动规律列式，另外需要挖掘和利用好合运动、分运动及题设情景之间的几何关系。遇到直接运用平抛运动规律的问题时，需要关注平抛运动的时间，判断是分解位移还是分解速度，确定平抛运动的速度偏向角、位移偏向角和两者间的关系，灵活应用轨迹方程列式求解。

例1如图1所示，墙壁上落有两只飞镖，它们是从同一位置水平射出的，飞镖A与竖直墙壁成53°角，飞镖B与竖直墙壁成37°角，两者落点间的距离为d，假设飞镖的运动是平抛运动。求飞镖射出点离墙壁的水平距离。（sin53°=0.8，cos53°=0.6）。

解析

点评：本题中飞镖的运动是平抛运动，在水平方向上的运动受到空间的约束，因此飞镖的运动时间由沿水平方向的分运动决定，可以根据x=v0t表示出运动时间，再用时间表示出竖直方向上的分位移，根据两飞镖的竖直距离之差等于d，即可求解水平距离。

例2如图2所示，A、B两小球用长l=5 m的细线相连，先后将两小球从平台的边缘相隔Δt=0.4s时间水平抛出，两小球被抛出时的速度均为v0=7.5m/s，问：在小球A被抛出后多长时间A、B两小球之间的细线正好被拉直？（取重力加速度g=10m/s2）。

解析

小球B刚要被抛出时，小球A发生位移的水平分量x=v0·Δt=3 m，竖直分量，两小球之间的距离，表明小球B被抛出一段时间后细线才能被拉直。假设小球B被抛出后经过时间t细线被拉直，小球A发生位移的水平分量xA=v0（t+Δt），竖直分量，小球B发生位移的水平分量xB=v0t，竖直分量。在水平方向上两小球之间的距离Δx=xA-xB=3m，根据勾股定理可知，在竖直方向上两小球之间的距离，又有Δy=yA-yB，解得t=0.8s。因此小球A被抛出后经过1.2s时间A、B两小球之间的细线正好被拉直。

点评：本题中两小球相隔0.4s以相同的初速度抛出，两小球在水平方向上的位移差恒定，因此可以对小球运动的位移进行分解。若突出落点问题时，一般要通过建立水平位移和竖直位移之间的关系列式求解。

例3从空中同一点沿水平方向同时抛出两个小球，它们的初速度大小分别为v1和v2，初速度方向相反，重力加速度为g，经过多长时间两小球速度之间的夹角为90°？

点评：求解本题时，先利用平抛运动任意时刻的两个分速度与合速度构成的矢量直角三角形，分别对两小球构建速度矢量直角三角形，再利用两小球速度偏向角之间的关系和三角函数知识即可顺利求得时间。若问题中突出末速度的大小和方向时，一般要通过建立水平速度和竖直速度之间的关系列式求解。

例4从高为H的A点平抛一物体，其水平射程为2s，在A点正上方高为2H的B点，向同一方向平抛另一物体，其水平射程为s。两物体的运动轨迹在同一竖直平面内且都恰好从同一屏的顶端擦过，求屏的高度。

解析

点评：若平抛运动中多次用到分位移x和y，则一般可以考虑用平抛运动轨迹方程解决。注意在应用平抛运动轨迹方程解题时，要记清平抛运动轨迹方程为。

二、平抛运动与圆周运动相组合的问题

解决平抛运动与圆周运动相组合的问题时，需要独立用好平抛运动和圆周运动的知识，并重视两种运动衔接处的物理量之间的联系，还需要用好动能定理、机械能守恒定律或能量守恒定律等。

例5如图5所示，餐桌中心是一个半径r=1.5 m的圆盘，圆盘可绕中心轴转动，近似认为圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计。已知放置在圆盘边缘的小物体与圆盘之间的动摩擦因数μ1=0.6，与餐桌之间的动摩擦因数μ2=0.225，餐桌离地高度h=0.8m。设小物体与圆盘、餐桌之间的最大静摩擦力都等于滑动摩擦力，小物体可视为质点，取重力加速度g=10m/s2。

（1）为使小物体不滑到餐桌上，圆盘的角速度ω的最大值为多少？

（2）缓慢增大圆盘的角速度，小物体从圆盘上甩出，为使小物体不滑落到地面上，餐桌半径R的最小值为多大？

（1）当小物体在圆盘上随圆盘一起转动时，圆盘对小物体的静摩擦力提供向心力，随着圆盘转速的增大，小物体受到的静摩擦力增大。当静摩擦力达到最大时，小物体即将滑落，此时圆盘的角速度达到最大，则fmax=μ1N=mω2r，N=mg，解得ω=2rad/s。

（2）当小物体滑到餐桌边缘速度恰好减为零时，对应的餐桌半径取最小值。设小物体在餐桌上滑动的位移为s，小物体在餐桌上做匀减速运动的加速度大小为a，则f=μ2mg=ma，解得a=2.25m/s2，小物体在餐桌上滑动的初速度v0=ωr=3m/s。由运动学公式得v2t-v20=-2as，解得s=2 m。由几何关系可知，餐桌半径的最小值。

（3）小物体滑离餐桌后做平抛运动，平抛的初速度为小物体在餐桌上滑动的末速度v1′，由运动学公式得，由几何关系得，解得v1′=1.5m/s。设小物体做平抛运动的时间为t，则，解得t=0.4s。因此小物体做平抛运动的水平位移sx=v1′t=0.6 m，由几何关系得L=s′+sx=2.1m。

点评：小物体在圆盘上随圆盘一起转动时，根据小物体受到的最大静摩擦力提供向心力可求得圆盘的最大角速度。小物体从圆盘上甩出后在餐桌上做匀减速运动，根据运动学公式可求得通过的位移，利用几何关系可求得餐桌的最小半径。小物体滑离餐桌后做平抛运动，根据运动学公式可求得脱离餐桌时的速度，根据运动学公式和几何关系可求得落地点与从圆盘上甩出时的位置间的水平距离L。

例6如图6所示，一个质量为m的小球（可视为质点）以某一初速度v0从A点水平抛出，恰好从圆管BCD的B点沿切线方向进入圆管，从圆管BCD的最高点D射出，恰好又落到B点。已知A点与D点在同一水平线上，圆弧BC所对圆心角θ=60°，重力加速度为g，不计空气阻力。求：

（1）圆管BCD的半径R的大小。

（2）在D点管壁对小球的弹力N。

（3）小球在圆管BCD中运动时克服阻力做的功W阻。

本文设计了以可调衰减器和定向耦合器为核心器件的发射机互调发射测量链路，建立了基于衰减量调节的互调发射抑制比测量方法，并以某型电台为实验对象，对fc=|ft±fj|、fc=|2ft±fj|、fc=|3ft±fj|、fc=|2ft±2fj|和fc=|2fj±ft|等10种互调发射类型的互调发射抑制比进行了测量.所有测量结果均符合本文的分析结论，说明本文提出的测量方法是合理可行，测量结果准确可信.

点评：小球先做平抛运动，后做竖直面内的变速圆周运动，最后又做平抛运动，这是一个平抛运动与圆周运动多过程的组合问题。用好平抛运动的规律，抓住“小球从圆管BCD的B点沿切线方向进入圆管”这一条件，对小球到达B点时的速度进行分解，即可求得R。分析小球在最高点D时的受力情况，利用向心力公式即可求得N。选取合适的运动过程，利用动能定理即可求得W阻。

例7如图7所示，半径为R的光滑半圆槽竖直固定在水平地面上，可视为质点的小球以大小为4m/s的初速度向左进入半圆槽，小球通过最高点后做平抛运动。若小球做平抛运动有最大水平位移，取重力加速度g=10m/s2，则下列说法中正确的是（ ）。

A.最大水平位移为1.2m

B.当R=0.3 m时，小球做平抛运动的水平位移最大

C.小球落地时，速度方向与水平地面成45°角

D.小球落地时的速度大小为4m/s

答案：CD

点评：小球先在光滑半圆槽上做变速圆周运动，再做平抛运动。利用机械能守恒定律可求出小球做平抛运动的初速度，利用平抛运动规律可以把水平位移表示出来，利用二次函数可求出水平位移的最大值。

三、平抛运动与天体运动相组合的问题

解决物体在星球表面做平抛运动的问题时，需要抓住平抛运动的加速度等于重力加速度这一条件，熟练运用运动的分解法处理平抛运动，再灵活选用天体运动相关知识求解各物理量。

例8假设一航天员站在一星球表面上的某高度处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为l。若将小球抛出时的初速度增大到原来的2倍，则抛出点与落地点之间的距离为。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，引力常量为G，求该星球的第一宇宙速度的大小。

点评：根据两次平抛运动的位移关系可求出小球做平抛运动的高度h，利用万有引力定律相关公式可确定重力加速度g′，依据物体绕星体做圆周运动向心力的供需关系可求出第一宇宙速度v1。

感悟与提高

1.在离地面某高处，第一次将小球以初速度v0水平抛出，第二次沿着小球在空中的运动轨迹设置一条光滑轨道，改为将小球在此轨道上与第一次同一高度由静止释放。已知小球在运动过程中始终不脱离轨道，不计空气阻力。比较两次小球的运动，以下说法中正确的是（ ）。

A.运动时间相等

B.着地时的速度大小相等

C.着地时的速度方向相同

D.在竖直方向上的分运动都是自由落体运动

2.车手要驾驶一辆汽车飞越宽度为d的河流，在河岸左侧建起如图9所示的高为h、倾角为α的斜坡，车手驾车从河岸左侧冲上斜坡并从顶端飞出，接着无碰撞地落在右侧高为H、倾角为θ的斜坡上，顺利完成了飞越。已知h＞H，当地的重力加速度为g，汽车可看成质点，忽略汽车在空中运动时所受的空气阻力，根据题设条件可以确定（ ）。

A.汽车在左侧斜坡上加速的时间t

B.汽车离开左侧斜坡时的动能Ek

C.汽车在空中飞行的最大高度Hmax

D.两斜坡的倾角满足α＜θ

3.如图10所示，在竖直放置的半圆形容器的中心O点分别以水平初速度v1、v2抛出两个小球（可视为质点），最终它们分别落在圆弧上的A点和B点。已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，则两小球的初速度大小之比为（ ）。

4.一根长为0.8 m的绳子，当受到7.84N的拉力时即被拉断，若在此绳的一端拴一个质量为0.4kg的物体，使物体以绳子的另一端为圆心在竖直面内做圆周运动，当物体运动到最低点时绳子断裂（取重力加速度g=9.8m/s2）。求：

（1）物体运动至最低点时的角速度和线速度各是多大？

（2）若绳子断裂时物体距地面高4.9 m，则经多长时间物体落至地面？

（3）物体落地处距抛出点的水平距离多大？落地时物体的速度多大？

5.如 图11所示，位于竖直平面内的光滑轨道由四分之一圆弧AB和抛物线BC组成，圆弧半径OA水平，B点为抛物线顶点。已知图中h=2m，，取重力加速度g=10m/s2。

（1）一小环套在轨道上从A点由静止滑下，当它在BC段上运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧AB的半径。

（2）若小环因微小扰动从B点由静止而开始滑下，求小环到达C点时速度的水平分量的大小。

6.在21世纪，我国适时地启动了嫦娥工程，开展了深空探测活动，为我国的航天事业创立了新的里程碑。嫦娥工程分为“无人月球探测”“载人登月”和“建立月球基地”三个阶段。假设某航天员登月后站在距月球表面h高度处，以初速度v0沿水平方向抛出一个小球，经过时间t小球落到月球表面上。已知月球的半径为R，引力常量为G。求：

（1）月球表面的重力加速度g。

（2）小球落地时的速度v。

（3）月球的第一宇宙速度v1。

参考答案：1.C 2.CD 3.C

4.（1）ω=3.5rad/s，v=2.8 m/s；（2）t=1s；（3）x=2.8m，v′=10.19m/s。