学生为何如此无助

唐慰康

摘要：教师在教学中，不要留遗憾，不要留后患。每教一个新概念、新定义、定理、公式、法则等，给学生的第一印象就要是准确的、是本质的，让学生切实把握住其内涵，以区别其他概念。要让学生切实掌握其内在的独特性质，别让非本质属性掩盖了本质属性，真正让学生运用本质属性去解题。

关键词：解析几何题;困惑;启示

一、题目

过椭圆C：     +      =1的右焦点F且倾斜角互补的两条直线L1、L2，L1交椭圆C于A、B两点，L2交椭圆C于C、D两点，求△AFC的面积S的最大值。

此题是某校高三年级一次模拟考试的压轴题，学生感到无可奈何，中途放弃者多。

二、学生的困惑

学生一看题目，题意非常明白，但求解困难，大部分学生束手无策。仔细审题，△AFC的边长和高都未知，而要解此题必须求出△ACF的面积表达式，这就存在一个选择谁作底边的问题。若选择边AF（或CF）作底边，而熟知的弦长公式：|MN|=    1 + k2

（x1+x2）2 -4x1x2   ……又用不上，因为它们都不是曲线的弦长。看来只好选择边AC（或BD）作底边，可以用上弦长公式，于是就设直线AC的方程为y=kx+m，选点F到直线AC的距离d作高来列面积表达式。这个思路是对的，但按这种思路做下去，步骤多，过程冗长，又要消参，又要求最值，多数学生半途而废，即使个别学生能坚持做下去，也未得出准确的答案，因此此题的得分率极低。到底有没有简单一点的解法？有。（注：把按上述思路的解法称为解法一）

三、一种简洁的解法

换一个角度进行思考，选择边AF作底边，则有下面简单一点的“解法二”。

解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），易得F（1，0）

设直线AB的方程为x=ty+1（t>0），代入       +

=1，消去x，得（3t2+4）y2+6ty-9=0，显然有△>0，则有y1·y2=          ……（A），又|AF|=  1+t2·|y1-0| （注：这是关键的一步。也可设直线AB的方程为y=k（x-1）），这时|AF|=    1 + k2  ·|x1-1|，其实此式可视为公式（1）中的x2=1）。

又因直线AB和CD的倾斜角互补，所以点C与点B关于x轴对称，则点C的坐标为（x2，-y2），点C到直线AB的距离d=                       =                          =

，所以△AFC的面积S=   |AF|·d=      1+t2·      |y1|·               = t|y1y2|   。 将（A）式代入，得S=              =

=           ≤            =           ，当且仅当3t=     ，即t=±         ，因t>0，故舍去-          ，所以△AFC的面积S的最大值为            。这样的解答不是很简单吗？

为什么学生想不到简单一点的解法，如解法二，而只一味地选用解法一呢？

四、寻觅错因

笔者认为，这是学生对公式 |MN|=   1+k2

（x1+x2）2-4x1x2 ……（1）的理解有误，误认为公式只能用于求曲线的弦长（好多资料上命名为弦长公式），误解了这个公式使用的前提条件是直线与曲线有两个交点，才导致学生前面的解法只选边AC作底边，而不选边AF（或CF）作底边。因为边AF（或CF）都不是椭圆的弦长，用不上弦长公式。

其实，弦长公式是由公式：|MN|=    1+k2·|x1-x2| ……（2）推来的（注：把（2）变为（1）是为了后面解题能用上韦达定理，因为大量的解析题要用上韦达定理）。这两个公式是等价的，使用的前提条件也是一样的。显然，公式（2）使用的前提条件是：只要M、N两点在某一斜率为K的直线上即可，所以，公式（1）的使用的前提条件也是这样。

例如：斜率为2的直线L上的M、N两点的橫坐标分别为-1，3，

则|MN|=______

用公式（2）求得|MN|=   1+22|-1-3| =4   5  ;

用公式（1）求得|MN|=   1+22      （-1+3）2-4（-1）×3

=4   5

此例说明公式（1）不是只能求圆锥曲线的弦长。

由于学生对公式（1）的理解有误，才导致学生解上述题目时，吊死在以边AC（或BD）为底边的这棵树上。

表面看来问题出在学生身上，其实根源还是在教师身上。一方面，老师在教授公式时，没给学生讲清楚公式的本质属性及使用的前提条件，致使学生产生误解，认为公式（1）只限于求曲线的弦长。另一方面，老师讲公式的应用时，强化了应用公式（1）求弦长的训练，弱化了求非弦长的训练或者根本就没讲过求非弦长，致使学生不会用公式去表示|AF|。退一步说，如果老师把学生教活了，不用公式（1）（2），直接运用两点间的距离公式，也可以求出|AF|的表达式。

还有一种可能的原因，就是教师本身也像学生一样误认为公式（1）只能用于求曲线的弦长。

五、一点启示

教师在教学中，不要留遗憾，不要留后患。每教一个新概念、新定义、定理、公式、法则等，给学生的第一印象就要是准确的、是本质的，让学生切实把握其内涵，以区别其他概念。教师要让学生切实掌握数学内在的独特性质，别让非本质属性掩盖了本质属性，真正让学生运用本质属性去解题。

（责任编辑：奚春皓）