速度相加定理与光速不变原理相容性探析

朱孟正 赵春然 公丕锋 张金锋

摘 要：在低速近似（vC）情况下，相对论速度相加定理便退化为经典的速度相加定理.研究问题的速度所处的范围为：低速，选经典速度相加定理;高速，选相对论速度相加定理;相对论速度相加定理与光速不变原理是相容的，真空中光速大小与惯性系的选择无关.

关键词：相对论;光速不变原理;速度变换

[中图分类号]O412.1 [文献标志码]A

Exploring the Compatibility of the Velocity Addition Ruleand the Universal Speed of Light

ZHU Mengzheng，ZHAO Chu-ran，Gong Pifeng，ZHANG Jinfeng

（School of Physics and Electronic Information，Huaibei Normal University，Huaibei 235000，China）

Abstract：In the case of low-speed approximation （vC），the relativistic velocity addition theorem degenerates into the classical velocity addition theorem.When the speed of the problem is at a low speed，the classical velocity addition theorem is chosen;when the speed of the problem is at a high speed，the relativistic velocity addition theorem is chosen.The relativistic velocity addition rule is compatible with the universal speed of light.The speed of light in vacuum is independent of the choice of inertial frame.

Key words：relativity;the universal speed of light;speed transformation

光速不变原理是爱因斯坦为建立狭义相对论提出的两条基本假设之一，这条原理彻底否定了牛顿绝对时空观及其反映该时空观对应的伽利略变换，确立了时间和空间的相对性质和有机联系.光速不变的基本假设告诉人们：光速不满足经典速度合成公式，实际上就是进一步说明了伽利略变换以及经典速度相加定理对物体高速运动的情况不再适用.[1]

1 速度相加定理对光速不变原理的相容性

用机械能守恒定律讨论宇宙速度时，曾提到第三宇宙速度.当抛射体的速度达到这个速度时，该抛射的物体将能脱离太阳系，进入到其他恒星世界中旅行.抛射体脱离太阳的引力束缚的速度为42.2 km/s.拋射体位于地球上，而地球因公转本身相对太阳已具有29.8 km/s的公转速率，故此，仅需使其相对地球的速度达12.4 km/s即可.然而，抛射体要达到脱离太阳的引力束缚，必须提供足够的能量，使其首先脱离地球的引力束缚，最终使抛射体相对地球的速度达16.7 km/s才行，这个速度就称之为第三宇宙速度.这里运用经典的速度相加定理的正确性当然是毋庸置疑的，接下来再使用这个速度相加定理会出现什么情况呢？

例1，假定一宇宙飞船（参考系∑′）相对地面（参考系∑）以一个恒定的速度v→=0.9 ce→x运动，而飞船内的某个物体相对飞船本身运动速度为u→′=0.8 ce→x，那么，按照速度相加定理，地面参考系中的观察者看到该物体的速度就应该是u→=1.7 ce→x.例2，在地面参考系中小球A以速度v→1=-0.6 ce→x运动，小球B以速度v→2=0.7 ce→x运动，那么，小球B相对于小球A的运动速度就是1.3 ce→x.结果明显违背了相对论中“一切真实的物质运动速度都不能大于光速”的光速极限原则.

物体的运动状态就属高速运动的情况，速度大小可以与真空中的光速c相比拟了，此种情景下，经典速度相加定理就不再适用，才会在速度合成后出现超光速现象.值得注意的是[2]，“‘光速不变原理在它最初被提出时只是一个假设，而不是迈克耳孙-莫雷实验的结论，但它代表一个划时代的理论思维的飞跃.狭义相对论的真正实验基础，是半个世纪以来的大量实验事实.这些实验事实只能用相对论来解释和预见，只是在有了这些牢固的实验基础之后，人们才能回过头来说光速不变原理和相对性原理是反映客观现实的真理.”

从光速不变原理出发，可以推导出反映相对论下时空观的坐标变换[3]——洛仑兹变换：

x′=x-v t1-v2c2， y′=y， z′=z， t′=t-vc2x1-v2c2.（1）

（1）式的变换是假定惯性系∑系和∑′系的对应坐标轴是相互平行的，∑′系相对∑系匀速v沿x轴正方向运动，从两系的原点重合时刻开始计时，即t′=t=0.洛仑兹变换是狭义相对论时空观的集中表现，在洛仑兹变换关系中可看出时间和空间是相互联系的;时间空间性质与运动速度v之间有重要关系，不是“绝对”的，一成不变的.在低速情况下，即vC， 洛仑兹变换便简化为伽利略变换，洛仑兹变换是伽利略变换的发展，而伽利略变换则是洛仑兹变换的特殊情况——低速极限情况.只有两个惯性系之间的相对速度vC时，分母成了虚数，该变换将失去真实的物理意义，所以一切真实的物质运动速度都不能超过光速.当然“因果律”也要求光速为物体的极限速度，也就是说：真空中的光速是相对论中物体运动速度或能量传输速度的一种极限.

由洛仑兹变换，很容易得到相对论速度相加定理.一质点在惯性系∑′中的速度为：

u′x=dx′dt′， u′y=dy′dt′， u′z=dz′dt′.

而在∑系中的速度为：

ux=dxdt， uy=dydt， uz=dzdt.

则：

u′x=ux-v1-vuxc2， u′y=uy1-v2c21-vuxc2， u′z=uz1-v2c21-v uxc2.（2）

其速度逆变换为：

ux=u′x+v1+vu′xc2， uy=u′y1-v2c21+vu′xc2， uz=u′z1-v2c21+vu′xc2.（3）

在非相對论极限（即vC，|u→|C）下，相对论速度相加，定理（2）式过渡到经典的速度相加定理，即伽利略速度变换公式（u′x=ux-v，u′y=uy，u′z=uz）——经典速度相加定理.乍看起来，经典速度相加定理和相对论速度相加定理两者之间是格格不入的，但实际上只要在低速近似（vC）情况下，相对论的速度相加定理便退化为经典的速度相加定理了.然而，在高速运动的世界，经典的速度相加定理完全失效，只能用相对论速度相加定理.根据经典的速度相加定理，可通过速度合成使速度无限增大，而相对论的速度相加定理表明，合速度，即两个速度之“和”，并不恰巧是两个速度的代数和，而是被分母（1-v ux/c2）所“校正”了的[4]，正是这个原因才确保速度的极限仍是c.在低速运动的世界，利用伽利略变换就可以精确的描述运动规律，这就是为什么经典力学规律与大多数实验相符合的原因.但是，当物体处于高速运动的状态时，伽利略变换完全失效，只能用洛仑兹变换，这就是电磁运动规律不服从伽利略变换的原因.[5]故此，在运用速度相加定理时，一定要事先明白研究问题的速度所处的范围：低速，选经典速度相加定理;高速，选相对论速度相加定理，如例1的宇宙飞船问题.已知惯性系∑′相对惯性系∑以恒定的速度v→=0.9 ce→x运动，而惯性系∑′内的一物体相对飞船本身运动速度为u→′=0.8 ce→x，那么，按照相对论速度相加定理（3）式，地面上观察者观测到飞船内该物体的运动速度：

ux=u′x+v1+vu′xc2=0.8 c+0.9 c1+0.9 c×0.8 cc2=0.988 c， uy=0， uz=0.（4）

再看例2的高速运动的小球问题.选择地面为惯性系∑，设固定在小球A上的系∑′以速率v=-0.6 c相对于∑系沿x轴方向运动，负号表示沿x轴负方向运动，固定在小球B上的惯性系∑″以速率0.7c相对于系∑沿x轴正方向运动，即小球B在∑系中的运动速度：ux=0.7c，uy=0，uz=0，则在∑′系上观测到小球B的运动速度，由相对论速度相加定理（2）式，得：

u′x=ux-v1-v uxc2=0.7 c-（-0.6 c）1-（-0.6 c）×0.7 cc2=0.915 c， u′y=0， u′z=0.（5）

由此可见，不可能用运动学中速度合成的方法，使得在某惯性系中测得物体的运动速度大于光速.

对此，笔者做更具一般性的论证：为了讨论的简便，如在∑′系中物体运动的速度方向沿x轴方向，即有u′=|u→′|=u′x，由相对论速度相加定理（3）式，在∑系中有u=|u→|=ux得：

1-uxc=1-1cu′x+v1+vu′xc2，

即：1-uc=（1-u′c）（1-vc）1+v u′c2.（6）

公式（6）表明：若u′

对于真空中的光速在任何惯性系中都是c，还可以作如下解释：若在惯性系∑中真空光速c=u2x+u2y+u2z，为了使问题具有一般性，笔者没有强求光线仅沿着x轴方向传播，由相对论速度相加定理（2）式得∑′系中的光速：

u′2x+u′2y+u′2z=（ux-v）2+（u2y+u2z）（1-v2c2）（1-v uxc2）2=（ux-v）2+（c2-u2x）（1-v2c2）（1-v uxc2）2=c2.（7）

由此可见，相对论速度相加定理与光速不变原理是相容的.该计算过程再一次说明了真空中光速大小与惯性系的选择无关，但在不同的惯性系中观测同一条光线，它的传播方向可以不同.

2 结论

综上所述，在低速近似（vC）情况下，相对论速度相加定理便退化为经典的速度相加定理.研究问题的速度所处的范围为：低速，选经典速度相加定理;高速，选相对论速度相加定理;相对论速度相加定理与光速不变原理是相容的，真空中光速大小与惯性系的选择无关.光速不变原理反映出的信息是：光速不满足经典速度合成公式，即说明了伽利略变换以及经典速度相加定理对物体高速运动的情况不再适用.

參考文献

[1]Kurilovas E.Advanced machine learning approaches to personalise learning：learning analytics and decision making[J].Behaviour & Information Technology，2019，38（4）：410-421.

[1]于洛平.电动力学百问[M]. 济南：山东教育出版社，1996.103-109.

[2]张元仲.狭义相对论实验基础[M].北京：科学出版社，1979.23-30.

[3]胡友秋，程福臻.电磁学与电动力学：下[M].北京：科学出版社，2008.201-203.

[4]（美）费恩曼，（美）莱顿，（美）桑兹. 费恩曼物理学讲义：第1卷[M].上海：上海科学技术出版社，2005.171-172.

[5]杨世平.电动力学[M].北京：科学出版社，2010.70-82.

[6]朱孟正，赵春然.麦克斯韦方程组的四维协变形式[J].牡丹江师范学院学报：自然科学版，2017（4）：30-32.

[7]洪爱俊.对同时的相对性之认识[J].牡丹江师范学院学报：自然科学版，2011（2）：17-18.

编辑：琳莉

收稿日期：2019-10-30

基金项目：国家自然科学基金项目（51502106）;安徽省自然科学基金面上项目（1808085MA08）;安徽省教育厅高等学校自然研究重点项目（KJ2018A0672）

作者简介：朱孟正（1978-），男，安徽无为人. 副教授，博士，主要从事物理教学和量子信息研究; 赵春然（1980-），女，安徽淮北人. 副教授，硕士，主要从事量子光学研究;公丕锋（1977-），男，山东临沂人. 副教授，硕士，主要从事量子光学、量子信息和光催化研究.