描点法在函数 y=Asin(ωx+φ)作图中的应用

摘 要：函数的抽象是为了能够更好的抓住函数的本质，而函数的图像则是对函数的本质的具体呈现。可以说函数的抽象对于函数有多重要，函数的图象就对函数有多重要，两者相辅相成才能使得函数既具备高度的概括性，同时又具备内涵的可呈现性，可以说是相得映彰。描点法作为函数作图的基本方法，是学生学习函数的重要作图方法，在y=Asin（ωx+φ）的作图中得到集中的体现。

关键词：作图;直观想象;核心素养

美国的著名心理学家认为长时记忆分为两个系统：表象系统和言语系统。表象系统以表象代码来储存关于具体的客体和事件的信息;言语系统以语义代码来储存言语信息。这两个系统既相互独立又彼此联系。这种观点称为双重编码说。数形结合法作为高中阶段最重要的数学思想方法之一，正是 “双重编码说”这一理论的重要体现。因其将抽象的函数形式图形化，实际上是为学生提供视觉映像，是利用数学学习材料与属性统一的特点，使抽象的数学知识形象化，从而使数学知识所具有的双重表象的作用得到发挥，学生在记忆它时既可以形成言语记忆痕迹，又可以形成视觉记忆痕迹。

正是由于数形结合法具备的这一特殊功能，因此作图就成了高中数学学习的一项基本技能而被反复提起。在高中阶段的作图方法一般分为四种：描点法、图象变换法、求导法以及函数性质作图法。其中的描点法作为最基本的作图方法，在所有方法中都有着重要的作用。

一、描点法在初、高中阶段的区别

描点法在初中接触函数的内容的时候，学生就已经开始接触，学生可以根据所给的函数，对自变量的值选取五个简单的数，通过列表找出相应的函数值，接着根据所列的表描点，最后用光滑的曲线将这些点连线成图。

例如：二次函数y=x2+8x-1，可以分别选取x=-2，-1，0，1，2，得到表格为：

得到的图象如图1所示。

由图1所得到的图象可以发现，初中阶段的描点法中的选点有着随机性的特点，导致所作出的图象有时不能真实的反映函数的基本特征。在遇到复杂函数时很难对函数的图象有整体的把握，无法满足高中阶段解决问题时对图象的要求，所以高中阶段必须对初中阶段的描点法进行改进。

通过初中的学习，学生已经掌握了二次函数是一个抛物线形状的轴对称图形，明确二次函数图象必须含有对称轴、开口方向、顶点以及与坐标轴的交点等要素，这些要素可以确定函数图象的大致形状。

同样用上述的二次函数y=x2+8x-1，根据函数形式可知，该函数的对称轴为x=-4，顶点为（-4，-17），与y轴的交点为（0，-1）。根据这些要素可以做出该二次函数的图象如图2所示。图象不必做到横纵单位长度完全一致，将关键的要素描述清楚就足够呈现函数图象的基本特征。

由此可见，初中阶段和高中阶段的描点法的根本区别在于：初中阶段的点可以任意选取，而高中階段的点选取则凸显了“关键”位置，这些位置的确定为图象的最终确定提供了依据。

二、描点法在函数y=Asin（ωx+φ）作图中的简单应用

通过三角函数图象的学习，可知函数y=Asin（ωx+φ）是周期函数，只要做出一个周期的函数图象，就能够将该函数的图象基本形状呈现出来。如：作出函数的一个周期的图象，可以对相位取关键值，然后列表可得：

右表中的五点是根据正弦函数y=sinx中关键的五点：向上趋势的平衡位置的点——最高点——向下趋势的平衡位置的点——最低点——向上趋势的平衡位置的点，五点组成一个周期图象。然后利用相位的值得出x与y的值，使相位取到具备以上特征的五个点，最后描点并连线成图，所得图象如图3所示。

三、描点法在函数y=Asin（ωx+φ），x∈（a，b）作图中的应用

一个周期的图象在作图中只需要利用周期中关键的“五点”，通过描点法的基本步骤就可以作出。整个函数图象只需要对一个周期图象的复制，不断地周而复始即可。但是当遇到的问题是所给的函数的自变量限制了范围，不再是一个周期内的图象的时候，图象的的做法就相应的变得复杂，而相位与自变量所选取的关键点也相应的发生变化。接下来以函数，的图象为例，叙述整个函数的作图过程。

（1）在草稿纸上确定范围，先将自变量的两端点列在表格中，如表1所示：

（2）通过自变量两端点的值，一方面确定相位的范围，另一方面确定两端点自变量所对应的函数值，如表2所示：

（3）根据表2，可以得出相位的取值范围是，根据之前所描述的一个周期内关键点的特点可知，相位还应该取到的关键值有：。这些关键点要么是最值点，要么是平衡位置的点，对图象的确定起到关键的过作用。可得结果列表如表3：

（4）根据表3，计算出相应的自变量和函数值，为后续作图做准备，计算得出表4：

（5）根据以上列表，描点得出图象，如图4所示 。

四、描点法在函数y=Asin（ωx+φ）+k，x∈（a，b）作图中的应用

通过对函数y=Asin（ωx+φ）在限制定义域时的作图方法的介绍中，可以看出限制了定义域之后，关键点的选取也相应发生了变化，但是该函数的平衡位置与没有限制定义域以及正弦函数的平衡位置没有区别，所以在考虑的过程中，除了多考虑两端点的位置之外，其他关键点的特征与没有限制定义域时的关键点的特征完全一致。

但是当平衡位置发生变化的时候，关键点的考虑也要发生相应的变化。以函数，的图象为例。该图象的平衡位置由原来的x轴平移到y=-1，列出表格如表5所示：

通过表5描点之后，在连线时由于与y轴相交的位置不确定，所以必须增加一个关键点，也就是与y轴的交点，此时才能得到最终的图象与y轴相交于正半轴。如果需要更加精确的图象，那么还可以通过列表，找到该函数与x轴的交点。但如果需要的仅仅只是草图的话，完成之前的步骤就足够将该函数的草图描绘出来。

y=Asin（ωx+φ）是高中阶段最重要函数图象之一，描点法作图也是该函数作图最主要的一种方法。通过以上的讲解可以看出，描点法中的点不能随意选取，不同的题型和条件所需要的点都不同，但是归结起来，还是主要抓住关键点和关键线这两个方面的内容进行作图。其中关键点一般指：端点、最值点、极值点以及与坐标轴的交点;关键线一般指：对称轴、分界线（常见于分段函数）、渐近线等。不管是关键点还是关键线，最终的目的是为了能够将所给函数对应的图象的整体性质表达出来。至于其中比例的精确与否对整体的图象表达并不会产生根本性的影响。由此可见，高中阶段的作图需要的并不是具体的每一个点的精确位置，而是关键点和关键线的位置不出错，所得到图象能够清晰地表达函数的性质即可。

参考文献

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基金项目：文章为福建教育学院2018年度基础教育研究课题——人机交互下的翻转课堂实施方案探索的研究成果，项目编号：JYYB-20128035;文章为福建省三明市三元区基础教育科学研究2018年区级立项课题——“一题四层四翼”指导下的高三数学复习方案与应试方法研究的研究成果，项目编号：JYKT-18103。

作者简介：王圣荣（1982- ），男，中学一级教师，研究方向：课堂教学。