二次函数图像性质的课堂实录和反思

孙慧

本文是笔者在一次校级公开课上的教学实录。整理成文的过程中，反思教学环节后有了新的体会，记录在此。

1 教学案例分析

环节1 情景引入

教师：首先来看一段文字“两弯似蹙非蹙罥烟眉，一双似泣非泣含露目。态生两靥之愁，娇袭一身之病。”文字描述的是？

学生：林黛玉/一名女子。

教师：能否通过文字刻画她的面容和身姿？

学生若有所思。

教师：如果有图片，会更加直观了吧。（课件展示林黛玉图片）图片更生动，文字更具体，两者结合，图文并茂，林黛玉的形象则深入人心。那么函数，可从哪些方面去认识它呢？

学生：函数解析式和图像。

教师：函数式是代数角度，图像是形的角度，数形结合，认识彻底。我们曾学过一次函数，它的解析式是什么？图像又是什么？

学生：解析式是y=kx+b（k≠0），图像是一条直线。

教师：你能列举出最简单的二次函数么？

学生1：y=2x2

学生2：不对，是y=x2

教师：两位同学的举例可归纳为y=ax2（a≠0），它是二次函数的代数式，那形又如何呢？二次函数长什么模样呢？有请两位同学板演作图。

环节2 概念形成

学生绘图完毕。教师：两位同学都注意到了，用平滑的曲线串联各点，自变量取值均匀且对称。请大家观察这幅开口向下的二次函数图像，联想生活实际，是否似曾相识？

学生：像抛掷物体后的运动轨迹。

教师：很好！所有的二次函数图像都是抛物线，我们可以称它为抛物线y=ax2（a≠0）。继续观察，这两条抛物线最大的区别是什么？

学生：开口朝向不同。

教师：那它们对应的函数式有什么区别？

学生：a的正负不同。

教师：猜想，什么因素导致了开口方向的不同？

学生异口同声，都猜到了是a的正负导致开口方向的不同。教师用几何画板验证一簇开口向上结果。

教师：思考，为何a>0时，开口一定就朝上呢？

学生：因为当a>0时，x无论取任何数，y为非负数，因此所有的点都在x轴的上方。

教师：解释得非常棒！同理，可得到当a<0时，抛物线开口向下。几何画板验证。现在聚焦几何画板中开口向上的一簇抛物线，你还能观察到它们的什么共同特征呢？小組讨论三分钟。

学生们纷纷得出以下结论：对称轴在y轴;图像有最低点在原点;在y轴左边，图像下降，在y轴右边，图像上升。

教师：请列表写出当a<0时的抛物线图像的特征。有请一位同学板演。

环节3 明晰性质

教师：由此我们发现，任意一个二次函数，它的图像都是一条抛物线。函数式中的系数决定了图像的具体模样。我们首先读取a的正负，判断开口方向;继而可观察到图像的最低或最高点，即为顶点;以顶点为分数领，左右两侧的增减趋势不同。所有的二次函数都可以从这四个方面去讨论。

环节4 应用性质

例1：已知关于x的二次函数y=（k-3）。

（1）求k的值;

（2）k为何值时，抛物线有最低点？此时，当x为多少时，y随x的增大而增大？

例2：已知点A（-3，y1），B（-1，y2），C（3，y3）在抛物线y=x2上，则y1，y2，y3的大小关系是？

环节5 课堂小结

课堂最后，送给学生一首华罗庚的诗：“数缺形时少直观，形少数时难入微;数形结合百般好，隔裂分家万事非！”

2 教学反思与说明

2.1 教学质疑

教学设计中存在两处疑问：（1）二次函数的图像为什么要研究这几条性质？再遇到其他函数时也是研究这些性质吗？会不会遗漏？（2）教师提问里涉及到了一次函数，点到为止，却没有调动学生的记忆辅助本堂课的教学，那为何要提？可否利用一次函数，进行类比学习？（3）数形结合的口号不少说，什么时候用数形结合，为什么要用？

2.2 反思与改进

为此，我做了以下思考和预设。在环节二提到一次函数时，首先请学生列举一次函数并绘制图形，大家共同讨论一次函数图像的特征，并总结图像的性质：一次函数是一条直线;没有最小值最大值;随着自变量的变化，函数值单调变化。继而观察一次函数解析式中的字母，明确了x和y是自变量和因变量，对应图像中各个点的横纵坐标;k和b是系数，是决定一次函数特殊性的常量，是图像中各个点坐落于哪个具体位置的决胜武器。因此得到斜率k控制一次函数图像的增减趋势，截距b决定一次函数与y轴交点的纵坐标。然后在进入二次函数的图像绘制，后续的分析过程，学生会主动类比一次函数，观察函数图像特征，对比函数解析式系数，揣测其对应关系，并加以验证，学习过程水到渠成。

2.3 学生内化过程

由此给学生建立了以下意识：1，函数解析式可以通过系数判断函数的特征，但图像更直观，数形结合原来如此;2，图像虽是一条直线或曲线，但可以通过与坐标轴的特殊交点，对称性，增减趋势，最值等显著特征来丰富对图像的描述;3，先验知识一次函数和新知识二次函数不是割裂开的独立知识，他们都属于函数范畴，一次函数的分析过程，可以运用到二次函数，甚至其他函数，由此加深了类比学习的思想。类，是相同特征的迁移;比，是不同特征的分离。相同的是，一次函数和二次函数都有解析式和图像两种表达方式，函数式中的系数决定函数图像的细节;不同的是，不同类型的函数图像特征不尽相同，函数性质应该是能够突出表达图像特征的描述。

参考文献：

[1] 金国年.类比思想在初中数学概念教学中应用的案例分析[J].中学数学教学参考（中旬），2019（11）：68-70.

[2] 曹才翰，章建跃.中学数学教学概论[M].北京：北京师范大学出版社，2008.