机械能守恒定律服从力学相对性原理

林辉庆

(杭州市余杭高级中学，浙江 杭州 311100)

1 关于机械能守恒定律是否协变的疑问

机械能守恒定律是否服从力学相对性原理，是大学物理教学与中学物理教学反复讨论的问题，近来，又有几种中学物理教学杂志发表了对这个问题的讨论文章．[1-3]这些文章基本上都围绕如下三个具体的例子进行讨论．

例1．如图1，小车在水平地面上匀速运动，小球在弹簧弹力作用下在车内的光滑水平桌面上运动．以小车为惯性系，小球和弹簧的机械能守恒；以地面为惯性系，小球和弹簧的机械能不守恒．

例2．如图2，小球在匀速向下运动的升降机中静止开始下落．以升降机和地面为惯性系，小球的机械能都守恒．

图1 小球的弹簧作用下运动

例3．如图3，小车沿水平地面匀速运动，物块在车内的光滑斜面顶端静止开始下滑．以小车为惯性系，物块的机械能守恒，以地面为惯性系，物块的机械能不守恒．

图3 滑块沿斜面下滑

例1和例3中，研究对象对一个惯性系机械能守恒，对另一个惯性系机械能不守恒；而例2中，研究对象对两个不同的惯性系机械能都守恒．于是，人们提出了机械能守恒定律是否服从力学相对性原理的问题．不同的文章对此作出了不同的回答．[1-2]

综观这些文章，有些只局限于对如上之类具体例子的分析或推算，从而迷失于具体现象中的非本质因素而不能得出正确的结论，如文献[3]，或者所得结论不具有普遍性，如文献[1]；有些文章只从理论上论证了机械能守恒定律符合力学相对性原理，而没有对如上之类具体例子作出合理的解释，如文献[4]．因此，这些文章都没有彻底地令人信服地解决机械能守恒定律是否满足力学相对性原理这一问题．下面先从理论上论证机械能守恒定律对不同惯性系是协变的，然后研究将它应用于包含大质量物体的保守系的特殊性，在此基础上对上述3个具体例子作出解释．

2 机械能守恒定律服从力学相对性原理

机械能守恒定律是物体系功能原理的特例，功能原理是牛顿运动定律的推论．牛顿运动定律服从力学相对性原理，作为其推论，功能原理和机械能守恒定律自然满足力学相对性原理．不过，为了解答由具体问题产生的疑问，我们有必要简要回顾从牛顿运动定律推出机械能守恒定律的过程，以强调容易引起误解的概念．

2.1 动能定理及其协变性

动能变化

dW′ =dEk′．

一般地有Ek′≠Ek，dW′ ≠dW，表示动能和功与参考系有关，具有相对性．dW′ =dEk′表示动能定理在参考系S′ 中同样成立，即动能定理对不同的惯性系是协变的．

2.2 势能及其共有性和不变性

2.2.1 一对相互作用力作功与参考系无关

图4 两个相互作用的物体

如图4所示，物体1、2间存在相互作用力F、F′，F=-F′．在dt时间两物体的位移分别为dr1、dr2，F、F′对它们作的功分别为dW1=F·dr1和dW2=F′·dr2=-F·dr2．F、F′作的总功为

dW=F·dr1-F·dr2=F·d(r1-r2)=F·dr12．

式中dr12是物体1相对物体2的位移，与参考系无关．所以一对相互作用力作的总功与参考系无关．

2.2.2 势能的共有性和不变性

势能与保守力相联系．保守力定义为具有如下特点的力：作功只与物体的始、末位置有关而与移动路径无关，或者对沿任何路径回到出发点的物体作功为0．

各种中学物理教科书[5]和常见的大学物理教材，[6]都从力作用的相互性直接指出势能是相互作用的物体系统所共有的，而不是某一个物体单独具有的．下面再从保守力的定义出发严格地证明这一点，以更深刻地理解势能的这一本质特征．

在保守力的定义中，“物体的始、末位置”和“沿任何路径回到出发点”，都是对于某个参考系而言的．在图4的参考系S中，相互作用的物体1和2均有速度．设想物体1离开原来的位置移到另一点，然后沿原路返回，由于物体2的运动，物体1前后两次经过路径上的同一点，受到的力F一般并不相同，因此返回阶段与离开阶段F作的功并非相反数，整个过程F作功不等于0．对物体2也有相同的结论．也许有人会提出一个反例：当作用力的大小和方向与物体间的距离无关时，每个物体在任一参考系中沿任何路径回到出发点，作用力作功均为零．但这种情况并非真实存在．我们认为物体在地球附近各处受到的重力大小和方向都相同，这是在物体的运动范围远小于它到地心的距离这一条件下的近似．因此，在相互作用的两个物体都运动的参考系中，对任一单个物体，都不存在保守力与势能的概念．

只有以相互作用的两个物体中的一个为参考系，另一个物体的受力只与位置有关与时间无关，作用力作功才可能只与始末位置有关与路径无关．如果某种相互作用具有这样的性质，由于一对相互作用力作功之和与参考系无关，那么，在任何其他参考系中，这对相互作用力作功之和都只与物体间的始末相对位置有关，与运动过程无关．对这样的物体系统，才有保守力和势能概念，所以势能是相互作用的物体系统所共有的．

物体系的势能变化与一对相互作用的保守力作功的关系是

F·dr12= -dEp或F′·dr12=-dEp．

物体系的势能变化与参考系无关，这就是势能的不变性．

2.3 机械能守恒定律及其协变性

物体系中所有物体的动能和物体间的势能之和，叫作物体系的机械能．

2.3.1 机械能守恒定律及其研究对象

为了表述方便，下面以图4中的物体1、2组成的物体系为例研究机械能的变化规律，其结论很容易推广到更多物体组成的物体系．

物体系中各物体受到的外力及其作的功用下标“外”标记；保守内力和非保守内力及其作的功分别用下标“内保”和“内非”标记．在惯性系S中，对物体1和2分别列出动能定理

F1外·dr1+F内非·dr1+F内保·dr1=dEk1，

F2外·dr2-F内非·dr2-F内保·dr2=dEk2．

将两式两边分别相加，注意到F1外·dr1+F2外·dr2=dW外，F内非·dr12=dW内非，F内保·dr12=-dEp，Ek1+Ek2=Ek，得到

dW外+dW内非=dEk+dEp=d(Ek+Ep)．

这就是对于物体系的功能原理．

dW内非=0的物体系称为保守系．如果还有dW外=0，就有

d(Ek+Ep)=0 或Ek+Ep=常量．

这就得到了机械能守恒定律：如果外力对保守系作的功等于零，则保守系的机械能保持不变．

需要强调，机械能中的势能是相互作用的物体系所共有的，因此，机械能守恒定律的研究对象是相互之间存在保守力作用的物体系．

2.3.2 机械能守恒的相对性

在相对于惯性系S以速度v0运动的惯性系S′中，外力对物体系作的功为

可见在一般情况下，外力对物体系作的功与惯性系的选择有关，在某个惯性系中外力作功等于零，物体系的机械能守恒，在另一个惯性系中外力作功不等于零，机械能就不守恒．所以，物体系的机械能是否守恒具有相对性．除非在一些特殊的情况下，例如物体系不受外力作用或外力的矢量和等于零，有dW外′=dW外，这时，物体系在一个惯性系中机械能守恒(不守恒)，那么在其他惯性系中机械能也守恒(不守恒)．本文开头的三个例子都属于这种情况．

2.3.3 机械能守恒定律的协变性

对不同的惯性系，动能定理具有协变性，一对保守力作功和势能的变化具有不变性，因此，由它们推出的机械能守恒定律，对不同的惯性系一定是协变的．也即机械能守恒定律服从力学相对性原理．这与机械能守恒的相对性并不矛盾．保守系在一个惯性系中外力作功等于零，机械能守恒，在另一个惯性系中外力作功不等于零，机械能不守恒，这属于物理现象的不同，但它们都满足机械能守恒定律．如果在另一个惯性系中外力作功不等于零而机械能守恒，那才是违反了机械能守恒定律．这正如在匀速运动的船的桅杆顶端静止释放小球，以船为参考系，观察到小球竖直下落，以岸为参考系，观察到小球作平抛运动；尽管在这两个参考系中观察到小球的运动现象不同，但它们都遵循牛顿第二定律．[2]

3 包含大质量物体的保守系机械能转化的特殊性

在实际问题中，经常遇到这样的情况：相互之间存在保守力作用的物体中有一个物体的质量远远大于其他物体的质量．例如，物体在地面附近运动，行星围绕太阳运动．本文开头的三个例子都属于这种情况．

3.1 以大质量物体为惯性系

惯性力对物体1作的功

物体1和2组成的系统机械能的变化

dEk1+dEk2+dEp=dW惯．

dEk1+dEp=0 或Ek1+Ep=常量．

这样我们得到两个结论：第一，物体2的质量趋向无穷大时，它趋向于一个惯性系(下面将这一极限过程直接说成某物体的质量为无穷大)；第二，在这个惯性系中，物体1的动能与系统的势能发生转化而守恒．

第二个结论容易使人误以为势能Ep是物体1所独有的．须知，这个结论成立的前提是以质量无穷大的物体2为参考系，势能是与这个参考系“绑定”的，因此Ek1+Ep仍然是物体1和作为参考系的物体2所共有的．重力势能是物体与地球共有的，高中物理常说某个物体具有多少重力势能[5]，这只是一种简略的说法．大学物理中的质点在有心力场中的势能[6]，是质点与力场中心处质量无穷大的物体所共有的．

3.2 以其他物体为惯性系

在其他惯性系中观察，物体1、2都在运动，物体2受F′作用产生的加速度极小，我们不能直接用Ek2的表达式计算它的变化，但我们仍可以从力作功的角度研究Ek2与Ek1和Ep之间的转化．

Ek1、Ek2和Ep与相应作用力作功的关系分别为dEk1=F·dr1、dEk2=-F·dr2和dEp= -F·dr12．各式两边都除以时间dt，得到

4 疑问解答

回过头来看本文开头的三个例子，容易发现产生机械能守恒定律是否服从力学相对性原理的疑问，有如下三方面的原因．其一，没有以存在保守力作用的物体系为研究对象；其二，混淆了机械能守恒与机械能守恒定律；其三，不清楚包含大质量物体的保守系的特殊性．

例2中，相对于小球，地球的质量为无穷大．讨论机械能是否守恒，研究对象必须是小球和地球组成的系统．这个系统不受外力作用(这里设想升降机与地球之间没有相互作用)，不管是以地球还是升降机为参考系，机械能都守恒．在地球参考系中，Ek2≡0，系统机械能守恒的表达式为Ek1+Ep=常数．

在升降机参考系中，机械能守恒的表达式为Ek1+Ek2+Ep=常数，或者dEk1+dEk2+dEp=0．小球和地球的动能变化分别为

dEk1=mg·dr1和dEk2=mg′·dr2．

其中mg′=-mg是小球对地球的作用力．系统重力势能的变化

dEp= -mg·dr12= -mg·dr1-mg′·dr2=dEp1+dEp2．

其中dEp1= -mg·dr1和dEp2= -mg′·dr2分别是小球和地球的运动引起的系统重力势能的变化．从而有

dEk1+dEp1=0 和 dEk2+dEp2=0．

这两个式子的意义是，在升降机参考系中，“小球的机械能”与“地球的机械能”分别守恒．之所以在小球的机械能和地球的机械能上加引号，是因为Ep1和Ep2并不是小球和地球独有的势能，而只是小球与地球共有势能的一部分．所以，在例2中人们认为在升降机参考系中“小球的机械能”守恒，那只是形式上的守恒．当然在解决问题时，可以在一种等效的意义上来使用．

容易看出，上述推导的条件是两物体之间相互作用力的大小和方向与物体间的距离无关．例1中弹簧的弹力与小球和小车的距离有关，就无法得到“小球与弹簧的机械能”守恒的结论．这与前面关于势能共有性的讨论是一致．