关于牛顿摆运动衰减的研究

潘志民 于云卿 李 尤

(南京外国语学校,江苏 南京 210008)

1 牛顿摆现象

牛顿摆(Newton’s Cradles)是一种十分经典的装置,通常被用做科学玩具或物理教具以演示动量和能量守恒．牛顿摆的装置结构包括一个吊架及数个金属球,金属球被细线吊起并紧密地排成一行．如图1所示,将最左侧的小球提升至一高度(保持悬线拉直)并释放,可以观察到小球撞击右侧球链时发出声音,最右侧的小球飞出,中间的其余小球有微小振动,球链些许散开．右侧小球随后返回,最左侧小球再次被击飞,如此往复,直到振动停止．

图1 牛顿摆振动过程

实际实验中,我们还发现牛顿摆在振动一段时间后弹起角度会越来越小,速度也会逐渐变小,最后会渐渐停下,所有球一起共速做小幅的类单摆运动．这表明理想情况下的弹性碰撞模型并不能准确地表述牛顿摆的运动,我们需要建立更为合理的模型并修正原有的运动解释．

2 理论分析

2.1 牛顿摆模型

图2 5球牛顿摆装置

牛顿摆模型由若干分别用等长细线(重力可忽略)悬挂的一列多个完全相同的小球组成,图2所示为5球牛顿摆装置．将左端的小球提起至一定高度释放,小球将下落并撞击其右侧静止的小球,观察到的现象是左端小球在碰撞后近乎静止,而最右端的小球在碰撞后飞出,中间的小球几乎始终保持不动,如图3所示,随后右侧小球上升到低一些的高度后重新落下撞击其余小球,如此往复,直到最终所有小球静止．沿直线排列的多个小球组成一维球链,该问题的实质是球链连续撞击模型,本文将基于此模型对牛顿摆振动衰减速率进行探讨．

图3 牛顿摆运动模型

针对球体之间的碰撞问题,通常将球体视为刚体,用刚体动力学方法来进行分析．在这种方法下,可以通过系统动能和动量守恒来进行解释．对于球链碰撞,可以根据参与碰撞与被碰撞的球的数量分成“1球对1球”和“n球对q球”两类．为方便讨论,可以先从一光滑水平桌面上沿直线排列的若干小球的碰撞入手,小球间的相互作用可完全应用于牛顿摆系统．牛顿摆小球在摆起以后的运动,还需额外讨论重力及拉力对小球速度的影响．

2.2 “1球对1球”碰撞的动量解释

图4 “1球对1球”碰撞

假设光滑水平桌面上有一刚性小球A,质量为m1,速度为v1．另有一刚性小球B,质量为m2,具有入射速度v2从一侧对心撞击球A,如图4所示．由于碰撞过程中系统机械能和动量均守恒,可以列出以下描述小球运动的方程组:

m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′.

式中,v1′,v2′分别是A,B碰撞之后的速度．解得

若令m1=m2,则有v1′=v2,v2′=v1．换言之,A与B速度实现交换．若A球原先静止,则碰撞后B球静止,A球以B球的速度运动．

图5 牛顿摆看成弹性碰撞衔接

牛顿摆系统可以等效为光滑水平面上沿直线排列的一系列等质量小球组成的球链．通常认为各小球之间有很小的缝隙,如图5所示．因此,球链上的动量和能量传递过程中符合两两之间的碰撞规律,即认为小球间的碰撞有先后顺序,总的来看碰撞可视为若干“1球对1球”的弹性碰撞的衔接．那么,一系列碰撞后必然是最后一个小球以入射小球撞击时的速度飞出,而其他小球归于静止．利用该模型解释,空气阻力是造成牛顿摆运动衰减最终完全停止的原因．

图6 牛顿摆的球链排列紧密

然而实际实验中可以观察到牛顿摆中小球彼此间是紧密排列的,如图6所示,因此当第一个小球落下与其余小球发生的碰撞涉及整个系统而非仅仅下一个小球．这使得“碰撞有先后顺序”的观点不成立,因此上述球链弹性碰撞模型并不适用于相互间紧密接触的球链．换言之,该模型只有在满足“两球最初不接触”时才近似成立．

在3球牛顿摆碰撞实验中我们看到,如图7所示,当用一小球撞击其他两个原先静止且紧靠的小球时,右端的小球的确飞开,但中间的小球并非完全不动,而是以一很小的速度运动．查相关文献知,Herrmann等最先观察到,一个刚性球撞击一列相同球组成的球链时,球链将散开.[1]Herrmann在他的文章里认为,如果一个球与多个紧挨着的球碰撞,撞击球将同时与球链整体发生作用,动量在球链中散开,导致球链将散开,[2]球链的完整性不复存在．小球各分得部分动能．

图7 3球牛顿摆碰撞实验

2.3 牛顿摆“弹簧-质点”碰撞模型的建立

通常采用刚体动力学方法研究球体之间的撞击问题,由于不考虑物体的变形,因此只能通过动量与能量守恒关系得到碰撞系统的一般特性,无法解释动量在球链中散开的现象．

图8 “弹簧-质点”碰撞模型

为考虑球链整体水平上发生的作用,则不能忽略球与球碰撞过程中球的变形．我们可以用刚体碰撞分析方法研究： 将球体简化为刚性质量块,球之间的“碰撞力-局部变形” 关系用接触弹簧来表征,[3]不能变形的质量块中能量通过质量块的运动存储,弹簧中的能量通过其变形存储．这时可以考虑在相邻球间嵌入一弹簧,将小球看成一个质点和与之相连的弹簧,如图8所示,进一步我们建立起“弹簧-质点模型”．在碰撞等效为弹簧的挤压过程中,小球发生的形变与相互作用力的关系可以用该“弹簧-质点模型”来反映．球与球之间的相互作用可以用连接等效质量m的质点的接触弹簧(劲度系数k)来描述．

图9 Hertz接触问题

对碰撞中的单一小球,其受力模式如图9所示，图中a为接触面区域半径,F为等效作用力．弹簧对小球作用力F与小球质心位置相对变化量δ(可等效为弹簧压缩量)之间的关系满足Hertz接触理论[4],即

F=0，(δ<0)

F=kδα，(δ≥0)

式中,k为等效弹簧劲度系数,α为常数．

对完全相同的两个小球,在弹簧弹性限度内,有

式中,E为材料弹性模量,ν为材料泊松比,d为小球直径．

2.4 利用“弹簧-质点”模型解释“1球对2球”碰撞

如图10所示,在光滑水平桌面上有3个完全相同,质量均为m的小球B1、B2、B3,小球的直径为d．B1以入射速度v0向其余两球运动,B2、B3彼此接触且静止．图下半部分为“弹簧-质点”模型的简化示意图,其中B2、B3间的弹簧与B2固定连接,与B3接触但不固定．假设在t=0时刻碰撞发生,以此时刻B1球心的位置为坐标原点,向右为正方向建立x坐标轴,在t时刻3球(作为质点)的坐标分别为x1(t)、x2(t)和x3(t),系统满足以下动力学方程:

x1(0)=0，

其中小球所受力仍满足

F=0, (δ<0)

F=kδα. (δ≥0)

图10 “1球对2球”碰撞

图11 “1球对2球”碰撞数值

碰撞后损失的动能为

由此可知,“1球对2球”单次碰撞后系统损失了约9.08‰的初始动能．且可以近似认为在3球牛顿摆系统中,第二次碰撞的初始动能即为所考虑B3球一次碰撞后具有的动能Ek1=0.980Ek0,即一次碰撞初始动能的98%．该方程未考虑空气阻力等摩擦因素,因此实际操作中会发现系统能量损失得更快．

2.5 关于“n球对q球”球链系统碰撞的讨论

与先前类似,如果“n球对q球”碰撞可以看做一系列有先后顺序的“1球对1球”碰撞,那么根据动能和动量守恒,球链末尾会飞出速度均为入射小球速度的n个球,而球链中剩余q个球将归于静止．

实际上由于球均紧密接触,可以观察到小球撞击右侧球链时,最右侧的n个小球飞出,其余小球有微小振动,球链些许散开．对于“n球对q球”碰撞,同样可以看做光滑水平面上一列包含(n+q)个完全相同,质量均为m的沿直线排列的球组成的球链,小球的直径为d．其中n个球以入射速度v0撞击其余静止的q个球,前后两组球链中任两个球均紧密接触,如图12所示．

图12 “n球对q球”球链系统的碰撞

假设在t=0时刻碰撞发生,以此时刻最左侧1号球的球心位置为坐标原点,向右为正方向建立x坐标轴,在t时刻各球(作为质点)的坐标分别为x1(t)、x2(t)、x3(t)、…,使用“弹簧-质点模型”,系统满足以下动力学方程:

……

……

x1(0)=0，

从能量的角度看,牛顿摆小球之间的碰撞并非完全弹性碰撞,在这类连续球链中发生一轮单向碰撞便会衰减约1%的动能,而且在实际实验中还需考虑阻力等因素的存在．在牛顿摆系统运动过程中,能量上主要发生的是动能和重力势能的相互转化．同时由于摩擦和碰撞发声等情况的存在,牛顿摆系统的机械能在碰撞过程中还会转变为不属于牛顿摆系统的内能和声能．

小球的数量会影响Hertz公式中的α值;小球的材质通过影响其弹性模量和泊松比,和小球尺寸(直径)一起影响等效弹簧模型的k值;小球的入射速度也是动力学方程组的参数．另外,小球间的排列方式(如不正对球心摆放)会使等效弹簧应力在垂直于前进方向上产生分量,从而造成系统动能损耗．以上诸多因素使得用理论推导求解不太现实,我们可以通过实验的方法来研究这些因素对牛顿摆振动速率衰减的影响．

3 牛顿摆振动衰减的实验研究

实验目的:探究各因素对牛顿摆振动衰减的影响．

实验器材:不同直径的金属球，玻璃球，橡胶球若干,细线,牛顿摆支架,热熔胶枪,量角器,计时工具,高速相机,数据连接线,计算机,Tracker软件等．

实验猜测:小球数量、小球材质、小球入射速度和排列方式等因素会对牛顿摆振动速率衰减有影响．

实验设计:分别探究猜测中的因素对牛顿摆振动速率衰减的影响,进行分组实验,实验装置如图13所示．对整个振动过程录像并使用Tracker软件分析其振动衰减速率．每次实验将球链中心位置定为坐标原点,向右、向上为正方向建立平面直角坐标系．x、y分别表示小球球心的横坐标与纵坐标．时间均以释放小球开始为时间t=0时刻．

图13 牛顿摆实验装置

3.1 探究小球数量牛顿摆振动衰减的影响

分别在牛顿摆支架上悬挂7、5、3个直径为20 mm金属球,如图14-16所示．用手拉起最左侧金属球,至悬线与竖直方向为45°时,由静止释放小球．表1-表3数据为牛顿摆左端的小球位置随时间的变化,原点设为球链中心位置,追踪的坐标为最左端小球到达最高点时,其球心坐标．

图14 7球实验

表1 7球实验

图15 5球实验

表2 5球实验

图16 3球实验

表3 3球实验

更多的数据分析得到的结论与实验预测相同．当小球数量较少时,由于中间小球分到的动能较少,因此整个牛顿摆振动的衰减速度慢．当小球数量较多时,中间较多小球分到的动能较多,因此两端小球损失的动能较多,牛顿摆振动的衰减速度快．

3.2 探究球体材料对牛顿摆振动衰减的影响

图17 球体材料对牛顿摆振动衰减的影响

如图17所示,采用钢球、玻璃球和橡胶球这3种不同材质的球体搭建3球牛顿摆,球体直径都为20 mm,线长相同都为90 mm．实验中拉起最右边小球30°角然后释放,采用高速摄像机记录牛顿摆的运动状态,摄像机记录频度为60帧/s．定义“起始帧”为释放小球的帧序号,“结束帧”为3个小球达到相同速度(共速)状态的帧序号．定义小球释放至牛顿摆共速的时间为衰减时长,实验得到数据如表4所示.

表4 不同球体材料牛顿摆的衰减时长

从实验结果明显看出,钢球牛顿摆衰减最慢,玻璃球其次,橡胶球牛顿摆衰减最快迅速进入小球共速状态．根据本文理论部分的研究,分析其主要原因是与材料的不同性质有关,查相关文献得3种常见材料的杨氏模量与泊松比如表5所示.

表5 不同球体材料的杨氏模量与泊松比

可见球体的杨氏模量越大,就越接近刚性球体,在碰撞过程中球体形变小且恢复好,能量损失小,衰减速率慢,反之亦然．

3.3 探究起始拉偏角度对牛顿摆振动衰减的影响

图18 起始拉偏角度对牛顿摆振动衰减的影响

以5钢球牛顿摆分别拉偏15°、30°、45°和60°这4种情况进行实验,初始状态如图18所示．通过改变初始释放偏角,从而改变碰撞初速度,实验研究对衰减时长的影响．实验得到数据如表6所示.

表6 不同起始拉偏角度的牛顿摆衰减时长

从实验可看出,随着起始拉偏角度的增大,衰减时间也逐渐变长．这很好理解,主要原因是拉偏角度变大后,小球的重力势能增加,导致碰撞前的动能增加,在系统损耗相同的情况下,衰减时间变长．

3.4 探究球体排列对牛顿摆运动衰减的影响

图19 球体排列对牛顿摆运动衰减的影响

如图19所示,为了比较不同球体排列对衰减速率的影响,以3个玻璃球搭建的牛顿摆,分正常排列、中间突出和斜线排列3种情况分别进行实验．实验数据如表7所示.

表7 不同球体排列牛顿摆的衰减时长

从实验看出,规则排列时衰减时长明显比非规则排列的衰减时长要大,即非规则排列衰减快．究其原因,主要是非规则排列时碰撞引发球体的非规则运动导致能量迅速耗散,从而快速衰减．

4 实验总结与误差

通过实验和分析,可以得到以下结论:

(1) 球体数量对衰减速率有影响.

随着球数量越来越大,衰减时长也越来越短,这跟球数量多了以后多次碰撞能量损耗加大有关．

(2) 不同材料的杨氏模量和泊松比对衰减速率影响很大.

钢球和玻璃球衰减速度较慢,持续时间长,而橡胶球衰减速度很快．球体的杨氏模量越大,就越接近刚性球体,在碰撞过程中能量损失小,衰减速率慢,反之亦然．

(3) 起始拉偏角度对牛顿摆振动衰减有明显的影响.

随着起始拉偏角度的增大,衰减时间也逐渐变长．拉偏角度变大后,小球的重力势能增加,导致碰撞前的动能增加,在系统损耗相同的情况下,衰减时间变长．

(4) 不规则排列对衰减速率有显著影响.

实验发现当球体规则排列(系绳长度一致)时,碰撞持续时间最长,衰减速度最慢．而当球体排列不规则(系绳长度不一致)时,碰撞很快进入无规则的混乱状态,衰减速度快．非规则排列时碰撞引发球体的非规则运动导致能量迅速耗散,从而快速衰减．

实验的误差与不足主要有以下几个方面:对于牛顿摆小球达到共速状态的判定是由人工进行判读的,会引入一定随机误差,后续研究可以通过相关软件的计算机判读进行优化;拉偏小球到固定角度是通过连接到电脑上画定的连线对齐来判定的,存在人为引入的随机误差;通过Tracker软件对小球进行跟踪时,软件跟踪匹配时可能出现质心识别误差;对衰减速率的定量分析不够,也需要在今后的研究中进一步深入．

5 结语与致谢

牛顿摆通常用作物理教具以演示动量和能量守恒．本文通过理论分析和实验探究,对牛顿摆振动的衰减速率做了一定研究．理论上在对“1球对1球”弹性碰撞模型深入讨论的基础上,建立了“1球对2球”的“弹簧-质点”碰撞模型,再推广应用到“n球对q球”的球链碰撞．通过理论推导和文献查找,对牛顿摆振动体系做了动力学分析和功能关系分析．小球的材质、排列、数量以及入射速度等牛顿摆的其他性质可能影响振动的衰减的快慢,为确定各因素对牛顿摆运动状态的影响,通过控制变量进行分组实验．在实验中对整个振动过程录像并使用Tracker软件分析其振动衰减速率,确定了牛顿摆运动的各项特点以及影响该特点的因素,从而得到了一般的结论．对研究中的误差进行分析,对研究中不足之处进行了展望,在后续的探究中将会努力改善．希望我们研究能给中学生朋友们从事研究性学习和参加YPT类学术创新比赛活动提供一些帮助和思考,希望得到更多的批评与指正．

最后在此感谢南京迈塔光电Metalab创新实验室提供实验装置和场地,感谢睢长城博士提供宝贵意见．