数形结合思想在高中数学解题中的应用

刘经标

（广昌县第一中学，江西抚州 344900）

数形结合思想是把数学题中的数和形进行灵活的转换，用图形的形式把抽象的数学问题直观地展现出来，帮助学生进行理解。著名数学家华罗庚先生曾说：“数与形，本身相倚依，焉能两边飞？数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。”说的是数形结合在应用中的重要意义。纵观高中数学，特别是在高考试题中，数形结合思想无处不得以体现，不仅可以解决数学问题，还可以帮助学生了解数学的本质，为以后的深入学习奠定基础。

一、利用数形结合解集合问题

在数学学习中集合问题虽然较为简单，但它是数学语言学习与运用的基础，对集合语言进行掌握，可以帮助学生更好地进行数学表达。教师要提醒学生对集合学习进行重视。在解答集合问题时，学生要完成答题需要一定的空间构思能力，也会有一定的难度。在集合问题中应用数形结合思想，可以让问题变得更加直观，提高学生解题效率，降低错误率。[1]

集合问题在运用数形结合的方法时，一般把圆视作一个集合，通过两圆相交、两圆相离的情况，可以直观地看出集合之间有没有公共的数集，对集合之间的关系可以有准确的把握。用画图的形式可以降低演算量，把计算简单化。[2]在解不等式的取值范围问题时，可以利用画数轴图形的方式来解决问题，让问题变得简单。

二、利用数形结合解函数问题

1.数形结合思想与函数的零点个数问题

对于很多方程根的个数或零点个数问题，仅从数的角度思考和探究，往往就会陷入“山重水复”的地步，这时，我们如果转换思路，从数化形，以形助数，数形结合，就会出现“柳暗花明”境界。

例1.（2018辽宁庄河高中、沈阳二十中高三上学期第一次联考）函数则函数的零点个数为（ ）。

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

【答案】D

【点评】函数零点的求解与判断方法：

（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点。

（2）利用零点存在定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且还必须结合函数的图像与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点。

（3）利用图像交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图像，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点。

2.数形结合思想与函数（导数）不等式问题

例2.若存在x∈(0,+∞)使ex-ax-1≤0成立，则实数a的取值范围是（）。

A.（0，+∞） B.（0，1） C.（1，+∞） D.[1，+∞）

【解法1】分类讨论法（略）

【解法2】数形结合法

原题⇔ex≤ax+1在（0，+∞）有解，作出y=ex图像，直线lAB:y=x+1在x=0处与y=ex图像相切，故a＞1。

【点评】比较这两个方法，可以看出运用数形结合法，直观、快速、准确地可求出结果，避开了较复杂的讨论和计算。方法2显得简单多了。

三、利用数形结合思想求距离及其范围

【点评】此题运用代数法计算量大，且易出错，但用数形结合法简单明了，结论易得且易理解。很多求代数式的值或取值范围的题目，都可以赋形来求解。

四、数形结合思想在解析几何中的应用

例4.（2017，江苏卷）在平面直角坐标系xoy中，A（-12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上，若，则点P的横坐标范围是_______。

【解析】如图所示，A（-5，-5），B（1，7），由图得，满足条件的P点位于圆O中短弧线段上，故P的横坐标范围是

【点评】该题用代数法极易给学生造成错解，得出P的横坐标范围是[-5，1]。而以形助数，形象直观从而能正确得出结论。

对于复杂、计算过程繁琐的题目，用换元法、不等式法、函数单调性来解决问题容易出现错误，教师要积极引导学生转变思路，把数形结合思想应用到函数问题中来。在三角函数、线性规划、复数问题中，都可以运用数形结合思想，有效地解决各类问题。教师应该重视起来，加强对学生数形结合思想的培养。

教师要转变单一的教学方式，充分利用多媒体等现代教学设备进行教学，激发学生的学习兴趣，让学生对数形结合的思路充满学习动力。观察多媒体中的图形及动态变化，有利于增强学生总结和发现问题的能力，有利于数形结合思想的形成。

总之，数形结合思想在数学中有较为广泛的应用，可以用来解决各类数学题，其直观易懂的特点有利于把抽象的题目形象具体化，帮助学生进行理解。数学解题过程就像抽丝剥茧，要层层分析，若仅使用代数法或者几何法，很可能找不到解决问题的思路，或陷入复杂的计算，或易造成假象错误，或过于抽象不好理解从而不能解答。数形结合是比较直观、具体的思路，特别是求方程的根个数、零点个数，不等式求参范围等，就常需转化思路，将数与形结合起来，以形助数，同时在研究某一图形时，找出图形之间的数量关系，用代数法解决几何问题，做到数形兼顾，彼此互化，可以提高学生的学习兴趣，让学生体会到数学思想在解题时所带来的成就感和快乐感，更好地帮助学生解决数学问题。