促进初中生数学认知理解的教学建议

徐春凌

【内容摘要】只有当学生理解了知识，才能建立新旧知识之间的联系，并运用知识。因此，认知理解是学习数学的中心环节，是获取知识的关键，它在数学学习中占有重要的地位。研究表明，初中生多数处于低水平的理解层次。通过教学实践，笔者从师生互动加强课堂参与度，情境教学，变式教学，反思教学四个角度，以实际案例阐述提升学生理解水平的教学建议。

【关键词】初中数学 认知理解

学习数学包括数学计算，数学应用，数学记忆等，而它们的前提和基础是理解数学知识，纵观各国课程改革的趋势，多个国家的数学课程标准都加入或加大了“数学认知理解”的比重，它是继“建构主义”“问题解决”后研究的重点。在实际的教学活动中，多数的数学学困生，是由于不能正确理解数学知识导致的，所以数学教学要采取有效措施，重视提高学生的数学认知理解水平。

《全日制义务教育阶段数学课程标准》（实验稿）将理解解释为：能准确描述对象的特征，由来，能明确阐述它和与此它有关对象之间的区别和联系。

普通高中新课程标准在教材编写建议部分指出：教材编写要体现相关内容的联系，帮助学生全面理解和认识数学。在教学建议部分指出：教师应该帮助学生理解和掌握数学基础知识、基本技能。

与其他学科相比，数学知识前后连贯，衔接紧密，知识本身也具有高度的抽象性和严密的逻辑性，如果一个知识点不理解，就会导致后面的知识也不理解。

不少初中的学生能熟练地背诵概念，公式和定理定义，但是不会运用或者运用能力较差，题目稍有改变就束手无策，解题方法单一，对出现的问题不求甚解，久而久之，问题积累的越来越多，在数学学习上体会不到成功的喜悦，从而产生惧怕和厌学情绪。加上初中课程增多，知识点增多，對教学效率就提出了更高的要求，题海战术，大量机械模仿显然是不可行的，学生的理解性学习就显得尤其重要。

一、注重师生互动

建构主义中，明确确立了学生的主体地位，教学过程不再是传统意义上的老师给予知识，学生被动接受的静态过程，而是师生之间，生生之间交互的，多向的动态过程，老师以多样的教学方式和手段让学生理解知识，学生也以口头或者书面的表达向老师，同学反馈自己的理解水平，再由老师和同学对其进行评价，修正，如此循环往复，使得学生能理解并不断建构自己的认知结构。

通过互动交流，学生理解了哪些知识，不理解哪些知识，理解到什么程度，有哪些缺陷就得以充分体现，教师可以有针对性的调整教学，做到有的放矢。如一次不等式组解法的教学中，因为学生在前面学习了一次不等式的解法和二元一次方程组，可以类比学习，所以可以让学生在预习的基础上，分小组解决课本例题，然后每个小组派代表上台讲解自己的小组是如何解一次不等式组的，由其他小组的同学做出评价，最后老师指出不完整不正确之处，归纳解一次不等式组的方法，这样老师在了解学生自己能学到怎样的水平后再帮助其提高，既能提高课堂效率，又能有针对性地指导教学，促进学生对知识的掌握和理解。

学生在与老师和同学的互动中，也能促进对知识的理解。首先，学生将自己对知识的理解进行提炼，再加工以后才能进行表述，也就是“说数学”，这本身就是一个理清自己的知识网络，将知识内化的过程;其次，由于学生个人原有的知识背景，认知方式和学习能力的不同，就是对同一个知识，也会有不一样的理解，通过与同学的讨论交流，可以取长补短，修正自己错误的想法，拓宽自己的思路，加深对所学知识的理解。

二、创设丰富的情境

建构主义认为，学生理解新知识的过程有两种：一个将新知识转化为旧知识，即同化，一是调整知识结构去适应新知识，即顺应。每一个知识的产生于发展都是有背景的，教学的过程中，创设认知情境，可以让知识点更好的被学生理解掌握并运用。

1.创设现实生活的情境

学生认识事物的起点通常不是逻辑定理，而是日常生活的体验，数学一旦将现实生活引入课堂，让学生发现数学的价值，学生才会有数学的眼光观察世界，感觉到数学就在身边，如：当a>6>m>o时，证明不等式。我们可以根据学生的生活体会，想象将一定量的糖（m克）加入一杯不太甜（浓度是）的糖水中，那么糖水的浓度肯定提高了，根据浓度的计算方法，由此得到了数学表达式，并可以举一反三，推导出其他的结论：

当a>b>m>0.

则;

当a>b>0.m>n>0，

则;

当a>b>m>n>0，

则。

等等结论，学生对这一不等式知识的理解也因为有了生活体验而得到加强。再如：我们给学生将直线和圆的位置关系的时候，可以让学生想象海边看日出的过程，海平面抽象成直线，太阳就像一个圆，日出的过程会让这直线和圆经历从相交到相切到相离三个状态。

2.创设知识生成的情境

传统教学重结果而轻过程，学生对概念，定理，公式的理解停留在知其然而不知其所以然的地步，其实数学的教学，不只是教会学生一些现成的结论，还要教给学生结论形成过程中所经历的思考，用到的思想方法，让学生体会创造和发现的过程，才能对结论有深刻的把握和理解。如二元一次方程的求根公式，好多同学总是记不住，二元一次方程的判别式为什么就是这样的不理解，有的老师害怕课时紧张或者是字母繁杂直接跳过推导的过程。其实我们就可以在具体的二元一次方程用配方法求解的过程中总结解题步骤，然后将所有的具体数字表示的系数换成字母，再由学生归纳，归纳完了那么求根公式和韦达定理也就推导出来了，学生理解到求根公式的本质其实是配方法的应用，那么理解起来会透彻很多，对判别式为何能判定一元二次方程根的个数更是没有疑惑。

3.创设数学活动的情境

学习数学是一个“做数学”的过程，教师要为学生的数学活动提供平台，在师生共同参与，共同体验，共同思考的活动中完成对知识的理解和掌握。如七年级学生学完整式的加减后有如下数学活动：

如图所示，用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形：

（l）如果图形中含有3个三角形，需要多少根火柴棍？含有8个三角形需要多少根火柴棍？

（2）如果图形中含有，n个三角形，需要多少根火柴棍？

（3）当图形中含有2014个三角形时，需要多少根火柴棍？

上课时，教师将准备好的火柴棍分发给学生，让学生亲自动手摆放图形，第一个问题可以在摆放的过程中很快得到解决，同时也让学生熟悉了摆放的方法，多次的摆放有利于学生发现其中的规律，如：在已经有部分三角形的基础上，每增加一个三角形，就需要多增加两根火柴棍，但是第一个三角形除外，为此得到了第二题的答案是3+2（n-l）=2n+l，或者将三角形一个个拼接在一起，每一次的拼接都会有一根火柴棍重叠，，n个三角形拼接在一起就会重叠了（n+1）根火柴棍，所以得到的答案是3n-（n-l）=2n+l;也有的同学是先摆好水平方向的火柴棍，再分别摆倾斜的火柴棍，这样可以得到n+（n+1）=2n+1的结论，为此，不一样的摆放方法可以得到不一样的解题方法，学生在动手摆放的过程对问题有了初步了解，产生表象，然后关注性质，从中发现的规律，学生对用字母表示数和整式的运算都有了进一步的理解。

三、实施变式教学

变式是掌握概念的方法之一，它是针对所给的问题，从不同的侧面和角度，进行变形，使直观材料或事例不断改变呈现形式，在保留本质属性的同时改变问题的表面形式。通过变式，形象化，具体化了抽象的知识，还可以将特殊的情况推广到一般的情况，为学生深刻理解问题提供了途径。教师通过交换问题的条件和结论，对实际应用问题改变情境，变换问题的形式或题型等，暴露问题的本质特征，揭示知识的内在联系，加深学生对知识的理解。在学生的最近发展区内，设计难度逐层递进的变式题组，可以有效地提高数学理解水平。

变式教学可以从以下几个方面进行：

（1）概念变式。在讲解概念后，不急于应用概念，而是通过变式让学生对概念的内涵和外延有一个更深刻的理解。如二元一次方程组的概念介绍后，让学生判断以下几个方程组是否为二元一次方程组：

对以上几个方程组的判定，让学生更进一步理解二元一次方程组的概念。

（2）公式变式。对于重要的公式，学生学习起来感觉很简单，但是对应用的范围却不甚了解，遇到问题的时候不懂得使用，为此学习了一个公式以后我们要设计一系列的变式，让学生了解公式的应用范围。如初中的完全平方公式，学生根据整式的乘法要推导出来并不困难，但是它的应用却是干变万化的：若a+b=7，ab=5则a2+b2=？若a2+b2=7，a+b=5，则ab=？;若a2+b2=7，ab=5，则a+b=？若a2+b2=7，ab=5，则a-b=？

（3）语言变式。通过文字语言，图像语言和符号语言将数学的概念，定理或者数学问题进行转化，可以促进学生对问题的理解。如平行线的判定定理和性质定理的学习中，我们可以引导学生得到如下表格：

不同语言对同一知识的呈现，让学生能从不同的角度理解知识。

四、指导学生进行自我提问

数学活动对于学生来说是一个个的经历，通过对活动的反思，可以将经历提升为经验，发现自己哪些没有学好，哪些知识理解了，哪些知识还不理解或者理解的层次不够，哪些方法用的不够熟練，各种方法的优缺点是什么等等，为后续的学习提供帮助。

1.对思考过程的反思。在一个数学活动结束后，尽力回想整个活动的每个心理步骤：我的思路和其他同学或老师的有什么不同，我走了什么弯路，有什么优缺点？原因是什么？怎样做出调节等。

2.对活动内容涉及的数学知识的反思。在活动中用到了哪些数学知识？其中的概念内涵和外延是什么？能用数学符号表示这个概念吗？我能不能举一些不符合这个概念的例子？用到的定理是怎样描述的？我是否明确了定理的来龙去脉？符合怎样的前提条件才能用这个定理？这个定理还能用到什么地方或者这个活动能用别的定理来完成吗？活动中用到的知识之间有什么联系？它们是怎样结合起来解决问题的等等。

3.对活动中涉及的思想方法进行反思。活动中用到了什么数学思想？初中阶段常用的有分类讨论，数形结合，化归，方程思想等，这些思想方法怎么用？以前我是否也有用过？在不同的情境下运用有什么差异和联系，规律是什么？数学思想的学习需要老师在长期的教学中不断渗透，才能让学生内化为自己的思想。

4.对数学活动结果的反思，这一结果是否合理，可以解释什么现象，可以在什么时候使用。

总之，在教学的过程中，教师提升学生的参与度，设置问题情境，加强变式教学，有意识地培养学生反思能力，对促进学生的数学认知理解将会有所裨益。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部，普通高中数学新课程标准（实验）[S].北京：高等教育出版社，2003.

【本论文为广州市教育科学规划2018年度课题“STEM背景下学生科学素养的提高与拔尖创新人才培养实践研究”（课题编号：201811770）的部分研究成果。】

（作者单位：广州大学附属中学）