圆环电荷电场的简单计算和可视化

周群益，莫云飞，侯兆阳，周丽丽

（1.广州理工学院，广东 广州 510540；2.长沙学院 电子信息与电气工程学院，湖南 长沙 410022；3.长安大学 理学院，陕西 西安 710064；4.赣南医学院 信息工程学院，江西 赣州 341000）

均匀带电环电荷的电场用手工计算是一个比较复杂的问题，电磁学教材通常只计算中垂线上的电势和电场强度。一些研究报道了环平面上的电场[1-3]，以及全部空间的电场[4-9]。由于环电荷的电场涉及两类完全椭圆积分的计算[10-11]，目前许多研究工作一般采用无穷级数计算，导致计算十分繁杂，且精度较低。某些研究工作虽用MATLAB 模拟电场[12-13]，二维等势线和三维等值面都十分标准，但等值面色彩不太鲜艳；程序还需改进，例如在等势线的图中增加电场线就更形象反映电势的分布规律。

本文推导了环电荷的电势和电场强度的直角坐标公式，直接得到中垂线和环平面的电势和场强公式。为了便于计算和作图，将公式进行无量纲化处理。本文巧妙地利用了MATLAB 两个完全椭圆积分函数，简单地计算出电势和场强，并画出彩色曲面和曲线，对电势和场强的分布规律进行了分析。

1 环电荷的电势

如图1 所示，建立直角坐标系Oxyz，柱坐标系Oρθz和球坐标系Orθφ。设圆环的半径为a，带电量为Q＞0，则环电荷的线密度为

由于电荷分布具有轴对称性，因而场强的分布也具有轴对称性，不妨将场点P取在Oxz平面上。矢量a的单位矢量为

其中，φ是柱坐标系中的极角或球坐标系中的方位角。矢量r的单位矢量为

其中，θ是倾角。两矢量之间的夹角的余弦为

图1 环上点电荷的电势

在圆环取一电荷元dq=λadφ，电荷元到场点P的距离为

其中，r 是场点P 到原点的距离。电荷元dq 在点P产生的电势为

在 平 面Oxz 中， r2= x2+ z2。当x ＞0 时，rsinθ=x；当x ＜0时，rsinθ=-x。故rsinθ=|x|。式(7)中的模数变为

MATLAB有专门计算两类完全椭圆积分的指令，调用格式是

根据简约坐标即可计算简约电势。

MATLAB 的plot 指令可以画出电势曲线，如图2 之上图所示，当x =0 时，环电荷在中垂线上的电势U(0,z) 是z 的偶函数，电势在环心处有极大值，U(0,z)随距离|z|的增加而减小，当|z|很大时，其电势接近于点电荷的电势。如图2 之下图所示，当z =0时，环电荷在环平面内的电势U(x,0)是x 的偶函数，电势在环心处有极小值；环内电势随距离|x|的增加而增加，环外的电势随距离|x|的增加而减小；当|x|→a 时，U(x,0)→+∞；当|x|很大时，其电势接近于点电荷的电势。

图2 均匀带电圆环在中垂线和环平面上的电势

MATLAB的surf指令可以画出电势曲面，contour3指令可以画出三维等势线。如图3 所示，电势U(x,z)是关于x 的偶函数，也是关于z 的偶函数。环内电势的曲面呈 “马鞍” 形，曲面上的曲线是等势线，环外的电势随着距离的增加而减小；场点离环越近，电势就越大，因而形成两个尖锐的 “峰” ，(±a,0)是电势的奇点，曲面上的一条曲线是中垂线上的电势U(0,z)，点(0,0)是电势的极大值；曲面上的另一条曲线是环平面上的电势U(x,0)，点(0,0)是电势的极小值，点(0,0)是曲面的鞍点。

图3 均匀带电圆环的电势

2 环电荷的电场强度

如图4 之上图所示，当x =0 时，环电荷在轴上的场强Ez(0,z)是z 的奇函数，环心处的场强为零，当z ＞0时，场强随着z的增加而先增后减，存在极大值，位于z= 2 a/2 处，极大值为Ez=2 3E0/9；当|z|很大时，其场强接近于点电荷的场强。如图4 之下图所示，当z=0时，环电荷在环平面内的场强Ex(x,0)是x的奇函数，环心处的场强为零，环内场强随距离|x|的增加而增加；环外的场强随距离|x|的增加而减小，当|x|→a时，Ex(x,0)→∞；当|x|很大时，其场强接近于点电荷的场强。

图4 均匀带电圆环在中垂线和环平面上的场强

如图5 所示，环电荷在Oxz平面场强的x分量Ex(x,z)是关于x的奇函数，是关于z的偶函数，Ex有两个无限深的 “谷” 和无限高的 “峰” ，在z=0 的直线上，当x→±a+时，Ex→+∞；当x→±a-时，Ex→-∞，说明在x=±a的两侧，Ex的方向相反。曲面上中垂线上的场强Ex(0,z) = 0，环平面上的场强Ex(x,0) 曲线是单调下降的，有两个 “峰” 和两个 “谷” ，也就是两个奇点。

图5 均匀带电圆环的场强的x 分量

图6 均匀带电圆环的场强的z 分量

如图6 所示，场强的z分量Ez(x,z)是关于x的偶函数，是关于z的奇函数。Ez也有两个无限深的 “谷” 和无限高的 “峰” ，在x=±a的直线上，当z→0+时，Ez→+∞；当z→0-时，Ez→-∞，说明在z=0的两侧，Ez的方向相反。曲面在中垂线上的场强Ez(0,z)是先下降后上升再下降的，环平面上的场强Ez(x,0) =0。

如图7 所示，合场强E的大小E(x,z)是关于x和z的偶函数，有两个无限高的 “峰” ，出现在环电荷所在处。原点是一个 “谷” ，曲线E(x,0)和E(0,z)相交于 “谷” 底，场强为零。

图7 均匀带电圆环的合场强

如图8所示，合场强E的方向角α在环外随着Oxz平面的极角θ(极轴是z轴，顺时针方向为正)的增加而减小，在θ=3π/2 处，α发生从-π 到π 的跃变；α在环内随着极角θ的增加而增加，在θ=π/2 处，α发生从-π 到π 的跃变。

图8 均匀带电圆环的场强方向

MATLAB的contour指令可以画出二维等势曲线，streamline指令可以画出电场曲线[14]。如图9所示，其等势线就是图2 在Oxz平面上的投影线。等势线分为两类：U＞U0的等势线分别包围着环的两边，电势越高，等势线离环越近；U＜U0的等势线包围着整个环，电势越低，等势线离环越远，而且越圆，因而越接近于点电荷的等势；U=U0的等势线相交在环心，是两类等势线的分隔线。圆环电荷的电场线与等势线垂直，两侧的电场线互相排斥，因为是同种电荷。离环较近的电场线比较弯曲，离环较远的电场线接近于直线，这是因为远处的电场接近于点电荷的电场。

图9 均匀带电圆环的等势线和电场线

3 结束语

本文全面地解决了圆环电荷的电势和电场强度的计算和可视化问题，因而具有一些新颖之处。

在直角坐标系中推导了环电荷的电势和电场强度的公式，将解析式无量纲化。利用MATLAB 两类完全椭圆积分函数，大大提高了计算效率和精度，用最少的指令解决计算和可视化问题。将环电荷的电势和场强与点电荷的电势和场强进行了比较。用曲面表示二元函数，绘制等势线和电场线。本文的方法可用于计算环电流的矢势和磁感应强度等问题。