多元函数泰勒公式教学案例

李国权

摘  要：泰勒公式是研究函数的重要工具之一，是许多数值算法和近似计算的理论基础。针对泰勒公式这一教学目标，通过对一元函数泰勒公式进行对照讲解教学，从而使得教学任务能够顺利完成，实现温故知新的目的。

关键词：对照教学  泰勒公式  偏导数  导数

中图分类号：O172    文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2020）03（c）-0255-02

数学分析是本科数学专业学生的学科基础课程[1]，将历时3个学期，约300学时，是联系初等数学与现代数学的纽带，是后續课程学习的基础[2]。通过该课程的学习，使学生在专业课的学习中储备了必需的基础知识，同时提高了运用数学概念、思想和方法研究事物的数学关系的能力，提高了思想和观点的逻辑性、准确性，增强了自身的科学素养，培养了学生的自我学习能力。是学生创新能力形成，最终养成良好的思维品质的一种重要途径。泰勒公式是研究函数的一个重要工具，是许多数值算法和近似计算的理论基础。泰勒公式是大学数学乃至全部高等数学中的一个特别重要的内容，是微积分理论的最一般情形。它建立了函数增量、自变量增量与一阶及高阶导数的关系，它可将一些复杂难以理解的函数近似地表示为简单易于理解的多项式函数。这种化繁为简、化难为易的功能，使泰勒公式成为分析和研究其他方面问题的有力工具[3]。然而对于多元函数的泰勒公式，其形式上看来相对复杂，但与一元函数的泰勒公式并无本质上的区别。该文将探究对照教学法在此节内容的教学设计。

1  教学目标

定理1 （多元中值定理）设二元函数f（x，y）在闭区域D内可微。对D上任意两点成立：

定理1的结论与一元函数的微分中值定理在形式上是一致的，证明方法可以通过构造一元函数，并在[0，1]上使用Lagrange中值定理即可证明。教学过程中帮助学生回忆一元函数微分中值定理的证明过程，并对照学习。

定理2 （多元泰勒公式）若函数f在点P0（x0，y0）的某邻域∪（P0）内有直到n+1阶连续偏导数，则对∪（P0）内任一点（x0+△x，y0+△y），存在相应的0∈（0，1，使f（x0+h，y0+k）

注：Taylor公式的几种形式。

若函数f（x，y）在点P0（x0，y0）的某领域内有直到n+1阶连续偏导数，则：

（1）

其中

（2）为方便，记h=△x，k=△y，则：

其中

（3）

其中

这是用微分表示的Taylor公式，它与一元函数的Taylor公式在形式上更为接近，由此也可以看到一元函数中在二元函数的对应物是。

2  教学内容

（1）讲解并证明定理1。首先，引导学生观察并发现定理的结论和一元函数微分中值定理的结论在形式上是相似;其次，帮助学生回忆一元函数微分中值定理的证明方法;最后，带领学生一起完成定理1的证明。然而对于一元函数微分中值定理可以看作是泰勒公式的1阶展开形式，那么多元函数有类似的泰勒公式吗？

（2）回答上述问题，进行定理2的学习。证明过程通过回忆一元泰勒公式的证明方法，引导学生构造辅助函数进行证明，因为证明的关键在于如何构造辅助函数，所有如何引导学生是本节课的难点之一。

（3）举例练习。

例1.近似计算（1.08）3.96。

分析问题：需要计算在（1.08，3.96）处的值，而f（1.4）=1，于是，令（x0，y0）=（1，4），△x=0.08，△y=-0.04，从而将f（1.08，3.96）=f（x0+△x，y0+△y）在（x0，y0）处泰勒展开，进行近似计算。

3  教学效果及反思

数学教学是师生互动的数学思维的行为活动。教师在教学中要引领学生分析问题，这样有利于学生在数学课程的学习中提高学生分析解决问题的能力。该节课通过对照教学，既帮助学生回忆复习之前的学习内容，同时能够从以前的解题思路中寻找出解决新问题的方法，达到训练学生创新能力的目的。对照教学法不但可以温故还可以知新，激发学生学习的热情，加深对知识的理解，提高学生的综合素质。

参考文献

[1] 欧阳光中，朱学炎.数学分析[M].4版.北京：高等教育出版社，2018.

[2] 彭艳贵，赵立纯，徐摇伟.数学师范专业基础课程数学分析的改革与实践研究[J].鞍山师范学院学报，2019（4）：1-6.

[3] 秦国强.多元函数的泰勒公式及其应用[J].吕梁教育学院学报，2013（2）：103-105.