基于降阶的变量替换法在二阶微分方程求解中的应用

汪雄良 聂芬

摘要：探讨变量替换法在二阶常系数非齐次微分方程方程求解中的应用。针对二阶常系数非齐次微分方程，直接将二阶常系数线性非齐次微分方程降阶为2个一阶线性非齐次微分方程来进行求解，不需要考虑非齐次项的具体函数形式。该方法是求解二阶常系数非齐次微分方程的另一种有效途径，且更具一般性。

关键词：二阶常系数非齐次微分方程;变量替换;应用

中图分类号：G642.0     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2020）15-0277-02

一、引言

通过降阶，把高阶的常微分方程转化为低阶的方程来求解是方程求解中的常见基本思路。变量替换法是求解常微分方程的常用方法之一。通过适当的变量替换，能将复杂的微分方程化为可解的类型，从而简化问题的求解[1-2]。比如，一阶非线性的伯努利方程可以通过变量替换化为一阶线性的微分方程来求解;变系数的高阶线性常微分方程如欧拉方程可通过变量替换化为常系数的线性常微分方程来求解。本文探讨基于降阶的变量替换法在二阶常系数非齐次微分方程求解中的应用。

常系数非齐次线性微分方程求解是微积分教学中的一个重点同时又是难点。难在特解形式复杂，不便记忆，计算量也比较大。同时所考虑的非齐次项仅局限于指数函数、三角函数与多项式函数的乘积[3]，而对于其他的形式（比如对数函数、反三角函数以及其他类型的复合函数）无能为力。本文用基于降阶的变量替换的方法来研究针对含任意非齐次项的二阶常系数线性非齐次微分方程的求解问题。该方法直接将二阶常系数线性非齐次微分方程降阶为2个一阶线性非齐次微分方程来进行求解，不需要考虑非齐次项的函数形式，因此该方法是求解二阶常系数非齐次微分方程的另一种有效途径，且更具一般性。

二、基于降阶的变量替换法在二阶常系数微分方程中的应用

（一）二阶常系数齐次微分方程

由以上分析可见，对于二阶常系数齐次微分方程，变量替换法得到了与经典求解方法完全相同的通解表达形式，正所谓殊途同归。

（二）二阶常系数非齐次微分方程

传统的二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法，需要先求解对应的齐次方程的通解，再需要根据二阶线性非齐次微分方程中右端非齐次项的函数形式而设出相应的特解，然后利用待定系数法求出特解，从而得到非齐次微分方程的通解（齐次方程的通解+非齐次方程的特解）。利用基于降阶的变量替换法直接将二阶常系数线性非齐次微分方程降阶为2个一阶线性非齐次微分方程来进行求解，不需要考虑非齐次项的具体函数形式。

三、结语

针对二阶常系数非齐次微分方程，基于降阶的变量替换法将它降阶为2个一阶线性非齐次微分方程来进行求解，该方法是求解二阶常系数非齐次微分方程的另一种有效途径，还可以推广应用到高阶常系数非齐次微分方程求解中。

参考文献：

[1]范周田，张汉林.常系数非齐次线性微分方程的变量替换法[J].大学数学，2018，34（01）：89-93.

[2]唐美兰.变量替换在大学数学中的应用[J].数学理论与应用，2010，30（04）：114-117.

[3]李建平，朱健民.高等數学（上）[M].第2版.北京：高等教育出版社，2015.