空中发射初始状态对运载火箭有效载荷的影响

蔡恒欲，林立辉，刘士阳，叶正寅

(西北工业大学 航空学院，西安 710072)

0 引 言

空中发射技术是指从空中发射平台(主要是飞机或者飞艇等航空飞行器)上发射携带任务载荷的运载火箭、巡航导弹和无人机等(统称为有效载荷)的技术[1]。

从军事角度来看，火箭发射基地一般是战时敌方最先想要摧毁的地方，采用空中发射技术具有三方面优势：①使火箭发射具有极强的机动性和隐蔽性，在战时和应急情况下是相当重要的；②有利于减少火箭发射场地的数量、节约维护经费、缩短发射周期；③提高火箭的有效载荷，使小型火箭可以运载更多的有效载荷到轨道上[1-2]。从民用角度来看，空中发射技术在商业方面也具有巨大潜力，例如，2013年初，维珍银河公司已有超过575名付费用户购买了用于乘坐"太空船2号"的太空旅行票，票价暂时稳定在250 000美元[3]。

在国外，2004～2006年间，Beggar求解器被广泛用于诸如F-15E、F-16、B-52等空中发射平台的外挂物投放仿真[4-6]。V.C.Nguyen等[7]分析了机箭系统发射阶段的鲁棒稳定性；E.Roosenboom等[8]利用实验方法，研究了重装空投货物出舱后机-物-伞系统的气动耦合特性。1990年4月，美国“飞马座”火箭通过空中发射平台发射的空射型运载火箭，其总质量18.3 t，可以发射180～410 kg的小型卫星[9]。2018年10月，英国维珍航空公司利用改装后的747-400在9 144 m高空成功实现二级运载火箭“LauncherOne”的发射。2019年4月， “Stratolaunch”实现首飞，用于运载火箭空中发射，有效载荷可达250 t[10]。

目前，国内的研究主要集中于理论和数值模拟方面。唐志共等[11]采用基于非结构重叠网格的挖洞技术求解Euler方程，数值模拟了外挂投放；肖中云等[12]在并行环境下进行了外挂物动态分离过程的数值模拟；朱和铨等[13]对仿真的火箭箭体进行了气动特性分析；高云逸等[14]和杨磊[15]分别研究了运载火箭在空中投放后的姿态控制。

各国研究者已对空中发射技术进行了大量研究，并取得了一些成就，但大都是研究火箭分离过程中的数值模拟和气动特性方面，对于具体的空中发射对运载火箭的有效载荷影响程度的研究很少，因此本文通过研究在不同的发射高度和速度下有效载荷的变化情况，定量地给出空中发射对有效载荷的影响程度。

1 计算方法

为了便于研究发射高度和发射速度对火箭入轨后有效载荷的影响程度，对火箭运动轨迹(如图1所示)进行简化处理，火箭运动方式为：

(1) 在初始高度、初始速度下，火箭发动机点火，火箭开始进行爬升；

(2) 到达一定高度后，火箭发动机熄火，火箭依靠惯性继续爬升，直到火箭到达指定轨道，此时火箭速度基本为0；

(3) 火箭到达轨道高度后发动机二次点火，产生的推力一方面与离心力一起平衡地球引力，另一方面对火箭进行加速，直到火箭达到轨道速度为止。

图1 火箭运动轨迹Fig.1 Motion trajectory of rocket

为了简化计算，设定如下假设：

(1) 火箭发动机推力恒定，不对火箭发动机推力进行调整；

(2) 火箭发射不考虑地球自转问题；

(3) 运动过程中将火箭看成一个质点，不考虑火箭自身姿态改变问题；

(4) 箭体与载机分离后至转为垂直姿态开始点火，仅需数秒，期间火箭高度的变化忽略不计；

(5) 由于到7×104m高度时大气密度数值在10-4kg/m3的量级，计算出来的气动阻力在103N的量级，远小于由于重力引起的阻力，故假定火箭到达7×104m高度后大气密度为0。

火箭加速上升阶段的数学模型如式(1)所示。

(1)

式中：hn为火箭当前高度；hn-1为火箭上一时刻高度；vn为火箭当前速度；vn-1为火箭上一时刻速度；fn为火箭当前时刻所受气动阻力；mn为火箭当前质量；mn-1为上一时刻火箭质量;dm为火箭发动机推进剂质量流量;FGn为火箭当前时刻所受重力;G为万有引力常量;M为地球质量;R为地球半径;F为发动机推力;an为火箭当前加速度;an-1为火箭上一时刻加速度。

在计算火箭的飞行阻力时，阻力系数(Cd)的值随马赫数(Ma)的变化而变化。使用RASAero软件，建立火箭的简易模型，如图2所示；得到阻力系数的变化曲线，如图3所示。

图2 火箭外形Fig.2 The rocket shape

图3 Cd随马赫数的变化曲线Fig.3 Curve of Cd changed with Mach number

考虑到不同高度下，大气温度不同，声速也不同，故将大气模型加入到计算模型中。根据火箭当前高度，确定出当前高度下的大气温度，再计算出声速，根据火箭当前速度，即可求出火箭当前马赫数Ma，阻力系数Cd根据马赫数的值确定。

火箭进入轨道后进行加速阶段的数学模型如式(2)所示。

(2)

式中：Ffn为火箭受到的万有引力与离心力的合力;θ为火箭发动机推力方向的离轴角，用来使推力产生一个分力平衡万有引力与离心力的合力;Fa为火箭发动机推力用来加速的分力;其他参数同式(1)。

采用上述一阶精度算法，能快速地定量分析火箭有效载荷随发射高度和发射速度的变化情况，从而更好地反映出初始发射状态对火箭有效载荷的影响程度。本文虽然采用的是较为简易的数学模型和一阶精度计算方法，但是对于研究不同初始发射状态对运载火箭有效载荷的影响，其结论不会产生影响。

2 火箭入轨模型

本文研究火箭在不同发射高度和不同发射速度下在指定轨道上有效载荷的变化情况，得出发射高度和发射速度对火箭入轨后有效载荷的影响程度。基于长征6号火箭部分参数构建火箭数学模型，指定火箭轨道高度为100 km。

假定火箭起飞质量中除了结构质量外，其余质量全为火箭的推进剂。当火箭在轨道高度上速度达到轨道速度时，剩余的推进剂质量即为有效载荷。为了做到火箭完全回收，火箭采用长征6号火箭的参数，但在发射过程中不做分离，即看作是一个一级火箭，参数如表1～表2所示。

表1 火箭主要参数

表2 1个标准大气压下火箭发动机参数

首次计算后发现在0高度、0速度状态下发射，即地面发射，火箭能到达轨道，但在推进剂全部消耗完之后速度为3 699.58 m/s，小于轨道速度7 840.3 m/s，即火箭无法真正意义上进入轨道。之后将发射高度定为20 000 m，发射速度定为250 m/s，结果在推进剂耗尽前仍无法将火箭在轨道上加速到轨道速度。

考虑到火箭的全重，一般将大型飞机作为空中发射平台，而计算结果表明，即使通过飞机进行空中发射，火箭也无法真正进入100 km轨道，故这种方案在一级火箭模型下不可行。

鉴于一级火箭无法达到轨道速度，将火箭改为二级火箭，当一子级用完其全部推进剂后脱离，之后由二子级进行推进，而火箭主要参数不改变，包括火箭起飞质量、火箭结构质量、推进剂质量等，火箭各子级参数如表3～表4所示。

表3 火箭一子级参数

表4 火箭二子级参数

火箭各子级的空重是通过推进剂占比估算得到的。此外，在火箭一子级中，发动机比冲和推进剂流量的乘积所得到的推力为1 205.337 4 kN，而给出的发动机推力为1 199.190 kN，故通过两者的比值和火箭二子级发动机推力，可估算出火箭二子级发动机的推进剂流量。

计算结果表明，在初始发射高度为0，初始发射速度为0，火箭在100 km轨道上可达到轨道速度，此时有效载荷为213.32 kg。表明选用二级火箭模型为基本的计算模型，火箭能携带一定的有效载荷进入100 km轨道，该方案可行。

3 初始发射状态对入轨有效载荷的影响

选取二级火箭模型为基本计算模型，用于分析初始发射状态对有效载荷的影响。首先，在0高度、0速度下，火箭在100 km轨道高度上达到轨道速度，此时的质量为1 943.32 kg，有效载荷为213.32 kg。在该发射状态下，火箭进入轨道前火箭高度、质量、速度随时间的变化如图4～图5所示。图4中横坐标为火箭发射后的时间，左边纵坐标为火箭的质量，右边纵坐标为火箭距地面的高度；图5横坐标为火箭发射后的时间，左边纵坐标为火箭的速度，右边纵坐标为火箭距地面的高度。

图4 火箭入轨前高度、质量随时间的变化Fig.4 The height and quality of the rocket changed with time before entering the orbit

图5 火箭入轨前高度、速度随时间的变化Fig.5 The height and speed of the rocket changed with time before entering the orbit

火箭入轨前阻力系数、马赫数随时间的变化曲线如图6所示，横坐标为火箭发射后时间，左边纵坐标为火箭当前马赫数Ma，右边纵坐标为阻力系数Cd。

从图4～图6可以看出：由于火箭一开始质量较大，加速度较小，速度曲线开始时变化较为平缓，但总体上加速度有增长的趋势；在火箭发射后100 s左右，由于火箭马赫数接近1，此时火箭进入跨声速阶段，激波的产生使火箭的阻力系数剧增(如图6所示)；之后随着马赫数的增加，阻力系数下降，且火箭自身的质量在不断减少，故火箭的加速度不断增加；在火箭发射155 s后，火箭发动机熄火，火箭开始减速，相对于火箭所受到的引力，火箭的气动阻力为小量，即火箭的减速上升运动近似为匀减速上升运动。

图6 火箭入轨前Cd、Ma随时间的变化Fig.6 The Cd and Ma of the rocket changed with time before entering the orbit

火箭在上升阶段不同高度下的速度、质量和推进剂所耗占比(所耗推进剂与一、二级火箭总推进剂的比值)如表5所示，高度选取为5 000.16、10 000.20、15 000.30、20 000.20、25 000.20和30 000.50 m，可以看出：由于初始加速度较小，当火箭到达5 000.16 m时，火箭速度达到0.55Ma左右，但此时火箭已经消耗了25.5 t的推进剂，占总推进剂质量的27.4%；而当火箭到达30 000.50 m时，火箭速度为2.14Ma左右，此时火箭已经消耗58.7%的推进剂。表明提高发射高度和发射速度，可以明显节省推进剂的使用或增加有效载荷。

表5 上升段时不同高度下火箭的速度、

火箭从地面发射，到10 000.20 m高度时，已消耗34 784.8 kg的推进剂，此时火箭速度为267.218 m/s。若由空中发射平台将火箭带到10 000.20 m高度，并赋予火箭267.218 m/s的初速度，火箭的质量可由103 000 kg减少到68 215.2 kg。

从工程实践角度出发，由于推进剂的减少，火箭结构质量可以相应减少，故假定火箭一子级的结构质量(发动机的质量除外)与其推进剂的质量成线性关系，并规定火箭的二子级参数不改变。根据假定，由空中发射平台搭载的火箭，其一子级全重49 485.2 kg，其中推进剂质量43 905.25 kg，结构质量为5 579.95 kg(发动机质量为1 900 kg)。此时，该火箭由空中发射平台在10 000.20 m初始高度、267.218 m/s初始速度下发射，在轨道上的有效载荷为426.41 kg，比从地面发射到达轨道的有效载荷(即213.32 kg)增加了近1倍。

同理，若空中发射平台将火箭带到30 000.50 m高度，并赋予火箭644.678 m/s的初始速度，火箭质量由103 000 kg减少到48 433.3 kg。同样，基于之前的假设，火箭一子级的全重为29 703.3 kg，其中推进剂质量25 633.16 kg，结构质量为4 050.14 kg (发动机质量为1 900 kg)。此时，该火箭由空中发射平台在30 000.50 m初始高度、644.678 m/s初始速度下发射，在轨道上的有效载荷为799.28 kg，比从地面发射到达轨道的有效载荷(即213.32 kg)增加了1.7倍。

综上可知，空中发射不仅可以减少火箭的质量和尺寸，还可以增加火箭的有效载荷。

初始发射速度分别为0、300、500、700和1 000 m/s情况下，有效载荷随高度的变化曲线如图7所示，横坐标为初始发射高度，纵坐标为入轨的有效载荷。

图7 在不同速度下有效载荷随高度的变化Fig.7 The change of payload with emission height

从图7可以看出：当初始发射速度为0时，发射高度从0变化到30 km，有效载荷从约213.32 kg增加到约765.59 kg，增加了2.59倍，表明有效载荷随着发射高度的增加而增加；当发射速度为0，发射高度由0增加到10 000 m时，有效载荷增加了290.37 kg；当发射速度为1 000 m/s时，发射高度由0增加到10 000 m时，有效载荷增加了834.93 kg，表明随着发射速度的增加，会显著提升发射高度对有效载荷的影响程度。

初始发射高度分别为0、10、20和30 km情况下，有效载荷随速度的变化曲线如图8所示，横坐标为初始发射速度，纵坐标为入轨的有效载荷。

图8 不同高度下有效载荷随速度的变化Fig.8 The change of payload with emission speed

从图8可以看出：当发射高度为0时，发射速度从0增加到1 000 m/s，有效载荷从约213.32 kg增加到约1 326.89 kg，增加了5.22倍；发射高度从0提升到10 km时，有效载荷有较为显著的提升；若发射高度从10 km继续增长，对有效载荷的提升并无良好效果，而且若要继续增加发射高度，对载机平台的设计要求将更加严苛，因此初始发射高度设置在10 km左右较为合适；当发射高度为0时，发射速度由0增加到1 000 m/s时，有效载荷增加了1 113.57 kg，当发射高度为10 000 m时，发射速度由0增加到1 000 m/s时，有效载荷增加了1 158.13 kg，表明发射高度的增加不会显著提升发射速度对有效载荷的影响程度，但发射速度的增加则会显著提升发射高度对有效载荷的影响程度，即发射速度对有效载荷的影响更为突出。

为了更好地反映发射高度、发射速度对有效载荷的影响，给出有效载荷随发射高度、发射速度变化的三维图，如图9所示。

图9 有效载荷随发射高度、发射速度的变化Fig.9 The change of payload with emission height and emission speed

从图9可以看出：当从初始发射高度和速度都为0，增加到30 km高度并且速度达到1 000 m/s下发射时，有效载荷从约213.32 kg增加到约2 554.78 kg，增加了10.98倍。

火箭要携带更多的有效载荷，空中发射平台就需要飞的更快、更高。但考虑空中发射平台在提升发射高度后，其本身由于高空空气稀薄，升力会相对下降，而火箭本身起飞质量不会发生变化，并且提升发射高度对有效载荷的提升影响较小，故将提高发射速度作为第一考虑因素，提升发射高度仅作为提升发射速度的一种手段，这种做法更为经济，也对有效载荷的提高更加有效。

4 结 论

(1) 发射高度在10 km以上继续增加，对有效载荷的提升并不明显，而且因为发射高度的增加，对载机平台的设计将提出更为苛刻的要求，因此初始发射高度设置在10 km左右较为合适。

(2) 通过不同发射高度、不同发射速度对有效载荷的变化进行数据对比，可知发射速度对有效载荷的影响更为突出。

(3) 若考虑空中发射的经济性，设置初始发射高度为10 km左右，并尽可能提高初始发射速度的方案是较为合理的。