离散数学中二元关系的教学模式改革探讨

李海侠

摘  要：二元关系是离散数学中的主要内容之一，在数據结构、点集拓扑、近世代数、算法分析和信息检索等学科中具有非常广泛的应用。结合信息与计算科学专业特点和作者教学实践，通过强调应用价值、优化教学内容、丰富教学方法和改进考核方式等不同角度探讨二元关系的教学模式改革，从而帮助大家灵活应用二元关系中的知识解决相关问题。

关键词：离散数学;二元关系;应用价值;教学内容;教学方法;考核方式

中图分类号：G642        文献标志码：A         文章编号：2096-000X（2020）06-0129-03

Abstract： Binary relation is one of the main content of discrete mathematics and is widely used in the fields of data structure， general topology， modern algebra， algorithm analysis and information retrieval. Combining with the characteristic of information and computational science and the author's teaching practice， we discuss the teaching mode reform of binary relation by emphasizing the application value， optimizing teaching contents， enriching teachingmethods and improving assessment ways and so on， and help us better apply binary relation to solve relevant problems.

Keywords： discrete mathematics; binary relation; application value; teaching contents; teaching methods; assessment ways

信息与计算科学是数学、信息科学与计算机科学交叉融合的一门新型学科，其主要对象是信息技术的核心数学基础以及运用现代计算工具高效求解科学与工程问题的数学理论与方法。该专业利用数学为信息与计算科学构建基础平台，采取数学基础理论和专业实践相结合的教学方式，注重学生基本技能的培养，重视学生数值分析、计算技术及软件的学习，确保学生具有强的知识应用能力。离散数学是研究离散量的结构及相互关系的学科，是信息与计算科学专业的专业核心课。随着计算机科学技术的飞速发展，它的应用体系非常广泛。学生通过对离散数学的学习，不但在组合分析、算法设计以及应用与建模等方面形成基本的离散思维方法，而且能够培养学生严密的逻辑推理能力，从而为将来从事信息行业的理论研究和应用开发打下坚实的基础。因此，许多学者对离散数学的相关内容进行了研究[1-12]。二元关系是离散数学课程中的重点和难点内容。我院给信息与计算科学专业开设的许多课程如数据结构、数据库和近世代数等都与二元关系有关。但是由于二元关系的内容抽象、繁琐、零散以及证明难，很多学生学习这一章感到非常吃力，导致对内容理解不透彻并且不能灵活应用。因此探讨二元关系的有效教学方法是非常有必要的。笔者自2006年以来一直从事信息与计算科学专业的离散数学课程的教学，结合专业特点和社会发展需求在教学过程中不断积累经验，对如何改进该课程的教与学尤其对二元关系这一章的教学改革模式进行了深入思索。

一、二元关系的国内研究现状

二元关系是离散数学集合论中的重要内容，是两个集合笛卡尔乘积的子集，研究的是一个集合内部或两个不同集合元素间关系。它与数理逻辑、集合论、布尔代数、组合数学和图论等有密切的联系，不但在数学领域中起着非常重要的作用，而且被广泛应用于计算机科学等领域。目前很多书籍和文献研究了二元关系的相关知识[1-8，11]。比如文献[2，5]探讨了传递闭包的运算方法;文献[3，6]分析了二元关系的五个性质;文献[4，11]研究了等价关系和偏序关系;文献[7，8]讨论了二元关系传递性的判别方法。纵观研究现状，已有文献都是对二元关系中的某个具体知识点进行讨论，但针对二元关系这一章内容的具体教学模式改革的探讨并不多见。另一方面，二元关系的教学现状是：学生没有意识到二元关系的重要性，所以对二元关系的学习主动性不高;教学内容不新颖，不能激发学生的学习兴趣;教学方法还停留在传统模式上，不能调动学生的学习积极性;考核方式忽略了学生的实践能力等，不能培养学生的创新能力。针对这些现状，结合作者多年的理论研究和教学实践，下面从四个方面系统的分析离散数学中二元关系的教学模式和学习技巧，从而加深学生对二元关系知识点的理解以及灵活应用。

二、提高二元关系的教学措施和实践

（一）强调应用价值

在讲授二元关系的内容之前，首先说明学习二元关系的意义：二元关系在信息检索、算法分析、编译程序设计、近世代数、数据结构、数据库和点集拓扑等领域发挥着积极作用。如传递闭包在编译原理中，等价关系在数据库、命题公式、集合、数据结构以及组合计数中，偏序关系在项目管理和字典排序中的应用非常广泛。而且，现实中的许多问题都可以用二元关系来建模，例如资源共享协议、计算机中的多机调度、匹配问题、安排座位和图的着色等问题。而且，二元关系也是该专业学生学好后续某些课程的基础。这样使注重于计算机基础和应用的信息与计算科学专业的学生感受到二元关系的重要应用价值，从而激发学生浓厚的学习兴趣和提高自主学习的积极性。

（二）优化教学内容

二元关系这一章内容散且课时少，为了赶教学进度很容易忽略学生的学习状态以及学以致用性，从而会降低学生的自主学习兴趣。另外，为了适应现代社会发展对信息与计算科学专业人才的需求，还应注重培养学生的综合应用能力和实践能力。所以应当优化二元关系的教学内容。二元关系这一章内容的基本框架是：

由于信息与计算科学专业的学生已经学习了数学分析和高等代数等专业课，对集合的运算已经有了更进一步的认识。所以在教学内容上对关系的运算较粗略讲解。而二元关系的性质是这一章后续内容的基础，所以应重点加强与二元关系性质相关问题的训练，特殊关系的讲解，并强调关系矩阵在性质判别、关系运算及等价关系和偏序关系判定过程中的思想和作用，从而将抽象问题具体数学化，使学生更好理解和掌握。另外，为了将理论与实际相结合，教学内容上还可以加入简单的计算编程，比如让学生利用所学知识实现对关系矩阵的n次幂运算等内容的编程，使学生能够学以致用，从而对二元关系的学习产生浓厚兴趣。

（三）丰富教学方法

1. 教学手段多样化

混合教学模式，是将在线教学和传统教学的优势结合起来的一种“线上+线下”的教学方式[12]。针对二元关系，可以采用传统课堂和翻转课堂等结合的混合式教学模式。

课前，教师将二元关系的定义和运算让学生在网络教学平台下载观看，并查阅回顾关系数据库的相关知识。教师将诸如关系与数据库之间的联系是什么等问题发给学生思考和讨论。关系的性质和特殊关系较难理解，可以先用传统教学内容的手段录成简短的小视频，形成在线课程（或慕课）发给学生，让学生提前预习。对于特殊关系，教师还可以让学生先行思考实際生活中的哪些关系是特殊关系。课堂上，在前面的准备基础上，针对二元关系的内容，教师先列出提纲，然后适时应用雨课堂对学生的预习情况进行测查。接着让学生分组讨论，这个过程中教师要鼓励学生发现并提出问题，而且还要参与到学生的讨论中。比如有些学生对等价类与划分之间的关系理解不好，教师鼓励理解透彻的同学为其讲解并互相讨论，最终以图示化方式明确等价类与划分块之间的关系。

二元关系讲解完后，可以给学生布置一些联系实际的作业，比如关系运算如何运用到社交网络中等。实践表明，这样的混合式教学方式不但让学生体会到了学习的乐趣，而且更好地激发了学生的自主创新学习能力。

2. 融入实践教学

单纯的基础理论教学往往忽略了学生对计算思维方法的灵活应用。所以应适时增加实践教学环节，鼓励学生将一些算法进行计算机编程和应用，从而使理论与实际相结合。信息与计算科学专业的学生开设了C语言、C++面向对象编程、Java语言、Matlab语言与应用、数据结构、数据库以及计算机网络等编程和计算机课程，在掌握算法分析和计算技术方面更有优势，能够更好地对二元关系的有关内容编程并灵活运用。因此在二元关系的教学中可以根据学生的情况选取一些内容进行简单编程。比如可以让学生对关系闭包运算、等价关系与偏序关系的判定和关系矩阵的n次幂运算等进行简单编程，也可以先让学生用Warshall算法和改进的Warshall算法求关系的闭包运算，再鼓励学生尝试利用传递闭包的Warshall算法绘制班级社交关系图等。这样不但提高了学生的编程能力和学习兴趣，而且培养了学生的动手能力和综合运用知识的能力。

3. 注重启发式教学

二元关系这一章概念和定理很多，所以教师可通过精心设计逐步递进的启发式教学来引导学生积极主动思考，激发学习兴趣，实现教学间的有效互动，从而提高教学质量。例如设R1，R2是集合A上的二元关系。通过讲解易知，若R1，R2是自反的（反自反的，对称的），则R1∪R2也是自反的（反自反的，对称的）。于是教师由此可以启发提问：“若R1，R2是反对称的（传递的），则R1∪R2是否也是反对称的（传递的）”？然后可以通过举实例来解决给出答案。又如讲闭包运算时，通过闭包运算的概念逐层启发引导学生得出其运算表达式。这样将问题层层深入，加深学生对重点内容的理解。

4. 采取类比式教学

二元关系这一章的许多内容间存在一定联系，可以用类比法教学来加深理解。比如，在二元关系教学过程中，讲解完性质和运算后，可类比性质与运算的联系，也可通过类比等价关系和偏序关系来区分特殊关系。传递闭包的判定有些难度，但它与第一章数理逻辑中的蕴含式判别相关联，所以讲解传递闭包时将其用蕴含式判别来分析可以简化判定思想，更能加深这两方面知识的理解。另外，二元关系中的有些内容和信息与计算科学专业学生所学课程的有关知识相似。如关系中的并、交和差运算其实是关系数据库中的增加、查找及删除运算;关系闭包与数学分析课程中的闭包一致;关系矩阵的合成运算公式与矩阵的乘法公式相似，只不过关系矩阵的乘法和加法用的是布尔运算。这样通过已学知识的介入和类比使得学生能够更形象的理解二元关系的内容。

（四）改进考核方式

考核是对学生掌握知识的评价，也是对教学效果的评估[10]。二元关系以往的考核由作业、出勤和回答问题的表现决定。这种考核方式忽略了学生的编程能力和自主创新学习能力的培养，显然不利于信息与计算科学专业学生的发展。在二元关系的考核中，还应注重考查学生平时的综合学习表现：平时课前预习情况的表现;平时课中讨论问题的表现;平时计算机编程和做练习题情况的表现。另外，为了使学生巩固二元关系的知识和养成平时踏实学习的好习惯，还应该进行二元关系这一章的单元考试。因此为了使信息与计算科学专业的学生适应社会需求，二元关系的考核方式最终由以下几部分构成：平时课前检测10%;平时课中讨论10%;平时编程和练习表现20%;作业出勤 20%;单元检测成绩40%。当然，这种考核方式在离散数学课程的整个教学过程中也适用。

三、结束语

二元关系与许多学科有非常紧密的关联，在许多领域具有非常广泛的应用，因此加深对二元关系的理解和探讨二元关系的教学方法及技巧是非常有必要的。针对二元关系的教学改革，本文从强调应用价值、优化教学内容、创新教学方法和改进考核方式等方面进行了讨论。通过该教学模式的应用将调动学生的学习积极性、主动性和创造性，达到良好的教学效果。随着信息科学和社会的飞速发展，今后还需要结合信息与计算科学专业学生的实际情况和社会的发展需求不断地对二元关系乃至离散数学课程的教学内容和模式进行创新和探索，这样才能实现教与学与用的有机结合。

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