Bogdanov-Takens系统在分段n次多项式扰动下极限环个数的上确界

崔文喆，李宝毅，张永康

（天津师范大学数学科学学院，天津300387）

1 引言与主要结论

在常微分方程分岔理论中， Bogdanov-Takens 系统具有极其重要的地位，对于Bogdanov-Takens 系统的研究，详见文献[1-10].近年来，分段光滑微分系统在控制理论、 电子电路和机械工程等领域得到广泛应用， 因此对于分段光滑微分系统极限环个数的研究成为一个热门课题.对于二次等时系统S1、S2，当平面分为上下2 个区域时，文献[11]和文献[12]分别证明了在二次多项式扰动下，S1极限环个数的上确界属于{4， 5}， S2极限环个数的上确界属于{5， 6}， 此外， 文献[12]还证明了当平面分为上下2 个区域时，在n 次多项式扰动下的二次可逆中心r19 和r20 极限环个数的上界分别为 4n-3（n≥4）和 4n+3（n≥3）.文献[13]证明了当平面分为上下或左右2 个区域时， Liénard系统在分段多项式扰动下极限环个数的上确界分别为（n≥1， m、n 分别为扰动多项式的次数）.文献[14]证明了在非连续（连续）分段一次、二次多项式扰动下， 当M1（h）0时， Bogdanov-Takens 系统极限环个数的上确界B2（n）（B2c（n））满足2≤B2（1）≤3，5≤B2（2）≤7，B2c（1）= 1，3≤B2c（2）≤5.

本文将平面分为左右2 个区域，研究在分段n 次

2 一阶Melnikov函数

3 一阶Melnikov函数零点的估计