数学直觉与数学实在性探析

武亚军

【摘要】认识本身包含人的主观性因素，不管通过什么途径去认识世界，都是有可能出错的。因此需要正视数学直觉的作用，并对数学直觉的价值和意义进行分析。但在数学发展过程中，就数学直觉可否作为知识的基础和来源存在诸多争议。文章从数学直觉的争论开始探析直觉与逻辑间的关系以及数学的实在性问题。

【关键词】认识世界;可靠性;完全性;数学直觉;逻辑;实在性

直觉在数学和科学中是重要的知识，不同的数学家或哲学家对直觉有不同的看法和观点，对于直觉的可靠性问题难以下定论。柏拉图是第一个从直觉的认识角度去寻找理性知识确定性根源的哲学家。亚里士多德认为从经验中可以获悉原始的前提，而了解原始前提的是直觉。近代笛卡尔强调理性直觉和演绎，在确定无疑的基础上通过推理的方法得出结论。康德认为直觉是理性直觉，强调绝对时空观。他们都强调直觉可以作为数学或科学知识的基础，是科学发现必不可少的方法。然而数学中的众多悖论，尤其是集合论中的罗素悖论和相容性问题又使数学家们陷入了新的困境，因此作为数学知识基础的直觉的可靠性问题研究就有了必要性。

一、直觉作为数学基础的争论

大多数学家和哲学家都强调直觉的重要性，但也有一些哲学家会意识到直觉的局限性。一部分人认为直觉是数学知识最可靠的基础，所有的知识体系是由前提、推理和结论组成的，即公理化演绎方法。从古希腊至今，哲学问题在逐步地精确化，直觉在其中到底起什么样的作用？从柏拉图开始就已经有了知识，如果没有数学，很多问题将得不到解答。古希腊时期对世界的认识主要是天文学，天文学是依托数学而发展起来的，数学本身是个知识体系，它能够将天文学知识抽象化、符号化而成为几何学模型。亚里士多德创立的是形式逻辑，他是从经验直觉的角度来考察的，所以他的命题是穷尽的。同时，亚里士多德形式逻辑中的全称量词和特称并没有发挥其实质性作用，存在多重广延性表述困境。之后欧几里得在亚里士多德的影响下创立了实质公理学——欧氏几何。欧氏几何中的很多公设和公理是在经验直觉的基础上形成的。《几何原本》的出现，形成了一套几何学公理系统，并为其他科学体系建立了一套經验归纳和逻辑演绎的科学方法，在当时《几何原本》被认为是绝对的真理，是非常严密的知识体系，是不可反驳的[1]254。

近代笛卡尔强调理性直觉和演绎，他认为直觉和逻辑的共同作用可以达到知识的确定性。虽然在笛卡尔时期，通过实验的方法可以达到一定的确定性，但是难以保证实验结果的可靠性，只有通过数学的方法可以达到确定性的标准。通过直觉认识到不证自明的公理，再从自明的公理和明确的概念出发进行演绎推理，得出真理[2]85。到莱布尼茨时期，他强调理性直觉的重要性。他有个设想就是将人们对世界的所有认识都符号化，并通过数学化的方式进行计算。他提出，在这样的演算中，一切推理的正确性将化归于计算，除了事实的错误，所有的错误将只由于计算失误而来。他的形式化设想与数学直觉是密不可分的。哥德尔也是强调理性直觉可以直达第一基本公理。哥德尔在证明完全性定理中使用了超穷思维，而这种超穷思维是无法通过经验直观的方式获取的，只能通过理性直觉的方式。他们都强调直觉可以作为数学知识的基础。

在对数学基础争论的过程中出现了三大学派，其中以布劳维尔为代表的直觉主义认为被直觉所能把握的才是确定的，只有直觉才能确定命题的真假，但是他们否定排中律的作用，认为并不是每个数学命题都能判定其真假，存在大量命题既未证明其真也未证明其假[3]98。而排中律是逻辑演绎系统中所使用的逻辑规则，是不会出错的。因此直觉主义所推崇的直觉并不是可靠的。

不论是经验中的直觉还是理性中的直觉，都具有一定的主观性，它们难以把握客观的真实，数学直觉需要建立在有效的框架或规则下才能保证其可靠性。

二、数学直觉与逻辑的制约关系

直觉一直以来被认为是非逻辑性的，同时其准确性也备受争议。但数学中的直觉是数学发展中重要的部分。直觉是严谨逻辑的对立面，如果我们承认直觉的概念，这或许表达了人类思想的一种基本的、一致的倾向——对确定性的追求，这实质上是一种笛卡尔的态度。在他看来，它们并不是对立的，因为上帝无限的心智保证了它们之间的联系。人们之所以认为直觉和逻辑是对立的，是因为人类的思维能力非常有限。而从笛卡尔的观点来看，它们是互相补充的。

逻辑在所有学科中都是普遍的，逻辑结构虽然能保证数学的可靠性，但并不是所有的数学都能转化为逻辑的形式。哥德尔在逻辑方面做了两项比较重要的工作，一个是证明了一阶谓词逻辑是完全的、可靠的。哥德尔的另一项工作是在形式数论系统和形式实数系统过程中证明了不完全性定理。有一个“真”超出了系统或认识，我们知道该命题为真，但是用系统的语言无法证明。逻辑上的真与可证明性是不一样的[4]180。我们对“无穷”的认识是通过直觉的方式，而非经验上的直观，比如对自然数的认识，通过直觉的方式来把握它，没有对世界的认识就没有直觉。为了认识世界和改造世界，我们的思维必须把握无限，根本的手段就是要通过科学抽象[3]337。而抽象的方式之一也就是直觉。我们用元数学研究形式系统时，它本身是有意义、有内容的，所以形式化的东西也脱离不了内容与直觉。这就说明数学不光是逻辑和符号，不光是语言，还有对世界的认识。因此，只要有对世界的认识，直觉就会发挥作用。

为了使数学变得更可靠，我们试图将数学放在逻辑的框架体系之中，因为逻辑是可靠的，同时推理规则也是不变的。但很多数学形式不能转变为逻辑，所以就很难保证数学的可靠性。在数学发展过程中，我们发现逻辑所使用的语言是有缺陷的，因此推理过程的严格性也难以保障。那如何才能保证数学的可靠性？克莱因曾提出数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直觉上[5]99。直觉是会出错的，但是我们可以将直觉置于正确的框架或逻辑公理化之中，通过逻辑公理化的方式来寻求答案。康托尔在思考如何将集合论修饰为精美的理论的过程中，才开始对集合论进行公理化。将直觉的内容置于逻辑的框架中并公理化，这是解决可靠性的一个办法。

三、数学中的实在性问题

我们能够经体验到的事物是存在的，体验不到的只能用抽象的方式来获取。数学中的直觉我们难以把握，但不代表它是不存在的，它可能无时无刻不在发挥着作用。数学中的数字或概念能否反映客观的真实存在呢？这其实就涉及数学的本体论问题，这也是从古希腊时期数学家们一直争论的话题。柏拉图认为“理念世界”是永远不变且真实存在的;亚里士多德认为只有具体之物才是存在的，数学概念只是抽象思维的产物，并不是客观存在的。在这之后，数系的扩充和四元数的应用都超出了经验的直观，但都为数学的发展发挥了极大的作用。除了数系超出经验，还有一些非标准模型也超出人的直观，比如非欧几何的出现彻底颠覆人们对于数学严密性的认识。但非欧几何又是符合理性且可靠的，其是否代表一种真实的存在呢？在我们的直觉认识中“整体永远大于部分”，这个命题是无需反驳的，但是直到康托尔对无穷集合的进一步研究得出实无限是无法排除的，并提出“整体与部分是一一对应关系”之后，旧的传统观念才被打破。我们习惯于接受经验上、直观上易于接受的事物或概念，而往往容易忽略直观无法认识的。无限的出现更是为数学的发展带来了新的挑战，直接影响到数学可靠性的问题。

现代西方数学哲学中的实在论是这样一种观点：它认为，数学的研究对象是一种独立于人类认识的客观存在[6]218。针对实在论的问题，不同的数学家持不同的观点。“柏拉图主义”认为数学是完全独立于人的认识而存在的，存在于“理念世界”中。从“认识论”的角度看，数学知识是先验的。对数学的认识建立在“数学直觉”之上。而这种“直觉”并不是我们认识中的直觉，而是由真理所构成的先验数学世界，等待着我们去发掘。数学直觉虽然与感觉经验相距甚远，但是其表示客观实在的一个方面。虽然他有唯心主义的倾向，但是其客观立场是值得思考的，“数学直觉”的作用也是不容忽视的。还有一位实在论者普特南，他承认数学对象量化对于物理发展的重要性，我们接受了数学量化也就接受了数学对象的存在[7]347。数学从本质上说，它的出现并不是要和经验世界有所关联，而是要发展其数学思维的自由性。对于数学对象客观性与实在性的问题，笔者认为应给予更多的包容性，因为很多未知的东西需要我们进一步地探索，实在性与否并不是问题所在，关键在于给予数学思想自由发挥的空间来发现和解决更多的问题。

【參考文献】

[1]周述岐.数学思想与数学哲学[M].北京：中国人民大学出版社，1993.

[2]林夏水.数学哲学[M].北京：商务印书馆，2003.

[3]莫绍揆.数理逻辑初步[M].上海：上海人民出版社，1980.

[4]林夏水.数学的对象与性质[M].北京：社会科学文献出版社，1994.

[5]（美）莫里斯·克莱因.古今数学思想（第四册）[M].北京大学数学系数学史翻译组，译.上海：上海科学技术出版社，1981.

[6]夏基松，郑毓信.西方数学哲[M].北京：人民出版社，1986.

[7]Hilary Putnam.Philosophy of Logic（essays In Philosophy）[M].Harpercollins Publishers，1972.