二维大视场紧凑型离轴四反光学系统设计

刘璐 胡斌 周峰 王钰

二维大视场紧凑型离轴四反光学系统设计

刘璐 胡斌 周峰 王钰

（北京空间机电研究所，北京 100094）

针对空间红外遥感领域轻量化、系统时间分辨率高的需求，设计了一款二维大视场紧凑型离轴四反光学系统，该系统工作谱段为2.70~7.50μm，系统焦距为500mm，数为3.5，视场角为18°×10°。光学系统设计采用了新型折叠光路型式，得到了灵巧紧凑的系统结构；利用XY多项式自由曲面面型描述方法对光学系统的各个镜面进行拟合，并结合标准Zernike多项式进行像差分析，将系统的四面反射镜设计为“凸-凸-凹-凹”的组合，拓宽了成像视场，实现了子午弧矢双方向大视场清晰成像。设计结果表明，全视场80%的能量集中在弥散斑直径20μm的圆内；公差分析后，在奈奎斯特频率（25线对/mm）处全视场调制传递函数优于0.57。该系统视场大、能量集中度高、结构紧凑，可为空间遥感宽谱段、凝视成像光学设计提供一定的参考。

大视场 离轴四反光路系统 自由曲面 XY多项式 空间遥感

0 引言

光学系统轻量化设计以及成像系统时间分辨率的提升是当前航天遥感领域的重要研究方向。传统一维大线视场的空间光学系统为了实现对某一区域的探测，需配置光机扫描机构来辅助实现。这种工作模式一方面牺牲了系统的时间分辨率，无法对感兴趣目标进行实时不间断观测；另一方面，配置指向控制机构会增加发射成本和不可靠性。基于此，本文设计了一款二维大视场凝视成像的紧凑型离轴四反光学系统，通过二维大视场凝视成像方式，在保证幅宽、减少系统复杂性、缩小系统尺寸、在提升系统时间分辨率的同时，实现了成像系统的简化设计[1]。

在光学系统设计过程中，为了达到增大视场、紧凑结构的目的，通常采用具有更多设计自由度的光学结构型式和光学设计方法[2]。离轴反射光学结构型式没有色差及二级光谱问题，很适合宽谱段的红外光学系统；当反射镜面元件与相机支撑结构使用同种材料制造，能够实现系统的无热化设计，消除了温度梯度带来的像差问题，易于实现红外遥感光学系统大口径、轻量化设计；新型折叠光路的离轴四反型式布局灵活，可避免中心遮拦，能有效提高光能收集效率，从而提高信噪比。离轴反射式光学系统的上述优势使其成为空间光学成像领域的研究热点[3-4]，例如：印度发射的IRS-P5卫星上搭载的两台全色测绘相机，日本发射的ALOS卫星上搭载的全色遥感立体测绘仪（PRISM），以及我国2013年入轨的“试验五号”上搭载的光学遥感平台均采用了离轴反射光学结构型式。

本文选用了离轴反射式光学系统型式，由于该系统是由同轴反射式系统经过倾斜和偏心转化得到的[5]，会在离轴过程中因视场或光阑离轴引入非对称像差，为了校正此像差，传统的光学设计方法一般采用非球面优化设计，但这种手段缺少足够的优化自由度，只能做到弧矢单方向大视场成像，制约了二维大视场凝视成像光学系统的设计。近年来，国内外科研机构开始探讨将具有高精度、高自由度的自由曲面用于成像光学领域用以解决上述问题，并做了大量研究工作[6]，例如：美国罗切斯特大学采用Zernike多项式自由曲面方法设计了一款高紧凑度的离轴三反系统，视场角6°×8°[7]；清华大学联合天津大学利用XY多项式自由曲面[8]研制了一款轻小型离轴三反光学系统，数1.38，视场角4°×5°[9]。XY多项式自由曲面面型的数学模型是在二次曲面基底上叠加泰勒多项式，这种数学模型的表达方法与数控光学加工的表达形式一致，因此采用这种面型描述方法设计的反射镜元件易于加工，而且随着近年来金属反射镜在空间遥感领域应用比例的增大，基于XY多项式的自由曲面光学元件具有更加广泛的应用前景。

综上分析，本文选择了XY多项式自由曲面面型进行二维大视场离轴四反光学系统的设计：首先给出了适用于全反射式大视场紧凑型光学系统的初始结构求解方法；之后利用XY多项式自由曲面优化设计方法实现了子午弧矢双方向大视场紧凑型离轴四反光学系统的优质成像。经过像质评价和公差分析，系统成像品质良好，结构小巧紧凑，满足宽谱段空间红外遥感系统成像需求。

1 二维大视场离轴四反光学系统设计

图1 二维大视场离轴四反光学系统设计路径

1.1 二维大视场光学系统参数

焦距、数、视场角是空间光学系统的设计三要素[10]，这三项的取值代表了一个光学系统探测水平，各参数之间互相制约不能随意设置，其关系式展开如下：

其中为系统焦距；为探测器轨道高度，系统工作在地球静止轨道，取36 000km；为探测器像元尺寸，=20μm；GSD为地面像元分辨率，系统需求GSD=0.7km；为光学系统入瞳直径142mm；为地球半径，空间遥感领域通常取地球赤道半径=6 378km。由式（3）可以求出，在地球静止轨道实现1/4地球圆盘面探测需要的视场角是9°×9°，本文二维大视场光学系统旨在提高系统时间分辨率，因此将视场角制定为18°×10°，以满足1/2地球圆盘面的覆盖探测。

根据相应参数推导出二维大视场光学系统的设计指标，结果如表1所示。

表1 光学系统设计指标

Tab.1 Design parameters of the optical system

1.2 同轴四反光学系统初始结构求解

本文中的二维大视场离轴四反光学系统具有焦距长、视场大、数小且结构紧凑的特点，然而适合作为这种光学系统的初始结构有限，需通过特定方法求解。一般方法有两种：1）通过反射式系统消像差原理求解方程组，得出同轴四反光学系统初始结构参数，再经过系统离轴得到离轴四反光学系统初始结构[11]；2）在具有中间像面的离轴三反光学系统基础上增加一面反射镜得到离轴四反光学系统[12]。这两种方法的局限性在于：方法一的参数求解过程计算量大；方法二是在其他系统的基础上增加镜面数量不易制定具体约束条件，缺乏针对性。文献[13]介绍了一种更好的求解同轴三反光学系统的算法：基于遗传算法，通过反射式系统消像差原理得到系统的优化目标函数，目标函数是5种单色像差的加和，因此求解初始解结构的过程就是寻找目标函数最优解的过程；当自变量的组合使目标函数求得最小值时，得到的同轴三反光学系统像差最小，也就得到了最优的初始结构解。

应用文献[13]中的算法，结合本系统的设计指标，下文给出了一套求解同轴四反光学系统的目标函数及详细求解过程。

同轴四反光学系统初始结构如图2所示，入射光线依次经过主镜M1、次镜M2、三镜M3、四镜M4，在各反射镜上的投射高度为h；各镜面的物方截距及像方截距分别l，l′；−1为主镜的焦距；主镜、次镜、三镜、四镜间的镜间距分别为1、2、3。

图2 同轴四反光学系统初始结构

同轴四反光学系统初始结构求解的目标函数为

式中,α和n分别表示材料的硬化系数和硬化指数;σ和ε分别表示单轴应力和单轴应变;E和σ0分别表示材料的弹性模量和屈服应力。式(1)右端第一项表示线弹性行为，第二项表示进入塑性阶段。通过线性阶段来拟合弹性模量E和确定屈服应力σ0，然后采用1stOpt软件[10]的通用全局优化算法来拟合上述本构模型，拟合相关系数达到99.9%，得到塑性参数α和n，见表1(b)所示。

根据物理定义可以得出遮拦比和放大率的表示（见式（5））。高斯光学近轴光线追迹理论可得出用遮拦比和放大率表达的曲率半径以及镜间距公式（见式（6）），式（6）中′为系统焦距。

将式（5）~（6）代入PW法光学系统像差公式中[12-15]，得出用遮拦比、放大率以及二次曲面系数表达的各像差公式：

为了得到适合本文中二维大视场紧凑型的光学系统初始结构，要对目标函数的约束项以及自变量提供合理的取值范围。

首先，对系统的镜间距进行约束。由于反射式光路中光线在各镜折叠出射，那么各镜间距近似相等时，系统的总尺寸更小，结构更紧凑，因此设置附加约束项

之后，通过设置合理的目标函数取值范围，独创性的设计了一种“凸-凸-凹-凹”镜面组合的同轴四反光学系统初始结构。此初始结构的主镜采用凸面设计，使主镜具有大的负光角度，能够提供大的物方视场角，属于反摄远型光学系统。反摄远型光学系统具有像方视场角比物方视场角小的多的成像特性，这种性质能够提高像面照度均匀性，从而提高系统能量集中度；采用“凸-凹”对称的镜面组合分布，还有利于消除彗差、像散等像差，为后续优化提供了良好的初始性能。目标函数自变量取值范围见表2，最终得到的同轴四反光学系统初始结构参数见表3，将其代入光学设计软件可得同轴四反光路结构。

表2 目标函数自变量取值范围

Tab.2 Argument range

表3 光学系统的初始结构参数

Tab.3 Initial structural parameters of the optical system

1.3 无遮拦离轴四反光学系统的建立过程

前文求出的“凸-凸-凹-凹”同轴四反光学系统是二维大视场离轴四反光学系统的初始结构，是设计的起点。在光学设计软件ZEMAX中输入结构参数，得到同轴光路；然后将光阑设置在系统次镜上，这种设置方式可以进一步保证大视场成像。至此，初始结构搭建完成，下一步是实现系统的离轴化。

同轴反射式光学系统的离轴化是一个过程[14-18]：首先，对系统次镜进行倾斜设置，逐渐增大倾斜角度直至次镜对系统的入射光线不再遮挡，与此同时调整主镜倾斜角度以便光线跟随次镜；之后，对三镜、四镜进行倾斜偏心，直至得到无遮拦离轴四反光路。整个光学系统在弧矢面（）对称，离轴操作均发生在子午面（）平面内。

图3为系统离轴有效视场的变化情况，矩形代表了初始同轴光学系统的有效视场，矩形为部分离轴的有效视场，矩形为最终无遮拦离轴四反的有效视场，可以看出离轴过程中系统弧矢反向的有效视场不变，子午方向的有效视场逐渐减小。因此引入自由曲面光学系统优化设计方法，校正系统像差，提高离轴四反的子午视场，得到成像品质优良的二维大视场离轴四反光学系统。

图3 有效视场示意

1.4 自由曲面二维大视场光学系统优化设计

XY多项式是一种在二次曲面基底上叠加泰勒多项式的数学模型，是一种具有高精度的自由曲面描述方法，可以提供更多的优化自由度从而实现光学系统成像性能的提升。其数学描述为[19-20]

式中为XY多项式表达的自由曲面面型矢高；为面形顶点曲率；为径向半径；为二次曲面系数；、为XY多项式表达的自由曲面局部坐标；、分别是、的阶数，两者之和一般取10阶以内（即+<10）；A为XY多项式每一种组合对应的系数。

利用XY多项式优化光学系统，就是通过求解各阶系数A得到更优的自由曲面表面解，从而优化系统像差来实现优质成像。因此需要明确XY多项式各项系数与光学系统几何像差的对应关系。光学设计软件ZEMAX提供几何像差的分析列表Seidel像差，它的每一项均与标准Zernike多项式的项数具有一一对应关系[21]。因此，求解XY多项式各项系数与光学系统几何像差的对应关系的问题就转化为求解XY多项式各项系数与标准Zernike多项式各项系数关系的问题。

标准Zernike多项式数学模型是一种圆域正交表达式，其第一项与XY多项式的第一项数学模型相同，都是二次曲面基底。标准Zernike多项式数学模型为

式中表示归一化径向坐标；为角度坐标；B为Zernike多项式的系数；Z为Zernike多项式系数项的极坐标表示。

表4中列出了Seidel像差以及对应的标准Zernike多项式表示，并将极坐标系下的描述转换为直角坐标系下的描述，同时给出了对应的XY多项式系数。基于此表即可在XY多项式自由曲面光学系统优化设计时，自主选取需要设置的系数变量，有针对性地优化系统像差。

表4 标准Zernike多项式、XY多项式与Seidel像差的对应关系

Tab.4 Correspondence between Zernike coefficients, XY coefficients and Seidel aberration

利用光学设计软件ZEMAX进行优化的主要过程为：1）将之前得到的离轴四反光学系统的主镜、次镜、三镜、四镜设置为5阶XY多项式自由曲面面型，这是由于阶数越小对应的系数项A越少，优化速度则越快，后续可以继续增加镜面阶数以增加优化变量。2）增大离轴四反子午方向的有效视场角，从初始的18°×6°提升至18°×10°。3）查看系统Seidel像差清单，明确系统的各镜面像差情况，选取适当的优化操作数，并查找表4中该类像差对应的XY多项式系数项设置变量进行优化。例如，查看Seidel像差清单发现此时系统在次镜上的彗差较大，在优化向导中设置COMA彗差操作数，选择面为次镜，并使用OPLT、OPGT等控制操作数进行定量约束，之后查找表4中彗差对应的XY多项式系数3、8、10等设置变量，进行迭代优化，依此类推。4）利用系统点列图提供的各视场角弥散斑半径RMS作为评价指标，当各视场的弥散斑半径RMS值与系统艾里斑半径值近似相符时认为系统成像品质满足要求。

经过上述优化操作，最终得到了主镜、次镜为5阶XY多项式自由曲面镜，三镜、四镜为7次XY多项式自由曲面镜的二维大视场离轴四反光学系统。光学系统最终的结构参数见表5，各镜面XY多项式自由曲面系数见表6，系统光路图见图4。

表5 二维大视场离轴四反光学系统结构参数

Tab.5 Structural parameters of the 2D large field off-axis four-anti-optical system

表6 系统各镜面的XY多项式系数

Tab.6 Surface parameters of mirrors

图4 光学系统结构

2 像质评价

文中二维大视场紧凑型离轴四反光学系统在弧矢方向的有效视场为−9°~9°，在子午方向的有效视场为−5°~5°。在有效视场内选取12个视场点，以光学系统工作波长2.7μm作为参考波长对光学系统的成像品质进行评价。图5、6分别为系统的MTF曲线及能量集中度曲线，表7为系统点列图。从设计结果可以看出，系统全视场光学调制传递函数MTF设计值在奈奎斯特频率25线对/mm处均优于0.60；系统各视场中最大弥散斑半径RMS值为10.923μm，小于系统艾里斑半径11.68μm，系统各视场中最大几何（GEO）半径为28.265μm；全视场衍射圈入能量在10μm半宽度处大于80%，这一数值与系统各视场中最大弥散斑半径RMS值10.923μm相近，说明该光学系统80%的能量集中在弥散斑直径20μm的圆内。以上数据表明系统能量集中度高、成像品质良好，接近衍射极限。

图5 MTF曲线

图6 能量集中度

表7 系统点列图

注：1）RMS半径表示系统各视场弥散斑半径均方根； 2）GEO半径表示系统各视场对应的几何半径

3 公差分析

公差分析是光学系统从设计走向工程应用的重要一步，公差制定的合理性影响光学系统的总体性能水平。本文在完成了对二维大视场紧凑型离轴四反自由曲面光学系统的设计后，首先采用灵敏度分析方法制定了宽严得当的公差分配结果，之后利用蒙特卡洛方法模拟了200个光学系统，分析了像质波动情况，验证了公差制定的合理性。

成像光学系统的实际误差来源包括材料误差、加工误差、装配误差三种[22]。反射式光学系统因不含透射材料，只需考虑加工和装配误差。本文光学系统的具体公差分配情况为：系统的加工误差包括四面反射镜的曲率半径误差，各镜面的二次曲面系数误差以及四面反射镜的面形误差，共计12项。装配误差包括系统四面反射镜沿光轴方向的位移误差，以及各反射镜元件绕、轴的旋转倾斜误差，共计12项。公差分析过程中采用灵敏度分析，以波前RMS作为衡量系统设计性能的评价指标，这种分析方法通过分配的公差得出像质的变化，使用后焦面的位移和偏心作为系统补偿。如果在某一公差分配项下得到的波前RMS值变化量大，说明该项误差对系统成像品质影响较大，应重新进行公差分配并加严此项公差。最终得到的具体公差分配结果见表8。

表8 系统的公差分配

Tab.8 Distribution of system tolerance

注：1）检测波长=632.8nm； 2）∆，∆分别表示四个反射镜元件绕轴和轴倾斜的量

表9中给出了12个视场在奈奎斯特频率（25线对/mm）处的MTF设计值与公差分析后的对比数据。分析结果表明，在模拟的200个光学系统中，90%的MTF在奈奎斯特频率处优于0.57，各项公差分配合理。

表9 奈奎斯特频率25线对/mm处的MTF公差分析结果

Tab.9 The MTF at 25lp/mm after tolerance analysis

4 结论

本文总结了离轴反射式自由曲面光学系统在空间遥感领域的技术优势，给出了应用XY多项式自由曲面实现二维大视场紧凑型离轴四反光学系统的优化设计方法，利用标准Zernike多项式像差分析方法提升了离轴系统子午方向大视场，实现了双方向大视场优质成像。经过公差分析，在奈奎斯特频率（25线对/mm）处全视场调制传递函数优于0.57。该系统焦距长、视场大、探测谱段宽、能量集中度高，利于目标识别和高密度观测，在空间红外遥感领域有很好的应用前景。

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Design of Compact Off-axis Four-mirror Optical System with Two-dimensional Large Field of View

LIU Lu HU Bin ZHOU Feng WANG Yu

（Beijing Institute of Space Mechanics & Electricity, Beijing 100094, China）

In order to meet the needs of lightweight and high temporal resolution in space remote sensing, a two-dimensional off-axis four-mirror optical system is designed with large field of view and compact configuration. The system works in the range of 2.70~7.50μm; the focal length of the system is 500mm; thenumber is 3.5 and the field is 18°×10°. In the process of system design, a new type of folded optical path is adopted, and then a smart and compact system structure is obtained. By using the optical design method of XY polynomial free-form surface, combined with the aberration analysis method of standard Zernike polynomial, the four-sided mirror in the system is designed as a combination of convex–convex-concave-concave surfaces, which widens the imaging field of view and realizes clear imaging of meridian arc vector in two directions and large field of view. The design results show that 80% of the energy in the full field of view is concentrated in the circle with the RMS spot diameter of 20μm; after tolerance analysis, the MTF at Nyquist frequency is better than 0.57 at 25lp/mm. The system has large field of view, high energy concentration and compact configuration, providing a reference in optical design for space remote sensing in space wide spectrum and staring imaging.

wide field of view; off-axis four mirror system; free-form surface; XY polynomial; space remote sensing

O439

A

1009-8518(2020)01-0073-12

10.3969/j.issn.1009-8518.2020.01.009

2019-09-09

刘璐, 胡斌, 周峰, 等. 二维大视场紧凑型离轴四反光学系统设计[J]. 航天返回与遥感, 2020, 41(1): 73-84.

LIU Lu, HU Bin, ZHOU Feng, et al. Design of Compact Off-axis Four-mirror Optical System with Two-dimensional Large Field of View[J]. Spacecraft Recovery & Remote Sensing, 2020, 41(1): 73-84. (in Chinese)

刘璐，女，1993年生，2017年获燕山大学光电信息科学与工程专业学士学位，现为中国空间技术研究院在读硕士研究生。研究方向为空间光学遥感器系统设计。E-mail：632891187@qq.com。

（编辑：夏淑密）