问题引领 感受过程 感悟本质——一节数学建模探究活动课的实录与思考*

任卫兵 (江苏省苏州高新区第一中学 215011)

近日，由苏州市教育科学研究院主办的“基于新课标的高一数学教学研讨会”在苏州市吴中区甪直高级中学举行．笔者有幸聆听了四位教师的同课异构课“函数模型及其应用”，四位教师都进行了精心的课前准备，课堂教学过程精彩纷呈．其中让笔者深受启发的是由江苏省常熟中学钱佶忠老师执教的数学建模探究活动课．钱老师从暑假期间热映的道恩·强森主演的电影《摩天营救》出发，提出：“道恩·强森从塔吊的悬臂上跳跃进入大楼这一情景能否在现实中实现？”这一问题，积极引导学生进行合作探究，在学生的活动过程中，不失时机地引导、启发、点拨、评价，让学生充分体验建立数学模型解决实际应用问题的过程，感悟问题的本质，提升学生的数学素养．

本文先给出钱老师的课堂实录，再谈谈笔者的一些思考．

1 课堂实录

1.1 情境引入

师：今年暑假期间，同学们有没有观看由道恩·强森主演的电影《摩天营救》呢？(展示电影海报图片并播放电影花絮视频)其中最惊险刺激的就是强森从塔吊的悬臂上跳跃进入大楼的情景(播放强森跳跃进入大楼的视频)．很多观影者在惊叹的同时产生了疑问：道恩·强森能成功一跳吗？(播放众人议论的视频)

附：视频中对话实录

米歇尔·贝德尔(体育节目主持人)：此事在体育界引起巨大争议．

罗森·马歇尔·瑟伯(《摩天营救》导演)：这是百分之百真实的．

克里斯·杰里科(职业摔角运动员)：这不可能，他从来没有尝试过顶绳攀登．

凯文·史密斯(电影人)：当有人问“这一跳是真的吗？”，你就想打断他们，然后问“你是认真的吗？”

达克斯·帕沃斯(动作指导)：这是真的，他做到了．

康拉德·皮特(网络巨魔)：证据在哪里？拿出来．

凯尔·希尔(科学专家)：(在白板上边演示边说)用简单的运动方程式我们可以推断出他可以．

黛比·莫里斯(强森的影迷)：哦，我认为这绝对是真实的．你看过他的大腿吗?

康拉德·皮特(网络巨魔)：假的，我是说这看起来像假的．

尼克·芒迪(强森的超级粉丝)：唯一能知道答案的方法就是亲自去跳一下．我要亲自去试一下．

师：请同学们讨论一下，这个问题你会如何研究呢？

问题影片中道恩·强森在被逼无奈下选择从塔吊的悬臂上跳跃进入大楼(图1)，这一段影片的真实性在观影者中引起了巨大的争议．你觉得这能在现实中实现吗？请说明理由．

图1

(学生分小组讨论5分钟)

1.2 探究生成

师：如何研究道恩·强森能否跳跃进入大楼呢？

生1：取决于跳跃后，他的落点是否在破开的窗户内．

师：如何确定他的落点呢？

生1：考虑他跳跃过程中的运动曲线．

师：在空中跳跃的运动曲线属于哪种类型？

生1：我感觉我们平时扔粉笔头时，粉笔掉落的曲线和它是一样的，是一条抛物线．

师：如何研究抛物线的形状和方程呢？请同学们再讨论讨论．

(5分钟讨论后)

生2：我们在物理课上学过匀速直线运动和匀变速直线运动，还没有学到这种曲线运动．

师：同学们在物理课上还没学到这种抛物线型的曲线运动模型．那我们能不能查一查相关资料呢？

生2：我们上百度来搜索一下吧．

(学生利用教室电脑登陆百度网站搜索到“斜抛运动”，并播放“斜抛运动”视频，图2为视频截图)

图2

师：现在我们已经找到强森跳跃过程中的运动曲线模型了.还需要些什么呢？

生3：需要给出强森与大楼以及破开的窗户之间的距离．

师：我们来画一个草图，并给出数据(图3)．还需要些什么？

生3：根据刚才的“斜抛运动”视频，还需要他的起跳速度、起跳方向、重力加速度等．

师：老师也上网查过资料,“2009年8月19日，运动员博尔特在100 m比赛中跑了9.58 s，约为10 m/s”．而电影中强森是左腿戴有假肢的残疾人，我们给他打个折：假设强森的起跳初速度为6 m/s，起跳方向为正前方斜向上45°，重力加速度取10 m/s2．

图3 图4

生4：以起跳点O为坐标原点，向右的方向为x轴正方向，过O与x轴垂直向上为y轴正方向，建立如图4所示的平面直角坐标系．

师：现在运动模型和数据都有了，你能求出强森跳跃过程所对应的曲线方程吗？

(3分钟讨论后)

师：真的很棒!生5根据斜抛运动相关知识求得强森跳跃过程所对应的曲线方程.那么他能不能安全地跳跃进入大楼呢？

生6：当x=-6时，可得y=-4．此时他的落点恰好在点A处，因此他能安全地跳跃进入大楼．

(教室内不约而同地响起热烈的掌声)

1.3 反思提升

师：同学们真是太棒了!经过同学们的共同努力，终于成功解决了老师的这个疑惑．非常感谢大家！请大家结合我们刚才的探究过程，思考一下：从数学的角度考虑，该如何去解决一个生活实际问题呢？

(3分钟讨论后)

生7：首先要弄清楚实际问题是要解决什么问题、有哪些已知条件,接下来思考如何将已知条件进行转化，寻找合适的数学模型，将实际问题转化为数学问题进行求解，得出数学结论后再给出实际问题的结论．另外在遇到困难时，要利用书籍、网络等查询我们需要的知识和方法．

图5

师：生7总结得很好．数学建模是对现实问题进行抽象、用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养．数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题．用框图表示如图5．

师：同学们课后回顾一下本节课解决问题的探究过程，希望对大家解决以后学习上和生活中遇到的问题有所帮助．

2 几点思考

2.1 在问题引领下探究，在探究交流中生成

陶行知先生曾说：“发明千千万，起点是一问；智者问得巧，愚者问得笨．”好的问题可以引导学生以自主探索、合作交流的方式学习，使学生在解决问题的过程中感受数学、体验数学和理解数学，发展解决问题的策略，树立正确的数学观．[1]教师设计的问题不仅要体现数学思想方法，使学生学习分析、解决问题的方法，还要凸显和强化过程意识，使过程与结果并重．

钱老师注重在问题对话中引导学生探究，从《摩天营救》电影片段出发，提出了“道恩·强森从塔吊的悬臂上跳跃进入大楼这一情景能否在现实中实现？”“如何研究？”“如何确定落点？”“如何确定曲线类型？”等问题，让学生在尝试解决问题的过程中体验问题解决的一般过程．钱老师充分理解学生在尝试解决问题时的紧张感和焦虑感，并给予更多的鼓励和关注，让他们敞开心扉，自由地展现其灵性和个性．了解到学生在物理课上没学过“斜抛运动”的情况时，鼓励学生“能不能查一查相关资料呢？”，让学生体验在问题解决中遇到困境时如何破解．课堂中思维的火花不断地迸发，提出问题与解决问题成为一种愉快的心理体验.学生在问题的提出和解决过程中，逐步学会用数学的眼光观察周围的世界．钱老师将问题解决的过程变成了一种指导学生自主探究解决问题的过程．在学生的活动过程中不失时机地引导、启发、点拨、评价、矫正，让学生充分体会到解决实际问题的基本流程和方式方法．让学生自己去经历和发现，在提出问题和解决问题的过程中，感受问题解决的喜悦，感悟数学问题的本质，提升学生的数学素养．

苏霍姆林斯基说过，学生心灵深处有一种根深蒂固的需要——希望自己是一个发现者、研究者、探索者．教师要尽可能地创造情境让学生亲身感受学习的过程，积极开展以探究式教学为主的灵活多样的教学方法，活化数学知识，激发学生的学习兴趣．在充分理解教学要求、教学理念的基础上，根据学生实际，从学生已有的经验出发，创设学生熟悉的教学情境，加强数学与现实生活的联系．[2]教师更重要的价值在于：在学生有困惑时能给予恰如其分的点拨，能以恰当的方式引导学生思考，把教师对问题的理解转化为学生的理解，使学生悟透本质、提升自我．

2.2 合理开展数学建模活动，培养学生数学实践能力

2017年6月，由美国数学及其应用联合会(COMAP)、美国工业与应用数学学会(SIAM)联合编著，由梁贯成、赖明治、乔中华、陈艳萍教授编译的《数学建模教学与评估指南》指出：数学建模是借用数学的语言讲述现实世界中与数量、图形有关的故事．数学模型使数学走出了自我封闭的世界，构建了数学与现实世界的桥梁．数学建模强调以学生的经验、学习实际和社会需要的问题为核心，以问题求解的需要为导向，对学生学过的数学学科内部和跨学科的知识、工具、方法、资源进行整合应用，以有效地培养和发展学生解决问题的能力、探究精神和综合实践能力，强调了学生的自主性和实践性，强调“问题”和“问题意识”，强调学习、实践过程的开放性和活动性．数学建模对于各个门类的科学技术以至于人的实践都有巨大的促进作用，对于数学来说也有促进发展开拓领域的巨大作用．[3]数学建模是数学成为人类文化的重要组成部分的关键．

高中数学建模教学的现状并不理想．自1995年高考数学中引入数学应用问题以来，数学应用问题教学一直是数学教学的软肋．[4]学校和家长对开展数学建模活动的重视程度不够．数学应用问题教学相对于数学解题教学要复杂得多，如果教师本身还没有数学应用意识和数学建模能力，何谈在数学教学中培养学生的数学建模能力？没有教师的数学应用教学意识，不可能有学生的数学建模能力素养．我们的学校和教师要认识到数学建模对学生成长的巨大促进作用，积极合理地开展数学建模活动，培养学生的数学应用意识和实践能力，提升数学建模素养．