例析整体换元在导数题中的应用

王兴卫

(陕西省西安市西北工业大学附属中学， 710072)

对利用导函数解题的相关问题,学生普遍感觉难．特别是既含有指数式又含有对数形式的综合题,学生无从下手．本文对此类问题提供一种简单而有效的解法,通过整体换元避开指数式与对数式同时出现的情境，从而降低问题求解难度.希望对学生们有所帮助．

例1已知f(x)=xeax-1-lnx-ax,若f(x)的最小值恰好为0,求a的最小值.

解令t=xeax-1,则lnt=lnx+ax-1.

解依题意，λeλx≥lnx，即λxeλx≥xlnx=(lnx)eln x，亦即λxeλx≥(lnx)eln x在(0,+∞)恒成立.

设f(x)=xex,x∈(0,+∞),则f(λx)≥f(lnx).

分析本题按常规思路求解，较为繁琐,特别是零点的限定讨论要求极高．但是转换一个思路,进行一次简单的构造,则可以快速获得如下解答,容易掌握．

设t=xex,则lnt=x+lnx,有xex-1=t-1≥lnx+(b-1)x.由于t-1≥lnt,故只需lnt=x+lnx≥lnx+(b-1)x，即bx≤2x,亦即b≤2可以使原不等式恒成立.

下证b>2时原不等式不成立.

若xex-1≥lnx+(b-1)x恒成立,则当t=xex>0时，t-1≥lnx+(b-1)x=lnx+x+(b-2)x=lnt+(b-2)x恒成立.

当t=1时,t-1=lnt=0,此时∃x0>0使得t=x0ex0=1,且由上式可得(b-1)x0≤0,矛盾.故b>2时原不等式不成立.

综上，得b≤2.