极限的几种典型计算方法

【摘 要】极限是微积分理论的基础，极限的计算是微积分学的基本运算之一。本文介绍几种典型的极限计算方法，并通过实例加以说明，力求使初学者掌握更多计算极限的方法和技巧。

【关键词】极限;导数;中值定理;Stolz定理

极限是一个古老而基础的概念，古希腊的欧多克斯和阿基米德的“穷竭法”及刘徽的“割圆术”都包含着朴素的极限思想。

计算极限的常用方法至少有十几种，如利用极限定义证明极限、利用极限运算法则求极限、利用极限存在准则求极限、利用变量替换及恒等变形求极限、利用无穷小运算法则求极限、利用函数连续的性质求极、利用两个重要极限及其推广形式求极限、利用洛必達法求极限、利用泰勒公式求极限、利用定积分的定义求极限、利用收敛级数的性质求极限等。这些是高等数学中常用的求极限的方法，在这里不再介绍，下文主要介绍几种典型的求极限的方法。

1   利用导数定义求极限

导数作为增量比的极限，为求一些特殊的极限提供了一种简洁有效的方法。应用导数定义求极限，主要是把极限中的某些部分等价转化为的形式，从而利用该点的导数求出相应的极限值。利用导数定义求函数极限需借助海涅定理[1]。

2   利用拉格朗日中值定理求极限

拉格朗日中值定理在理论分析中有着十分重要的作用，为求某些较难的极限提供了一种简便有效的方法。该方法主要是对极限中的部分使用拉格朗日中值定理，将其转化为，从而求出极限。

极限计算灵活多变。正确掌握极限的计算方法和运算技巧，对高等数学课程的学习具有重要意义。本文在极限计算常用方法的基础上，归纳总结了几种典型的计算方法，用来处理不易直接求出的极限问题，补充和拓展了极限计算的技巧和方法。在此需要指出，极限计算没有绝对固定的方法，往往需要根据具体情况分析和处理。

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系.数学分析（上册，第3版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]吴云飞，裴亚萍.数列极限计算的方法与技巧[J].宁波职业技术学院学报，2003（1）.

[3]张再云，陈湘栋，丁卫平，等.极限计算的方法与技巧[J].湖南理工学院学报（自然科学版），2009（2）.

[4]白杰，刘薇.微积分中常用的函数极限计算方法及解析[J].长春大学学报，2012（2）.

[5]陈玲.一元函数极限的一些计算方法[J].课程教育研究，2015（7）.

[6]贺皖松，吴娟.高等数学一元函数极限求法研究[J].贵阳学院学报（自然科学版），2017（3）.

[7]曾位.高等数学一元函数极限求法研究[J].数学学习与研究，2017（11）.

[8]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法（第2版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

【作者简介】

李兵方（1980～），男，河南商丘人，硕士，副教授。研究方向：高等数学教学与研究。