高台跳雪最佳起跳角度理论分析与数值计算研究

于耀

（北京市中关村中学，北京 100086）

1.引言

1.1 研究背景及意义

高台跳雪运动起源于西方，它本是挪威用来处罚犯人的一种酷刑，后来演变为一种极限运动并在1924 年第一届冬奥会中被列为正式比赛项目。根据国际跳雪联合会规定，其在冬季奥运会和世界跳雪锦标赛的跳雪比赛中共设有70m 级台和90m 级台两个级别，并在1971 年国际跳雪联合会的决定中制定了每两年举行一次世界跳台跳雪锦标赛的赛制。高台跳雪运动的基本规则是运动员脚穿特制的跳雪板，在不借助任何外力的情况下从起滑台起跳，在助滑道上获得高速，身体随之迅速前倾与跳雪板形成锐角角度，其后运动员沿着抛物线在空中飞行直到着陆坡着陆，然后继续滑行至竞赛停止区。本项运动由于跳台助滑道及起跳端的角度等不同，加上温度、风向、风力及雪质等自然条件的差异而导致跳雪的性能也随之变化。因此，一直以来跳雪比赛只有最好的成绩而没有过世界纪录，因中国的跳台跳雪运动发展较慢、水平偏低，虽然从2003年开始我国跳台跳雪运动员通过获得的赞助常年在奥地利训练，水平有了一些提高，但相比世界高水平运动员还有很大的差距。为了让我国的跳雪运动员在2020 年冬奥会取得更好的成绩，本文以《高台跳雪最佳起跳角度理论分析与数值计算研究》为题探究了跳雪运动中所蕴涵的科学原理，希望能为我国高台跳雪运动做出小小的贡献。

高台跳雪若将运动员起跳后当作一个质点来处理，那么其运动过程将是物理中典型的斜抛运动模型。有关抛体运动的研究可以追溯到牛顿时代，在牛顿的经典之作《自然哲学的数学原理中》首次阐明物体受力与运动之间的紧密关系，即牛顿第二定律。当物体初速度方向与加速度的方向不在一条直线时，那么物体在空间中的运动轨迹将是曲线。高台跳雪起跳后的运动员仅受到重力作用，起跳角度与重力方向有一不为零的夹角，因而起跳后的运动员在重力的作用下将作斜抛运动，高台跳雪的运动过程可以抽象为一个斜抛运动。

本文通过求解跳雪运动员起跳角度与其落点距离之间的数学关系，利用数学三角变换最终求取最佳理论起跳角度。并在计算机中，输入所建立的运动学方程可得到一些列数值计算结果，从而验证了理论计算的正确性。

1.2 国内外研究现状

有关高台跳雪以及抛体运动的研究已有大量文献报道。沈卫对斜抛运动的分解方法进行了创新性研究[1]，将原本的正交坐标系变换为斜交坐标系，从而使得在利用斜交坐标系解决特殊的斜抛运动问题时得到相应简化。郑智健对斜抛运动在空气阻力作用下的运动轨迹进行了研究[2]，指出在物体质量较小时，空气阻力对物体运动的影响非常显著，通过建立物体在空气阻力作用下的运动学方程，求解了物体受空气阻力影响下的运动轨迹，并以铅球运动为基本背景，研究了空气阻力对铅球的影响，从而为铅球运动员获得更好的成绩提供了理论参考。徐然对足球运动中所涉及的抛体运动理论进行了探究[3]，将抛体运动的分析方法应用到对足球运动轨迹的计算中，通过分析足球受力与其运动轨迹之间的关系，得出了能够提高足球运动成绩的科学方法。刘尚昊对抛出点具有一定高度的斜抛运动进行了细致分析与研究[4]，指出当抛出点具有一定高度时，抛射体获得最大射程的条件不再是抛射角为45°，而是略小于该角度值。文章计算了抛出点具有一定高度的抛射体的运动方程，从而得到具有一定起抛高度的抛射体的抛射距离与抛射角度之间的函数关系，并通过实验对随机的抛射角进行了检验，研究结果对铅球运动具有很好的现实指导意义。李雨青对斜抛运动中的抛射角度与距离之间的关系进行了研究[5]，结果表明物体的抛射距离与抛射初速度以及抛射角度均有关，且存在某一最佳角度是得抛射距离最远。

与上述文献不同的是，高台跳雪所涉及的斜抛运动并非在水平面完成，本文通过建立简单的物理模型对跳雪运动员在雪坡上的起跳角度进行了研究，将高台跳雪运动过程抽象为斜面上的抛体运动过程，并建立斜抛运动的运动学方程，得出了起跳角度与雪坡上运动距离的函数关系，并求得最佳理论起跳角度。

2.最佳理论起跳角度计算

2.1 物理模型的建立

高台跳雪运动员从高处滑下并起跳的过程可以简化为一抛体运动，考虑到跳雪运动场地具有一定的坡度，因而可把整个运动过程看作斜面上的斜抛运动，如图1 所示。运动员在O 点起跳后在空中仅受重力的作用，因而在重力作用下，运动员的运动轨迹将是一条抛物线。

图1 高台跳雪运动物理模型示意图

在图1 中建立沿雪坡方向的x 轴以及过起跳点垂直于雪坡方向的y 轴坐标系，由斜抛运动的基本方程可知：运动员的运动可以分解为沿雪坡方向以及垂直于雪坡方向的两个分运动的合成。其中，重力沿雪坡方向的分力为mgsinθ，垂直于雪坡方向的分力为mgcosθ。故而，运动员在沿雪坡方向上将以v0cosα 的初速度，gsinθ 的加速度做匀加速直线运动；运动员在垂直于雪坡方向上将以v0sinα 的初速度，gcosθ 的加速度做匀变速直线运动；运动员的实际运动轨迹是上述两个匀变速直线运动的合成，为抛物线。可得如下运动学方程：

其中：x，y 分别表示运动员沿雪坡方向和垂直于雪坡方向的位移。v0表示运动员起跳时的初速度，α 表示运动员起跳方向与雪坡的夹角，θ 表示雪坡的实际坡度，t为运动员在空中运动的时间。可见，运动员在两个方向上的位移均为关于起跳角度的函数。令式(2)中y=0，可得运动员在空中的运动时间t 如下：

由于运动员在沿雪坡方向上做匀加速直线运动，将式(3)带入式(1)中，可得运动员在雪坡方向上的落点与起跳点之间的距离为：

对式(3)利用三角函数倍角公式进行化解，可得：

其中：x 表示运动员落点与起跳点之间的距离。v0表示运动员起跳时的初速度，α 表示运动员起跳方向与雪坡的夹角，θ 表示雪坡的坡度。

2.2 最佳起跳角度理论计算

由式(5)可知，运动员在跳雪运动中的跳跃距离与其起跳时初速度的平方成正比，因此起跳初速度越大，在跳雪比赛中运动员将会获得更远的跳跃距离。此外，在起跳初速度和雪坡坡度一定时，运动员跳跃距离还是起跳角度的函数。当2α-θ=π/2 时，上述函数可取得最大值：

上式表明，当起跳初速度一定时，通过合理选择起跳角度可获得最佳跳跃距离。当起跳初速度为v0，雪坡实际坡度为θ 时，运动员可以通过控制自身起跳角度为式(7)，便可获得该起跳初速度下的最佳跳跃距离。

3.最佳起跳角度计算机模拟

为验证本文第二节最佳起跳角度理论计算结果的合理性，本节对跳雪运动建立了简单的计算机仿真模型，同样采用将跳雪运动简化为不受空气阻力的抛体运动过程，并列写式(1)、(2)中的运动学方程，通过Matlab 软件编程计算起跳角度为0°～90°范围内的跳跃距离，并从中求取极值和该极值所对应的跳跃角度，与本文第二节式(6-7)理论计算所得的最佳跳跃距离和跳跃角度对比，以本文验证理论计算的合理性，为运动员提供可信的理论指导。

3.1 计算机数值模拟的基本概念

计算机数值模拟是依靠电子计算机结合有限元或有限容积的概念，通过数值计算和图像显示的方法，达到对工程问题和物理问题乃至自然界各类问题研究的目的。它诞生于1953 年Bruce G.H 和PeacemanD.W 模拟的一维气相不稳定径向和线形流，历经了50 年代的交替隐式解法(ADI)、60 年代数值解法、70 年代正交加速的近似分解法、80 年代的嵌套因式分解法以及90 年代的粗化技术，到了21 世纪数值模拟技术发展主要体现在两方面，即一体化模拟技术和定量进行属性不确定性分析对计算结果的影响。

随着计算机技术的不断发展，如今计算机模拟已成为工业设计、科学研究的有力工具。本文所建立的运动学方程同样可在计算机上进行数值模拟，从而得到与实际情况相似的结果，指导高台跳雪运动健儿取得更好的成绩。

3.2 高台跳雪运动最佳起跳角度模拟

本文将高台跳雪运动简化为不受空气阻力作用下斜面上的斜抛运动，同样建立沿斜面方向和垂直于斜面方向的坐标系，通过式(1)、(2)中的运动学关系同样可得式(5)跳跃距离与起跳角度的函数关系。设置如下初始条件：

（1）运动员起跳初速度为30m/s；

（2）雪坡倾斜角度为30°；

（3）重力加速度取9.8m/s2；

（4）初始跳跃角度为0°，以0.1°为步长增至90°。

在Matlab 软件中输入相应指令，根据上述初始条件对0°～90°范围内的跳跃角度所对应的跳跃距离进行计算，结果如图2。

图2 高台跳雪跳跃角度与距离数值模拟结果

由图2 可知，随着跳跃角度的增大，跳跃距离先增大后减小，在跳跃角度为60°时，跳跃距离取得极值183.7m。带入式(6)、(7)可得，理论预测当起跳角度为60°时将获得最佳跳跃距离，从而验证了本文理论计算的合理性。

4.结论

本文以高台跳雪运动为背景，将高台跳雪运动抽象为物理学中的斜抛运动，通过求解斜抛运动的运动学方程，得到运动员起跳角度与跳跃距离之间的三角函数关系。对该函数进行恒等变换后得到其极值条件，即最佳起跳角度。为验证所得理论结果的正确性，本文借助Matlab 在计算机上对高台跳雪运动进行了数值模拟，数值模拟结果符合理论预期。