虚功原理在结构杆件内力计算中的应用

周欣竹，林佳辉1，胡哲文1，郑建军

(1.浙江工业大学 建筑工程学院，浙江 杭州 310023；2.浙江省工程结构与防灾减灾技术研究重点实验室，浙江 杭州 310023)

在实际工程中，结构形式复杂多样，按照力学模型可分为排架结构[1]、框架结构[2]、拱结构[3]和组合结构[4]，结构内力分析和计算是结构设计的前提[5-6]。虚位移原理是结构静力分析的关键，也是结构动力分析的基础[7]。如果结构的约束较多，一般需先联立求解方程组获得约束反力，再计算结构内力，过程比较繁琐，而虚位移原理提供了直接求解结构内力的简捷手段[8]。目前，一些学者针对某些特殊类型的结构，提出了虚位移和结构内力计算的方法。对于四部分T形铰接而成的静定结构，鲍四元[9]先计算虚位移，再应用虚位移原理求解反力。对于已知一点虚位移在两个已知方向投影的平面问题和在3 个已知方向投影的空间问题，薛艳霞等[10]给出了该平面问题虚位移在第3 个方向的投影公式和该空间问题虚位移在第4 个方向的投影公式。在前人工作的基础上，笔者通过仔细分析发现，尽管实际结构形式复杂多样，但对于多数静定结构，当去掉一个合适的约束成为机构后，往往各刚体上某些点的虚位移大小或方向的信息容易确定[11-12]，这样，可以求得该刚体的瞬态转动中心和各点虚位移大小和方向，最后根据虚位移原理计算整个结构的内力。

1 各种情形下刚体平面运动的虚位移计算

下面讨论7 种情形下的刚体虚位移计算，除对第1种情形下的结论给出证明外，为节省篇幅，省略了其余6 种情形下结论的证明，仅给出相关的计算公式。

情形1如图1所示，如果作平面运动的刚体中A点的坐标为(xA,yA)、虚位移方向的单位向量为nA、大小为δA，B点的坐标为(xB,yB)、虚位移方向的单位向量为nB，则当nA×nB≠0时，刚体的瞬态转动中心K就是两条分别过A点和B点且与nA和nB垂直线的交点，K点的坐标(xK,yK)和刚体中任一点C的虚位移大小δC分别为

(1)

(2)

(3)

式中：i和j分别为坐标x和y方向的单位向量；(xC,yC)为C点坐标。

图1 已知两点虚位移方向和其中一点虚位移大小

因为KA和KB的向量分别为

nKA=(xA-xK)i+(yA-yK)j

(4)

nKB=(xB-xK)i+(yB-yK)j

(5)

由nKA⊥nA和nKB⊥nB可得

(nA·i)xK+(nA·j)yK=(nA·i)xA+(nA·j)yA

(6)

(nB·i)xK+(nB·j)yK=(nB·i)xB+(nB·j)yB

(7)

求解方程式(6，7)即可得到式(1，2)。由于K为刚体的瞬态转动中心，刚体中任一点的虚位移大小与该点到K的距离成正比，式(3)明显成立。

情形2如图2所示，如果刚体中A点的虚位移大小为δA，B点的虚位移大小为δB、方向为nB，则角度β容易确定，瞬心K到A和B的距离分别为rKA和rKB，由正弦定理有

(8)

求解式(8)可得α，进而确定瞬心K的坐标(xK,yK)，那么刚体中任意一点C的虚位移由式(3)确定。

图2 已知两点虚位移大小和其中一点虚位移方向

情形3如图3所示，如果刚体中两点A和B的虚位移大小分别δA和δB，另一点C的虚位移方向为nC，瞬心K到C的距离为rKC，则CK与水平线的夹角θ容易确定，且有

(9)

求解式(9)可得rKC，进而结合θ确定瞬心K的坐标(xK,yK)，那么刚体中任意一点C的虚位移由式(3)确定。

图3 已知两点虚位移大小和另外一点虚位移方向

情形4如果刚体中两点A和B的虚位移方向分别为nA和nB，另一点C的虚位移大小为δC，则瞬心K点的坐标(xK,yK)可由式(1，2)确定，刚体中任意一点D的虚位移大小为

(10)

式中(xD,yD)为D点的坐标。

情形5如果刚体瞬心K的坐标为(xK,yK)，A点的虚位移大小δA，则刚体中任一点C的虚位移大小由式(3)确定。

情形6如图4所示，如果刚体瞬心K的坐标为(xK,yK)，A点的虚位移在n1方向的投影为δ1，以n1为水平轴建立坐标系，则刚体中任一点C的虚位移大小为

(11)

图4 已知瞬心位置和一点虚位移投影

情形7如果刚体中一点的虚位移在两个方向n1和n2的投影分别为δ1和δ2，则该点虚位移在n3方向的投影δ3为

(12)

式中：θ1和θ2分别为方向n1和n2与n3之间的夹角。

2 结构杆件内力计算实例

在计算结构中某一杆件的内力时，将该杆件切开，并用一对大小相等、方向相反的力代替，此时原静定结构变成机构。在计算虚位移时，一般先找出与固支铰点连接的刚体，则该固支铰点就是刚体转动的瞬心，假设该刚体中某点的虚位移大小和方向，利用式(3)求出刚体中各点的虚位移大小。再找出与该刚体相连接的刚体，判断该刚体的平面运动属于7 种情形中的哪一种，由此确定该刚体中各点的虚位移大小和方向，依次类推可以确定结构中各点的虚位移大小和方向。当各点的虚位移大小和方向确定后，再应用虚功原理计算所切开杆件的内力。下面给出3 个实例说明杆件内力计算的具体过程。

例1图5为承受集中荷载FP作用的组合结构，求杆件DG的内力。

图5 承受集中荷载作用的组合结构

图6 组合结构虚位移和内力计算

例2图7为承受集中荷载FP作用的平面桁架，求DF杆的内力。

图7 承受集中荷载作用的平面桁架

图8 平面桁架虚位移和内力计算

例3求图9结构中AB杆的内力。

图9 承受集中荷载作用的平面桁架

解：解除杆件AB的约束，以一对大小相等、方向相反的作用力F1和F2代替，如图10所示。由于A点固定，C点的虚位移方向垂直于AC，O1点固定，B点虚位移方向垂直于O1B，而且AC与O1B平行，所以，B和C两点的虚位移大小相等、方向相同，即δB=δC。由于O3固定，G点虚位移方向垂直于O3G，由C和G的虚位移方向可知：刚体CEDG的瞬心为O3，D点的虚位移方向垂直于DO3，又由于CO3=DO3，则δD=δC=δB。由虚功原理建立如下方程：δBFABcos60°+δEFcos90°=0，求解此方程可得FAB=0。利用结构力学求解器解得杆件AB内力也为0，表明结果正确。

图10 平面桁架虚位移和内力计算

3 结 论

对于刚体的平面运动，给出了7 种情形下的虚位移计算公式，结合虚功原理提出了静定结构杆件内力的计算方法。该方法的主要优点是不必事先求解约束反力，可以直接计算杆件内力。通过分析组合结构和平面桁架3 个算例，说明该方法的详细实施过程和有效性。

本文得到了浙江工业大学研究生核心课程项目(GZ17571060001)和本科核心课程建设项目(PX-48181685)的资助。