例说巧用复数性质妙解题

■江苏无锡市第六高级中学

■江苏无锡市青山高级中学 张启兆

复数有许多特殊的性质,如果在解题过程中被灵活地运用,就能化繁为简、化难为易,起到事半功倍的效果。

一、虚数i的性质及其应用

与虚数单位i相关的性质有：

①i2=-1(即-1的平方根是±i)；

②若n∈N*,则i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i；

③（1±i）2=±2i；

⑤in+in+1+in+2+in+3=0,in·in+1·in+2·in+3=-1(n∈N*)；

⑥若w=则w3=1,|w|=

评注:运用与虚数单位i相关的性质,可以使运算简化,提高运算速度。

二、复数模的性质及其应用

②|z1·z2|=|z1|·|z2|,推广：|zn|=|z|n(n∈N*)；

例3已知复数z=(-1+2i)2·,则实数a=_____。

解析：因为所以

例4设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为____。

解析：由z2=3+4i,得|z2|=|z|2=|3+4i|=5,所以

评注:灵活运用复数模的性质,可以优化运算过程。

三、共轭复数的性质及其_应用

设复数z的共轭复数为则有如下性质：

⑤z为实数为纯虚数⇔z=

例5已知复数z满足z·i=3-2i,其中i是虚数单位,则=____。

解析：由z·i=3-2i,得所以

例6已知z1,z2是两个不相等的复数,且z1=1+i,求证

解析：由z1=1+i,得所以z1

四、复数模的三角不等式||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|的应用

例7已知z1,z2∈C,|z1|=3,|z2|=4,求|z1+z2|+|z1-z2|的最大值。

图1

解析：由几何意义可知,|z1+z2|,|z1-z2|是平行四边形OZ1ZZ2两对角线之长,如图1。故|z1+z2|+|z1-z2|≤|z1|+|z2|+|z1|+|z2|≤2|z1|+2|z2|≤14,|z1+z2|+|z1-z2|的最大值为14。

例8(2019年北京大学自主招生数学试题第2题改编)复数z1,z2满足|z1-2i|=3,|z2-6|=1,则由复数z1-z2对应点构成的图形的面积是_____。

解析：复数z1,z2对应点的轨迹都是圆,关键在如何确定复数z1-z2对应点的图形(轨迹)。

记z=z1-z2,由复数模的三角不等式得：

|z-(-6+2i)|=|(z1-2i)-(z2-6)|≤|z1-2i|+|z2-6|=4。

另一方面|z-(-6+2i)|=|(z1-2i)-(z2-6)|≥||z1-2i|-|z2-6||=2。

故2≤|z-(-6+2i)|≤4,等号都能取得,z对应点Z的轨迹是一个外径为4内径为2的圆环,面积为12π。