点击二项式定理中的数学方法

■江苏省盐城市时杨中学

一、求展开式中某些特定项的系数或项，常用通项分析法

例1(2019年天津卷理数第10题)的展开式中的常数项为____。

分析：根据二项式的展开式的通项进行计算,然后令x的指数为0,即可得到r的值,代入r的值即可算出常数项。

解：由题意可知,此二项式的展开式的通项为：

当8-4r=0,即r=2时,Tr+1为常数项。

故答案为28。

点评:本题主要考查二项式的展开式的通项,通过通项中未知数的指数为0可算出常数项。

练习1：(2019年上海卷)已知二项式(2x+1)5,则展开式中含x2项的系数为_____。

解析x5-r,令5-r=2,则r=3,含x2项的系数为

二、赋特殊值法

在求展开式中的各系数之和及某些组合数之和时,取特殊值是一种非常有效的方法。

例2若求(a0+a2+…+a2004)2-(a1+a3+…+a2003)2的值。

分析：令x=1,x=-1,代入得出结论。

解：f(x)=a0+a1x+a2x2+…+a2003x2003+a2004x2004。

则(a0+a2+…+a2004)2-(a1+a3+…

点评:这类题的常用解法是赋值代入,多项式f(x)的各项系数和为f(1),再分别找出奇数项系数和、偶数项系数和。

练习2：已知展开式中常数项为1 120,其中实数a是常数,则展开式中各项系数的和是_____。

解析

令8-2r=0,则r=4。

当a=2时,令x=1,则(1-2)8=1；当a=-2时,令x=1,则(1+2)8=38。

故展开式中各项系数的和是1或38。

三、函数方程方法

已知展开式中若干项系数的关系,求指数n及二项式中参数的值可利用展开式中的通项,依据题意建立方程得以解决。

例3(2019年江苏卷)设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,n≥4,n∈N*。已知

(1)求n的值；

分析：(1)运用二项式定理,分别求得a2,a3,a4,结合组合数公式,解方程可得n的值。

(2)方法一,运用二项式定理,结合组合数公式求得a,b,计算可得所求值；方法二,由于a,b∈N*,求得,再由平方差公式,计算可得所求值。

解：(1)由

点评:本题主要考查二项式定理、组合数公式的运用,也考查同学们的运算能力和分析问题的能力。

练习3：设f(x)=(1+x)n+(1+x)m(m,n∈N*)展开式中x的系数和为19,求f(x)中x2项系数的最小值。

解析：由题意知m+n=19,n=19-m。

x2项的系数为：

由于m∈N*,因此,m=9或m=10时,x2项的系数最小,最小值为81。

四、逆用定理

例4设a0、a1、a2、…an-1、an成等差数列,求证

分析：因为在等差数列{an}中,有性质：距首末两端“等距离”的两项的和相等,即：a0+an=a1+an-1=a2+an-2=…=ak+an-k=…；在二项式展开式中,距首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即由于式子结构对称性的存在,在解决一些有关组合等式问题时,常逆用定理。

证明：令也有