基于LMI方法的网络化保性能PID控制①

刘义才 刘 斌 高 俊

(*武汉科技大学信息科学与工程学院； 冶金自动化与检测技术教育部工程研究中心 武汉 430081) (**武汉商学院机电工程与汽车服务学院 武汉 430056)

0 引 言

网络控制系统(networked control systems,NCSs)是由控制器、传感器、执行器等部件通过通信网络连接构成的闭环系统。与传统的控制系统相比，网络控制系统具有接线少、成本低、便于安装和维护等优点[1-3]。然而数据在带宽有限的网络中进行传输时，受到网络协议类型、负载变化等因素的影响，不可避免的会产生网络时延和数据丢包，这将会引起系统性能下降甚至破坏其稳定性，因此目前它成为NCSs分析和设计考虑的基本问题之一[4，5]。针对网络时延和数据丢包所带来的问题，近年来许多学者对此做了广泛研究，分别采用了时滞系统分析方法[6,7]、异步动态系统分析方法[8,9]、随机系统分析方法[10, 11]、预测控制分析方法[12, 13]、切换系统分析[14, 15]等方法来解决，给出了保证系统性能或者稳定的条件。

跟踪控制是指在给定跟踪性能的要求下，使被控对象输出或状态尽可能紧地跟踪预定的参考轨迹，同时系统的稳定性也可以看成跟踪控制问题的一种特例。跟踪控制普遍存在于工业、生物和经济等领域的动态过程中，并广泛应用于机器人、导弹跟踪控制以及飞行姿态的跟踪控制。但是由于NCSs的时延和数据丢包的通信约束，其反馈控制信号会导致输出误差，因此在NCSs中实现期望的跟踪性能更具挑战性。预测控制[16,17]、自适应控制[18]、以及鲁棒H∞控制[19,20]等方法常被用来实现网络控制系统中的输出跟踪问题。然而在工业应用中，比例积分微分(proportional integral derivative, PID)控制是现阶段最普遍和最流行的控制策略，因此基于现有的PID控制系统的改进，以适应网络通信的约束将会更有现实意义。因此，文献[21]基于标准增益和相位裕度，研究了一阶和二阶时滞NCSs的PID和PI控制。在文献[22]中，针对存在未知网络时延的直流电动机系统，提出了一种基于双线性矩阵不等式(linear matrix inequality，LMI)的特定PI调节器设计方法。文献[23]将PID控制器设计问题转化为静态输出反馈控制器问题。文献[24]结合了静态输出反馈和鲁棒H∞跟踪控制的特点，设计了鲁棒H∞ PID控制器。

随着工业过程不断地发展,实际应用中出现的被控对象越来越复杂,因此导致了系统模型的阶数也越来越高,这也造成了计算难度的增大以及控制成本的增加。因此模型降阶理论一直都是热门研究领域。自1966 年 Davison提出模型降阶思想后的几十年来，针对高阶线性时不变单输入单输出(single input single output， SISO)系统或多输入多输出(multiple input multiple output， MIMO)系统模型，国内外学者和专家提出了大量有效的关于模型降阶的方法，例如最小实现、集结法、摄动法、模态近似法、Padé逼近法、矩阵匹配法、平衡理论法等。他们通过对实际中存在的难以控制的高阶对象进行降阶处理,以简单的低阶模型来替代实际的高阶对象,从而降低设计控制器的难度,提高控制效果和精度。另外，由于许多工程和工业过程可以被直接建模为二阶传递函数，因此受上述研究的启发，本文针对具有双边时变时延和数据丢包的NCSs，采用了状态反馈的增广状态空间模型重新描述了具有典型二阶传递函数形式的控制对象和PID控制增益，同时利用时滞系统的分析方法，在考虑时延和丢包特点的基础上，将PID跟踪控制器参数选择归结为LMI求解问题。文章最后通过仿真示例和实验验证了本文所提方法的有效性。

1 问题描述及系统模型

针对高阶系统模型，可通过模型降阶法将其进行降阶处理，从而获得等效的二阶系统模型。所获得的典型二阶被控对象传递函数模型可描述为

(1)

其中，a0，a1，b1，b0为标量常数。

将传递函数式(1)转换为空间状态模型式(2)。

(2)

(3)

图1所示为存在双边时变时延的网络控制系统，其中r(t)为参考输入，对该系统作如下合理假定：

(1) 传感器采用时间周期为h的驱动模式；

(2) 执行器和控制器采用事件驱动，即当新的数据到达节点时，立即执行相关操作；

图1 典型的网络控制系统结构图

如图2所示，考虑双边网络诱导时变时延和丢包的影响，传感器采样x(tkh)将会在时刻tk+1h+τk+1到达执行器。

定义τ(t)=t-tkh,t∈[tkh+τk,tk+1h+τk+1)为零阶保持器的保持时间，考虑系统时延和连续丢包，则有：

因此反馈控制律可重新表述如下：

(5)

对于被控系统式(5)，定义二次性能指标：

(6)

针对网络控制系统中的时变时延和数据丢包影响，本文的目的就是要采用LMI方法设计一个PID控制律实现轨迹跟踪，且其二次性能不能超过一个确定的上界。

图2 信号时序图

2 网络化PID控制稳定性分析

引理1互逆凸组合方法(reciprocally convex approach)[25]：假设f1,f2,…,fN:Rm→R在开集D的子集中有正值，D⊂Rm。那么在集合D中fi的相互组合满足：

(7)

Ξ1=

(8)

Ξ2=

(9)

证明：构建Lyapunov-Krasovskii函数。

其中，V1(t,xt)=xT(t)Px(t),

对其求导，可得：

(10)

(11)

(12)

(13)

继续对式(12)中的积分部分采用Jensen不等式，可得：

(14)

(15)

若存在矩阵U满足式(7)，对式(15)采用引理1 ，可得：

(16)

(17)

应用柯西不等式可得：

(18)

综合式(7)～式(18)有：

(19)

(20)

3 网络化PID控制器设计

(21)

(22)

(23)

证明：对式(8)采用舒尔补引理, 可得式(24)。

(24)

(25)

然后对式(25)采用舒尔补引理可得式(26)。

i=1,2 (26)

引入XN,R1N,R2N,L1N和L2N，则式(26)可重新写成式(27)和式(28)。

i=1,2 (27)

(28)

因此定理2可行解的问题转化为以下LMI最优化问题：

subjectto式(21)～式(23)和式(27)得：

4 数值仿真与实验

4.1 数值仿真

首先通过设计数值仿真示例来验证所提算法的有效性。控制对象采用Quanser公司的直流伺服电机驱动模型，网络采用基于Matlab/Simulink的Truetime工具箱模拟实现。

图3所示的是直流电机电枢回路和齿轮传动的工作原理，可建立其电机输入电压Vi和负载转动角θl的传递函数形式：

为2个，则τ(t)∈[10, 160) ms，同时PID控制器采用传感器采样周期时间进行离散化。考虑系统丢包最坏的情况，即每3个数据包中连续丢包2个，数据传输序列为…100100100…，1代表数据包成功传输，0代表丢包。

图3 直流伺服电机电枢回路和齿轮传动的原理图

表1 不同二次性能指标参数下的PID控制器以及对应的直流电机阶跃响应性能指标

图4 不同二次型参数下所对应直流伺服电机的阶跃响应曲线

进一步考虑文献[28, 29]中采样周期为0.04 s的四阶离散系统模型。它是由直流电机、负载板、速度和角度传感器组成的伺服电机控制系统，其模型传递函数为

采用双线性变换可得对应的连续传递函数

G(s)=

继续采用Padé逼近法进行系统降阶处理，可得典型结构的二阶系统形式：

4.2 实验

根据数值仿真中的第一个示例，采用Quanser公司提供的基于Matlab/Simulink通信模块构建了真实的网络化直流伺服电机控制系统。如图6所示，台式计算机(PC1)通过网线接入实验室所在楼层的局域网，笔记本电脑(PC2)作为控制器通过无线Wi-Fi接入。通过ping命令获取PC1到PC2的网络时延值大小，如图7所示，其时延值绝大部分分布在20 ms以下，基本符合仿真中给出的假设条件。

图5 直流电机不同系统模型下的阶跃响应曲线

图6 网络化直流伺服电机控制系统

图7 本地局域网中的网络时延

在图6中，PC1与驱动板构成执行器模块驱动直流伺服电机转动，并且与数据采集卡构成传感器模块获取电机的位置信息。采用UDP网络通信协议，PC1通过网络向控制器(PC2)发送和接收信号，并将信号发送给伺服系统。考虑电机在转动过程中存在一定的机械摩擦等因素，因此在实验中选取了表1中的第3个PID控制器参数。实验结果图8给出了在控制器PC2端得到的直流伺服电机角度位置跟踪响应曲线。

图8 直流伺服电机位置跟踪响应曲线

5 结 论

本文针对实际工程和工业过程具有二阶传递函数的对象，将PID跟踪控制器参数选择归结为LMI求解凸优化的系统稳定性问题，实现了网络化PID跟踪控制。针对高阶系统对象，可事先对系统对象模型进行降阶，进而采用本文所提的方法进行处理。文章最后通过数值仿真，证明了本文所提方法的有效性。并在伺服电机系统上进行验证, 达到了对给定的参考方波信号快速平稳跟踪的效果。