基于主成分-逐步回归分析法的瓦斯涌出量预测研究

孙建华，张志立，石 茜，赵 阳，魏春荣

(1.黑龙江科技大学 矿业工程学院，黑龙江 哈尔滨 150022；2.黑龙江科技大学 安全工程学院，黑龙江 哈尔滨 150022)

矿井瓦斯是严重威胁矿井安全生产的因素之一，为此，矿井进行瓦斯涌出量预测是煤矿安全生产十分重要的工作，不仅能够有效预防瓦斯超限、爆炸等事故的发生，而且对于指导矿井通风系统设计，进行瓦斯抽采和防突工作有重要意义。矿井瓦斯涌出量预测方法可分为3类[1-4]：①建立在数理统计基础上的矿山统计法；②以煤层瓦斯含量为基本预测参数的瓦斯含量法；③瓦斯地质数学模型法。

影响矿井瓦斯涌出量的因素众多[5，6]，而传统的矿山统计法的预测方法主要是根据煤层瓦斯涌出量随着开采深度增长的规律，运用线性回归方法建立煤层瓦斯涌出量与开采深度的一元回归模型，缺点是由于影响因素的丢失会造成预测结果的误差增大；如果考虑众多影响因素，建立多元回归模型[7]，虽然合理，但是这些影响因素之间就会有高度的多重共线、自相关性等现象，在多元线性回归分析中，这种变量的多重相关性常会严重影响参数估计，破坏模型的稳定性[8，9]，造成模型误差增大，从而导致整体的拟合度很大，但个体参数估计的t系统量很小，无法通过检验。

主成分分析是将多指标化通过降维处理，用少数几个综合指标替换原来众多变量的一种统计方法，这几个综合变量不但能够保留原始变量的众多信息，同时使变量之间互不相关。主成分提取完毕，建立提取出的主成分与因变量之间的模型，考虑到不是所有提取的主成分与因变量之间都有显著的关系，因此选取逐步线性回归的方法，这样能够在保留重要变量的同时去除不显著的变量。

逐步回归主要是利用逐个的引入自变量，在每一次引入的时候，选择对因变量影响最显著的自变量，然后对方程中的每一个旧的变量进行显著性检验，保留下显著的变量，把不显著的变量一步一步的从方程中去除掉，并且每一次对拟合优度R进行检验，如果拟合优度减小那么就去除所引入的变量，这样最后所得到的方程能够满足既不漏掉对因变量影响显著的变量，又不包含对因变量影响不显著的变量，这样能够从多个的变量中选出来最好的模型，对变量进行求解[10]。

针对一元回归模型和多元回归模型预测过程中存在的问题，鉴于主成分分析和逐步回归分析方法的优点，将主成分分析方法与逐步回归分析方法相结合，来建立瓦斯涌出量回归预测模型。组合后的主成分-逐步回归方法不但可以解决传统矿山统计法中影响因素单一的问题，而且还可以解决多元线性回归中因素相关性问题。

1 主成分-逐步回归分析

1.1 主成分分析步骤

1.1.1 标准化

在对所建立的主成分模型求解的过程中，考虑到各个变量之间有不同的量纲，不同的数量级单位，不同的取值范围，当放在一起进行比较时会导致结果的不准确，因此，在数据处理之前，先对数据进行变换处理[11-13]：

(i=1，2，…，n；j=1，2，…，m)

(1)

(i，j=1，2，…，p)

(2)

1.1.2 计算协方差矩阵

1.1.3 求出Σ的特征值λi及相应的特征向量ai

1.1.4 主成分的选择与计算

主成分：设Z=a1X1+a2X2+…+apXp=α′X，其中α=(a1，a2，…，ap)′，X=(X1，X2，…，Xp)′。主成分是指选取使α′X相应的方差尽可能大的线性函数，即：Var(α′X)=E(α′X-E(α′X))(α′X-E(α′X))=α′E(X-E(X))(X-E(X))′α=α′∑α达到最大值，且α′α=1。

经过数学推导可以证明：X1，X2，…，Xp主成分就是以Σ的特征向量为系数的线性组合，他们互不相关，其方差为Σ的特征根。由于Σ的特征根λ1≥λ2≥…≥λp≥0，所以有Var(Z1)≥Var(Z2)≥…≥Var(Zp)≥0。

1.2 逐步线性回归步骤

1)对各自变量进行回归分析，计算出y与Z1，Z2，Z3，Z4之间的样本拟合优度R2。

2)对每一个Z1，Z2，Z3，Z4按照R2的大小进行排列。

3)选取R2最大的建立回归分析模型：

引入R2第二大的变量Zi进行回归分析，建立模型：

若R1

4)反复的重复步骤3，直到所有的变量Z1，Z2，Z3，Z4全部被筛选一遍，则计算结束[10]。

2 基于主成分-逐步回归分析的瓦斯涌出量预测

2.1 工作面瓦斯涌出量影响因素的参数选取

以峻德煤矿30#煤层回采工作面为实例，经过参考相关资料及现场调研分析[14，15]，最终确定影响30#煤层回采工作面的瓦斯涌出量的影响因素为：30#煤层瓦斯含量、30#煤层厚度、煤层埋深、煤层倾角、工作面长、采出率、邻近层层间距、邻近层瓦斯含量、邻近层厚度，共计9个影响因素，分别标记为x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8、x9。通过汇总并进行筛选30#煤层回采工作面瓦斯涌出量参数情况见表1，其中前16个回采工作面数据用于建立预测模型，后4个回采工作面数据用于验证预测结果。

表1 30号煤层回采工作面影响因素参数及瓦斯涌出量统计

2.2 主成分分析

1)标准化。由于影响煤层瓦斯涌出量因素众多且变量之间的量纲不同，故对上述数据运用Matlab进行标准化处理，经处理后的数据见表2。

表2 标准化后的数据

2)计算标准化后数据的协方差阵及其特征值。用Matlab计算标准化数据的协方差矩阵如下：

经过Matlab计算后可以得到协方差矩阵的特征值为：(0.606，0.211，0.101，0.067，0.034，0.026，0.013，0.006，0.002)。

3)主成分的选取与计算。由于9个主成分没有起到减少变量的作用，因此，处理数据的时候考虑主成分的贡献率，将主成分从大到小进行排列，当主成分的累计贡献率达到90%以上的时候认为提取的变量比较好。将标准化后的数据用Matlab软件进行主成分分析，结果见表3，从表3可以看出，当提取前4个主成分的时候，累计贡献率达到92.4%，已经涵盖大量的原始数据信息，可用其代替原始数据进行下一步计算。

2.3 逐步线性回归分析

经过主成分提取，将原来的9个变量处理为现在的4个变量，考虑可能不是所有的自变量对因变量都有显著的影响，而实际中需要选取对因变量有显著性的变量，由于4个变量的显著性未知，故可以采用逐步回归分析法对4个变量进行显著性筛选。采用SAS计算，计算结果见表4、表5。

表3 回采工作面前4个主成分一览表

表4 方差分析结果表

注：输入变量Z3：R2=0.9861和C(p)=3.3971。

表5 自变量分析表

在对模型进行逐步线性回归的时候，用Y表示因变量，用Z1，Z2，Z3，Z4表示各个自变量对Y进行逐步线性回归。逐步回归方程的检验：

1)R检验：逐步回归分析所得到R2=0.9801，而R2越接近于1，则说明模型的拟合程度越好，因此本模型的拟合程度是比较好的。

2)F检验：在利用F检验判断模型回归方程显著性的时候。经查表得到F0.05(3，12)=7.23，由于F=284.69>>7.23=F0.05(3，12)，所以经过F检验可以说明回归方程在α=0.05程度上是显著的。

3)T检验：对各个变量进行T检验，经过查表可以得到t0.05(14)=2.145，而t0=5917，t1=785.41，t2=47.65，t3=20.93，远远大于t0.05(14)=2.145，因此各个变量在α=0.05显著水平上是显著的。

经过上面的三种检验可以说明，该模型的回归方程是比较好的，可以用来进行预测。

因此求得瓦斯涌出量回归预测方程为：

Q=4.70442+0.72879Z1+0.31919Z2+

0.32973Z3

(5)

式中，Q为瓦斯涌出量，m3/t；Z1、Z2、Z3为主成分。

2.4 主成分-逐步回归分析方法的检验及应用

采用式(5)回归预测方程，对30#煤层922采煤队进行瓦斯涌出量预测验证，其相对误差见表6。

表6 922采煤队所采工作面瓦斯涌出量真实值与预测值的误差分析表

由表4可以看出，主成分-逐步回归分析法预测922采煤队工作面瓦斯涌出量的最大相对误差为5.2%，预测精度明显高于一元回归预测和多元回归预测，在误差允许范围内。因此采用主成分分析法对影响瓦斯涌出量的因素进行筛选，然后运用逐步回归分析进行优化选取，建立瓦斯涌出量回归预测模型，能够较好地对矿井瓦斯涌出量进行预测。

3 结 论

1)影响回采工作面瓦斯涌出量的原始参数共9个，通过主成分分析，最终选择前4个主成分分量进行回归分析预测。既有效地减少了需要考虑的变量个数，降低了问题维数，又尽可能多地反应了原始参数的信息，并且各分量间彼此相互独立，为建立回归预测方程奠定了基础。

2)基于得到的主成分分量，通过逐步线性回归分析法，建立了瓦斯涌出量预测模型，对峻德煤矿30#煤层进行瓦斯涌出量预测，预测结果表明，主成分-逐步回归分析方法预测准确性较高，预测精度明显优于一元回归预测和多元回归预测，具有较好应用前景。