数学到底学什么

郭玉峰

我国数学教育有着悠久的历史，早在奴隶制社会就开始萌芽，从西周的礼、乐、射、御、书、数（数即指数学），到20世纪明确数学工具性学科的定位，再到现在数学与其他各领域不断渗透和融合，数学的地位和作用不断提高，数学教育的功能和定位也随之变化。当今时代，如何更好地理解数学教育的本质，帮助孩子感受数学的魅力，而非局限于狭隘的功利主义？这是本文希望探讨的问题。

数学教育的三大功能

理解数学教育的本质，离不开对数学教育功能的探讨。基于数学学科背景、当今数学课程改革动向、学生培养目标等方面，笔者认为数学教育有以下三大功能。

帮助学生掌握数学基础知识和基本技能。在古代，人们只需要会读、写、算，就能满足基本的生存和生活需要。后来，随着信息量的增加以及社会文明程度的提升，人们需要传递知识、锻炼技能，需要具备掌握知识和技能的能力，以及具有推动社会进步和文明发展的创新能力。进入21世纪，信息化社会对创新能力的要求越来越高。但无论如何，数学基础知识和基本技能是上述能力发展的先决条件。

对于数学基础知识和基本技能，我们需要与时俱进地去认识和理解。第一，数学基础知识和基本技能的内涵随着时代的发展不断变迁。纵观数学大纲（或课程标准）的历史演变，关于数学基础知识、基本技能内涵的认识是不断发展的。例如：1963年的数学教学大纲明确提出了数学基础知识、三大数学基本能力的教学要求;1986年的数学教学大纲明确区分了能力和技能;1992年的数学教学大纲则明确阐明了数学基础知识、数学基本技能的含义——数学基础知识是“概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法”，数学基本技能是“能够按照一定的程序与步骤进行运算、作图或画图、进行简单的推理”。而现在的数学基础知识的内涵又有所调整，数学思想和方法不再属于数学基础知识的范畴。第二，此时的数学基础知识未必是彼时的数学基础知识。例如学会查对数表、三角函数表等内容在现在的中学数学中已不做要求。第三，学生仅凭机械记忆和大量重复演练获得的数学基础知识和基本技能只是暂时的，不可能让他们受益终身，甚至会扼杀他们数学学习的好奇心和积极性。学生掌握数学基础知识需要建立在对数学本质把握的基础上。

帮助学生感悟数学的基本思想。数学基本思想指数学发展所依赖的基本思想，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模。如果说，数学基础知识和基本技能提供了学生成才的养分，数学基本思想的感悟则是学生成才的动力和源泉。

数学是抽象的，这是数学的第一个特点。学过数学的人和没有学过数学的人很重要的区别是：能否从现实背景、错综复杂的现象中抽象出数学的研究对象;能否从研究对象的不同特性中抽象出共同的本质属性，进而得到数学的概念;能否从研究对象中发现变化中的不变，抽象出共同的规律和性质，进而得到数学的公理、定理和性质等;能否从抽象得到的数学概念、公理、定理、性质、公式、法则等进一步抽象出数学的结构，反映一类问题的特性等。学生感悟数学抽象，学会用数学的眼光看世界，无疑有了一双发现的眼睛，在定量化研究现实世界的路上迈出了第一步。

数学是有逻辑的，这是数学的第二个特点。学生感悟数学逻辑推理，包括从特殊到一般，或借助类比猜想数学结论，也包括借助反例、反证、演绎推理验证或证明猜想出的数学结论。数学推理也是有逻辑的，需要在一定的逻辑起点基础上，遵循逻辑思维的规律进行有顺序、有逻辑的推理。学生感悟数学逻辑推理，养成逻辑思考的习惯，无疑打开了探究和发现数学内部世界奥妙的大门。

数学的应用是广泛的，这是数学的第三个特点。学生经历和感悟数学建模的过程，是将现实世界提炼、抽象为数学的模型表达，也是将数学模型进行推理后得到的数学结论运用于现实世界的过程。当数学离现实世界越来越远的时候，它的生命力就会减弱。学生感悟数学建模的过程，让神秘的数学世界回归现实生活，增强了对数学本质的理解和认识，也为未来创造性地运用数学、沟通数学与外部世界的联系奠定了基础。

数学抽象、逻辑推理、数学建模是数学发展所依赖的基本思想。感悟数学基本思想，感悟数学知识的由来、发展和应用，进而真正理解数学知识的本质和关联，是数学学科学习带给学生受益终身的经历和体验。

帮助学生积淀数学思维的经验和实践活动的经验。数学思维的经验和实践活动的经验统称为数学基本活动经验，这是当今数学课程目标之一。如果说数学基础知识和基本技能的掌握是外显课程目标，数学基本思想的感悟和数学基本活动经验的积淀则更多是隐性课程目标。学生学习数学，经历数学抽象、逻辑推理、数学建模等数学活动过程，同时积淀形成数学思维的经验和实践活动的经验。如同“冷”“热”“疼”“痛”等感觉需要本人的亲身体验，学生数学基本活动经验的积淀需要本人的亲身经历和感悟，无法通过训练或他人的传递短期内获得。实践活动的经验对应于当前数学课程中“实践与综合应用”或“数学建模与综合实践活动”课程内容，是从外部世界抽象出数学再将形式化数学用于外部现实中获得的经验，包括设计、规划、组织、协调等经验。日本数学家米山国藏曾说过，所有学习过的东西遗忘后留下的唯有数学的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地发生作用。知识和技能可能会遗忘，最终留下来的是受益终身的数学基本思想和数学基本活动经验。

如何激发学生学习数学的内驱力

以上，我们讨论了数学教育的功能，论述了数学教育带给学生终身受益的东西，这也是数学教育的应然状态。然而，现实学校教育背景下，学生往往感受不到数学的无穷魅力和神奇力量，认为数学抽象难懂、脱离实际，数学学习是一件枯燥乏味、令人焦虑的事情。如何改善这种状况？以下，笔者从激发数学学习内驱力这一角度给出两条建议。

第一，建立学生科学的数学思维方式，真正理解数学的本质。前文三个教育功能实现的前提是逐步建立学生科学的数学思维方式，从本质上理解数学，这也是提高学生数学学习成绩、培养学生数学学习兴趣的根本。如何帮助学生建立科学的数学思维方式呢？笔者认为有这样几个关键：从观察联想入手，浮想联翩，学会发现数学问题;借助归纳和类比进行数学猜想，学会提出数学问题;在猜想基础上进行反驳或演绎证明，学会分析和解决数学问题。这是一个系统工程，在不同阶段有不同的侧重，需要逐步养成，并逐步帮助学生整体看待不同数学知识内容之间、数学与其他学科之间、数学与外部世界之间的联系。

第二，激发学生数学学习的兴趣和内驱力，感受数学的魅力。学生的数学学习的動因应该是发自内心的喜欢和研究数学的心理倾向，而不仅仅是成绩、荣誉等外在推动力。数学教育需要激发学生数学学习的内驱力——从对某个数学知识内容孜孜不倦的探究，到不达目的不罢休、持之以恒把问题研究清楚的决心和毅力，再到如痴如醉徜徉于数学知识乐园的愉悦的体验。当然，因为学生个体的爱好和兴趣以及先天基因的不同，数学教育需要因材施教，尊重学生的个体差异，引导学生感受数学的魅力。

总之，数学教育的根本是建立学生科学的数学思维方式，帮助学生理解数学的本质和感受数学的魅力，这是一个长期的过程，需要从小逐步建立和养成。学生数学焦虑产生的根源之一往往是在没有学会数学思考的时候，就开始了大量的机械记忆和重复演练，学生失去了数学学习的好奇心和乐趣，同时产生数学焦虑。这个问题不解决，学生难以发自内心地喜爱数学，从长远看，更影响了数学学科的发展和社会的进步。

（作者单位：北京师范大学数学科学学院）

责任编辑：王梦茜