指向高阶思维发展的数学深度学习

金怡婷

【摘要】学生的思维状态决定着学生学习的效能.发展学生高阶思维是当前数学教学的应有之义.高阶思维具有深刻性、严谨性、灵活性、批判性、创造性等特点.本文结合课例“因数和倍数”，通过把握高阶思维的特点，从促进深度体验、推动深度认知、引领深度探索、发展深度交流、拓延深度实践入手，在深度学习中实现低阶思维向高阶思维的转变.

【关键词】高阶思维;深度学习

随着数学课程改革逐步深入，数学核心素养框架逐步明确，数学思维的培养已经成了课堂教学的重点.布鲁姆的教学目标分类理论把认知目标分为六个子类：记忆、理解、应用、分析、评价、创造.其中，前三者是较低层次的认知水平，属于低阶思维;而对知识的分析、评价和创造是较高层次的深层认识，属于高阶思维.因此，面对数学教学理念的不断升级，把握高阶思维的特点可以促进深度学习的产生与发展，从而提升数学教学品质.本文结合苏教版数学五年级下册“因数和倍数”的教学实例，阐述如何通过推动学生深度学习，促进高阶思维发展的一些做法和思考.

一、促进深度体验，培养思维的深刻性

深度学习是一种高投入的沉浸式学习.知识的学习需要经历还原与下沉，学生通过生活化的情境可以感受知识的来龙去脉，可以了解知识的产生过程，进而抓住知识的本质和规律，加深对知识的理解.并且，深度学习从一开始就应该是自发的、主动的、积极的加工过程，这就需要教师巧妙设置情境，趣味引入问题，让学生集中注意力，以最快的速度、最佳的状态投入到学习中，进而深入思考问题.

在课堂导入的教学环节中，笔者设置了用12块正方形地砖铺长方形地面的情境（课件显示杂乱排列的12块小正方形地砖），随后用卡通形象提問：“我有12块同样大小的正方形地砖，你能铺出一块长方形的地面吗？想一想，准备怎么铺？铺出的长方形是怎样的？”学生回答：“可以每排铺4块，铺3排.”“每排铺6块，铺2排.”“12块铺成1排.”

因数和倍数的概念是抽象的，但在“铺长方形地面”的情境中却是真实而实在的.将抽象的概念与生活实际相联系，与具体的图形产生关联，学生虽然此时并不明白因数和倍数与拼成的长方形有着怎样的关系，但在思考长方形的形状并对其进行描述的过程中，学生对概念的认知发生了从无到有的变化，意义建构正在悄然发生.通过这样的巧妙导入，学生对因数和倍数的概念产生了初始的认识.紧接着，教师提问：“你能用乘法算式表示吗？”这样便将学生的思维从浅显引向深入，学生发现原来长方形的形状是可以用乘法算式来表示的，从生活化到数学化，从图形化到算式化，实现了数学体验的深入，伴随着思维走向深刻.由“形”到“数”，由表及里，体验愈深，思维愈深.

二、推动深度认知，培养思维的严谨性

数学是一门严谨的学科，其概念表述、实验操作、逻辑推理、归纳演绎等都呈现出规范性与科学性的特点.这样的严谨并非严苛，而是对知识本质的强调凸显以及知识关联间的强化.在数学教学中，教师可以有意识地加强学生对概念或知识本质的理解与内化，加深对概念的认知，培养学生思维的严谨性.

“因数”和“倍数”概念的严谨性体现在两个方面，一是研究范围一般是在非0自然数内进行，这一点只需在介绍概念时简单指出即可，无须加以讨论;二是因数和倍数是描述自然数之间关系的概念，客观存在于两个具体的自然数之间，两者相互依存，并不能离开其中任何一个数去谈因数和倍数.在教学因数和倍数概念时，笔者先以“3×4=12”这个算式为例，讲授因数和倍数的概念，并用剩下的两个算式“6×2=12”“12×1=12”来进行训练，加深学生对概念的认识.

因数和倍数概念严谨性教学的难点：即使学生充分体会因数和倍数相互依存的关系，充实对概念的体验，笔者在教学时将这种依存关系分解成了两道口答题：（1）4是8的（ ），4是2的（ ）.（2）有人说“6是因数，12是倍数”，这样的说法对吗？第一道口答题意在让学生体会“同一个数既可以是一个数的因数，也可以是另一个数的倍数”，到底是因数还是倍数并不是固定不变的，而是随它和另一个数的关系发生变化.有了第一道口答题作为铺垫，第二道口答题便显得水到渠成.学生发现在表述因数和倍数这两个概念时，必须说清楚谁是谁的因数、谁是谁的倍数，也就是必须用完整的语句来表述因数和倍数这两个概念是相互依存的.在对概念的深化理解中，培育了学生思维的严谨性.

三、引领深度探索，培养思维的灵活性

高阶思维的培养需要独立学习与合作学习的共同作用：它产生于高质量的个体独立学习中，但高质量的独立学习又离不开复杂情境或者说是“复杂任务导向”.合作学习有助于思维的碰撞与发散，学生在“学习共同体”中可以提升其思维品质.思维的灵活性是指能从不同角度、方向出发思考问题，能用多种方法来解决问题.灵活地掌握和理解知识以及应用这些知识解决问题是深度学习的重要内涵.当学习的探索活动走向深度，独立学习与合作学习交替进行时，学生的思维自然灵活起来.

（一）复杂任务导向

从“低阶思维”到“高阶思维”离不开学习者个体的深思，重视学生主体的自觉自悟，提倡在任务引领下经历知识的发生过程，能促进思维的转化过程.同时，任务的复杂性、时间的充分性更有助于思维的灵活发展.

教材中例2“找出36的全部因数”就是一个复杂任务.学生通过例1刚刚建立起因数的概念，此时马上转入找一个数的全部因数，并且这是一个相对比较大的数.不可否认，这是有一定难度的.但在实际教学中，我们会惊喜地发现这个难度恰可以激活学生的思维：通过抓住因数的概念可以得出“凡是乘积为36的两个自然数，都是36的因数”，这就是“辣椒”卡通的想法;如用乘法算式表示，就是“蘑菇”卡通的想法;部分学生还能在除法算式里看出因数与倍数的关系，就像“萝卜”卡通那样思考;还有学生结合乘、除法的关系来找，“如果一个乘数是2，另一个乘数是36÷2=18，……”假使把36换成20，降低了难度，学生可以直接由表内乘法找到20的全部因数，那么上述的后两种想法可能也会随之消失.

（二）“学习共同体”

深度学习倡导在平等、互利和公开的基础上建立“学习共同体”，强调合作学习、共同学习.当学生积极地一起学习时，他们可能将承担起更高的挑战，激起多角度的思考，将探索活动推向深度.

在学生完成“36的因数”的自主探索后，我找了几份有“代表性”的作品，让“作者”分别说说是怎样找到36的全部因数的.“作者”把想法“输出”，听众把想法“输入”.接着，让学生自主评价“你喜欢谁的作品？说说你的理由.”在分析、比较、评价中逐步形成了找法的优化，传递了有序的数学思想，推动探索的深度发展，助力发散思维与聚敛思维的并行推进.

四、发展深度交流，培养思维的批判性

“深度”是建立在完整而深刻的处理和理解知识的基础之上的.深度学习的过程并不是一蹴而就的，它是一个逐步深化的学习过程，在这个过程中必定有曲折、有阻碍、有分歧.交流是引导学生对知识进行深度加工的重要工具，交流中的争辩是无可厚非的，也只有经历这样的争辩才能巩固对知识本质的掌握，才能对知识进行深度加工.与此同时，这样深入的交流也会使学生的批判性思维在慢慢生长.

在探究“一个数因数的特点”时，笔者通过“一屏展示”的方式，即把先前在探索“找一个数的因数的方法”教学环节中涉及的找36、15和16的因数的结果有意识地将它们设计在一张课件中显示，意在让学生通过观察这些数的因数，进而产生比较，发现一个数因数的特点.由于材料的特殊性与局限性，大部分学生的第一反应是“一个数越大，它的因数个数就越多”，但显然这并不正确.笔者在备课过程中也曾思考通过改变素材从而尽量避免这样的错误结论.但如果事事“一帆风顺”，处处出于刻意，那课堂是不是就尽由教师掌控，失去了应有的生机与趣味？因此，笔者在课堂上没有特意回避这个问题，相反展开了追问：“6的因数有几个？”“4个.”“7比6大，7的因数有几个？”“2个.”“大的那个数因数反而少了，你的结论还正确吗？”“不正确.”简单的一个例子，学生豁然开朗.值得一提的是，在有的班级上课时，这样的追问出自于学生自己.当学生开始反思自己的问题、开始对同伴提出异议时，批判性思维由此开始生长.这样的问题还有：有学生认为“单数的因数有双数个，双数的因数有单数个.”很快就被其他同学给否定了，因为他們发现“6的因数有4个.”交流在走向深入，思维在发生碰撞.故意营造的“障碍”，适切适时的“追问”，能够让学生的学习过程变得主动热烈，将师生、生生间的交流引向深层次，将学生对知识的“浅表认识”推向“深层认识”，实现批判性学习.

五、拓延深度实践，培养思维的创造性

深度学习要求学习者在对知识本身获得深度理解的基础上，力图将它们迁移到不同的情境中，以解决现实问题.其本质是在对知识高度概括基础上进行新颖组合后的系统迁移，在迁移过程中离不开学习者思维的创造性.因此，在教学中，我们要适度放大知识的运用、拓宽知识的外延、挖掘知识的内涵，创设具有深度的情境场域，给予学生充分的思维空间，以实现实践之外的深度拓延，培养学生的创造性思维.

在练习应用的最后环节，笔者采用了学生喜爱的游戏方式设计了名为“谁中奖啦？”的活动.游戏规则如下：每个学生有一个数牌（自然数1-50），课件显示一个数，如果谁数牌上的数是课件上数的因数或倍数，那么谁就中奖了.如果数牌上的数是课件上数的因数，就获得奖品A;是倍数，就获得奖品B.游戏共分三轮：第一轮课件显示8;第二轮课件显示11;第三轮课件显示1.

第一轮游戏过后，学生除了能迅速反应，给出给定数的因数和倍数并完整地进行表述外，还发现“如果数牌的数和课件上的数一样，就能收获两份奖品”，这是对“一个数的因数最大是其本身和一个数的倍数最小是其本身”的灵活运用.有了这样的思考，学生开始希望课件出示的数如果和自己数牌上的数相同就最好了;不仅如此，还有退一步想的备选方案：即课件出示的数是自己数牌上数的因数或倍数，机灵的孩子已经对出现哪些数自己能获奖胸有成竹.学生已经并不是被动地在参与游戏，等待数的出现，而是思考着“课件出示哪个数自己可以中奖”“我希望课件上的数是几”在进行游戏.第二轮游戏并不是第一轮游戏的简单重复，而是选择了不同于第一轮游戏的质数11，虽然本节课并未提及质数与合数，但在此处可以给学生初次的体验，初步感受质数因数的特点.另外，经过两轮游戏，学生又产生了新的体验：“数牌是1的同学每次都能中奖”，感受到所有的数的因数里都有1.第三轮游戏后，学生对因数和倍数又有了新的发现：“1是所有不是0的自然数的因数，所有不是0的自然数都是1的倍数”.

通过这样一个有趣的游戏，不仅巩固了因数和倍数的相关知识，还挖掘了它们背后潜藏的知识点，一步步向着更深处实践着.而那些或藏于学生内心或脱口而出的声音就是学生深度学习实践的现实展现.在不露痕迹的巧心构思中，让学生的创造性思维大放异彩.

结 语

由于思维具有整体性，任何思维品质并不单独存在于学习过程的某一环节，只是其中占主导作用的成分有所不同.教学要用整体性的视野规划整个教学流程，落实深度学习的发生，推动高阶思维的发展.