边以类聚 角以类分

何萍

【摘要】“等腰三角形”安排在“三角形”知识模块的压轴章节，在学习完“轴对称”的相关性质后闪亮登场.“等腰三角形”的亮点在于它的边与角，这种特殊性决定了它在初中数学教材中的位置，只有结合“轴对称”“全等三角形”“垂直平分线”等相关知识才能更好地解决与“等腰三角形”相关的问题，也正因为如此，“等腰三角形”成为近年来各类考题中的重要考点.

【关键词】等腰三角形;腰;底

数学人教版八年级上册教材第十三章从性质、判定及相关应用这三个角度对“等腰三角形”层层深入地进行讲解，抽丝剥茧，逐步揭开“等腰三角形”的神秘面纱.在揭秘的过程中，它的特殊性逐渐显现：一是它的边分“腰”与“底”两类，满足三角形中的三边关系;二是它的三个内角分为“顶角”和“底角”，满足三角形三个内角的和为180°的性质.正是因为“等腰三角形”中“边”“角”的这些特殊性，才让它成为各类考题青睐的对象.近年来的各类考题中，常出现以“等腰三角形”为基础模型的几何考题，考查学生的直观感知能力、逻辑推理能力和空间想象能力.同时，考题的形式也灵活多样，可能是选择题、填空题、简答题或作图题.为此，教师在教学过程中应归纳总结相关解题方法，化难为易，使学生清楚掌握知识点，游刃有余地解决任何题型，这也是我们探究“等腰三角形”问题的方向与重点.

一、原题呈现

例1 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.

（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？

（2）能围成有一边的长为4 cm的等腰三角形吗？为什么？

分析 本题为人教版八年级上册中的例题，考查“等腰三角形”中“边”的特殊性.（2）中并未指明“腰”和“底”，此时教师需提醒学生进行分类讨论.因此，本题需将“长为4 cm的边”分为“腰”和“底”两类分析，再与“三角形”三边关系相结合，考查学生对三角形基础知识的掌握情况.

例2 （1）等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角是;

（2）等腰三角形的一个角是80°，它的另外两个角是.[1]

分析 本题为人教版八年级上册中的习题，考查“等腰三角形”中“角”的特殊性.题中并未指明“顶角”和“底角”，需将“110°”和“80°”分為“顶角”和“底角”两大类讨论，再结合“三角形三个内角的和为180°”来完成求解.

感悟 由“三角形内角和为180°”可以确定：当已知等腰三角形中的一个角是锐角时，求另外两个角有两个答案;而当已知等腰三角形中的一个角是钝角时，求另外两个角只有一个答案.

同样地，如练习题中常出现“已知等腰三角形的一个外角为130°，求这个等腰三角形的顶角”.结合外角的概念可知，外角对应的内角为50°，则求等腰三角形的顶角需进行分类讨论.如果将题中的“130°”改成“50°”，则对应内角为130°，那么结合三角形内角和为180°，则明确该角为顶角，无须分类讨论.

二、应用实践

例3 （1）操作实践：如图1，△ABC中，∠A=90°，∠B=22.5°，请画出一条直线把△ABC分割成两个等腰三角形，并标出分割成的两个等腰三角形底角的度数;（要求用两种不同的分割方法）

（2）分类探究：△ABC中，最小内角∠B=24°，若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出△ABC最大内角的所有可能值.

分析 本题表面上看似考查等腰三角形的作图，实际上是以“等腰三角形”的“对称性”为基础知识点，探究“等腰三角形”的性质、判定及“轴对称”“垂直平分线”的性质等的应用问题.本题对学生的求解能力要求较高，两个小题的侧重点有所不同，深入考查了学生的几何直观能力.

（1）如图2，3所示.

（2）设分割线为AD，相应的角度如图4～7所示.

故△ABC的最大内角可能值分别是117°，108°，90°，84°.

感悟 （1）（2）题侧重考查“等腰三角形”中“角”的特殊性.学生常见的题型为“将顶角是36°的等腰三角形分割成两个等腰三角形”，部分参考书称该特殊三角形为“黄金等腰三角形”.而本题变式为“22.5°的直角三角形”，考查了学生的知识迁移能力.本题可补充“直角三角形斜边上的中线可将直角三角形分割为两个等腰三角形”的知识点，能使学生较快地解决部分问题.

例4 有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6 m，8 m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8 m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.

分析 上例是将已有的三角形分割成特殊的等腰三角形，本题是将已有的三角形扩充为特殊的等腰三角形，且与直角三角形综合考查，解题方法类似.如图8～11所示，分别考虑以AB为腰（分为两小类，以A为顶点，以B为顶点）和以AB为底两种情况.

三、实践提升

例5 （模拟考改编题）如图12～15所示，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A，B两点在网格格点上，若C点也在网格格点上，且以A，B，C三点为顶点的三角形为等腰三角形，则满足条件的点C有个.

分析 题中并未指明等腰三角形的“腰”和“底”，则需从已知的边AB入手，考虑AB为“腰”和“底”两种情况.

（1）当AB为腰时：

①如图13所示，以A为等腰三角形的顶点时，以A为圆心，AB长为半径画圆，交点在格点处的有3个，其中点C2与点A，B共线，去除此类情形后有2个点;

②同理，如图14所示，当B为等腰三角形的顶点时，同①一样也有2个点.

（2）当AB为底时，如图15所示，点C在AB的垂直平分线上，有4个点.

综上所述，共有8个点使得以A，B，C三点为顶点的三角形为等腰三角形.

例6 （中考改编题）在平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（4，0），若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C有几个？

分析 上例以网格纸作为背景来考查等腰三角形的分类情形，本题将等腰三角形“放”在平面直角坐标系中，分类情况类似：

（1）当AB为腰时：

①如图16所示，以A为等腰三角形的顶点时，可以通过以A为圆心，AB长为半径画圆，求与坐标轴的交点的方法求得顶点坐标.此时可得到交点坐标为（0，0），（0，4），其中点（0，4）与点A，B共线，因此此类情形仅有1个点符合题意;

图16图17图18

②如图17所示，以B为等腰三角形的顶点时，可以通过以B为圆心，AB长为半径画圆，求得与坐标轴的交点坐标为（4-22，0），（4+22，0），因此此类情形有2个点符合题意.

（2）当AB为底时：点C在AB的垂直平分线上，同时要求在坐标轴上，求二者的交点即可，如图18所示，得交点为（2，0），（0，-2）.

感悟 题目中出現“等腰三角形”时，要根据题目中的条件判断“腰”和“底”，如无法判定则需分类讨论.总体上看，一般题目需分为“腰”和“底”两大类考虑，对于其中“腰”的情况，又要分两端点分别为等腰三角形顶点的情况考虑.

（改编变式）（原创）在平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（4，0），在抛物线y=x2-8x+22x+16-82上存在几个点C，使△ABC为等腰三角形？

分析 本题是将等腰三角形的模型“嫁接”在二次函数的问题中，其实解法与例6无异.本题同样以等腰三角形的边为研究对象进行分类，只不过上例中是在题中要求的“坐标轴”上找点，本题是在二次函数图像上找点，方法完全一致.如图19～21所示，同样是按照等腰三角形的边分为两大类，可以直观地看出共有7个点符合题意.

感悟 实际上，如果学生能够完全掌握等腰三角形“边”的这种分类，那么借助圆的知识就可以很容易求出第三个点.这种分类方式可避免漏解，能够帮助学生直观找到各个不同点.无论在哪类题型中，遇到类似情况，都能进行知识的生成演变和应用，从而达到“多题一解”的效果.

平面几何是初中数学的重要组成部分之一，在中考中所占比例较大，而等腰三角形的特殊性更是近年来重点考查的对象，它可以和圆、垂直平分线、平行等相关知识点综合考查.2017年中考试卷中，乌鲁木齐、南充等地均将等腰三角形与二次函数相结合的问题作为压轴题的最后一步，可见等腰三角形的重要性.因此，学生只有掌握了等腰三角形的性质、判定的应用方法和技巧，并熟练把握它的特殊性，才能灵活应对中考中相关的题型.

【参考文献】

[1]林群.义务教育教科书数学八年级上册[M].北京：人民教育出版社，2013.