基于最速下降的矢量光刻模型掩膜优化

(广东工业大学 广东 广州 510080)

引言

传统的光学邻近校正技术已经难以满足生产的需要[3]，而作为最优化算法的反向光刻技术，在理论上可以找到最佳的掩膜去补偿图案的畸变[4]，因此，运用分辨率增强技术进一步提高光刻系统的图像精确度一直是该领域研究有效手段。最速梯度下降是是非线性最优化常见的方法，它的主要思想是使用目标函数和约束条件定义或推导出代价函数，通过计算代价函数的梯度和选择合适的更新步长来确定最优化下降方向和大小。

一、光刻系统的矢量模型

光刻投影成像系统主要分为两个部分：投影光学效果(耦合成像)和抗蚀效果。对于照明光源波长为193nm且NA大于0.4的光刻系统，硅晶圆表面的成像过程必须考虑光波通过光学投影仪器元件时的偏振状态，如图1所示

图1 矢量光刻模型系统

(1)

其中，J(αs,βs)是位于点(αs,βs)处光源的强度，且Jss=∑(αs ,βs )J(αs,βs)是所有对成像做出贡献的点光源强度之和。且下式在投影光刻中通常被认为是频域等效低通滤波器[5]：

(2)

光刻胶抗蚀作用同样使用sigmoid激活函数来描述[6]：

(3)

其中，a描述了激活函数的陡峭程度，tr表示激活的阈值。

二、反向光刻技术

一般来说，反向光刻技术ILT中的掩模合成包括两步，第一步是对光刻系统成像形成过程的数学建模，第二步是迭代掩膜变量，寻找适当设计的成本函数的最小值，以提高输出图像的保真度。因此，ILT的性能主要取决于成像地层模型的精度和优化框架中反演成像计算的效率。光刻系统与NA小于0.4的标量成像模型提供足够的准确性。从交叉领域来说反向光刻算法是基于非线性最优化算法的一种凸优化理论模型，自诞生以来就以其强大的寻优能力著称，然而由于计算机性能的限制，以前并没有被广泛运用。而后，随着计算机计算能力的大幅提高，反向光刻算法ILT备受关注。

三、最速梯度下降

最速梯度下降法的流程为：

第一步、定义代价函数F(x);

第二步、计算代价函数在当前点的梯度dxk，其中x的上标k代表变量在第k次对应的信息;

第三步、算法更新规则：xk+1=xk-S•dxk,其中S是更新步长，取值范围通常在0.1至0.3;

第四步、计算xk+1处的代价函数，判断是否符合条件，若不符合则不断重复步骤第二步和第三步直到满足条件为止；

其演变过程如图4.1所示，若首次在x1点处计算出的梯度是dx1，选择合适的步长更新后变量假设位于点x2处，且x2处的代价函数F(x2)及梯度的绝对值|dx2|均小于在x1处的代价函数F(x1)和梯度的绝对值|dx1|。同样的，变量可计算梯度并逐渐更新至x3、x4、x5,当dxk处的值足够小时(即梯度减小到接近零时)，在理论上算法迭带结束。但是，这样只能确定在有限的区间内代价函数达到最小值，即局部最小值。另一方面，若初次更新的位置处于x5且更新步长S过大，变量更新则会由x5至x4,又因为|dx4|>|dx5|，变量会逐渐由x4更新至x3、x2、x1，即优化并没有收敛反而发散。

四、实验结果

图2 基于SGD逆优化结果

如图3所示，我们给出了基于分层模型的SGD逆优化结果。其中，从左到右分别是照明光源、掩膜和投影物像，从上到下的两组组实验是未优化实验结果、使用SGD优化的结果。值得注意的是，这两组实验均使用相同的照明系统，用于逆优化的初始化掩膜相同，且在本实验中我们仅优化了主特征区域。观察后两组实验我们可以发现使用SGD算法的优化结果还是比较明显的。

五、结论

实验结果表明，SGD算法有明显的的优化效果。不过实验中根据该算法的代价函数总体趋势是一个下降的过程，局部下降曲线不平滑的现象，SGD也存在步长时小优化速度慢，步长大容易发散的缺点，因此想对优化过程进一步完善，接下来要从自适应调节步长以及扩大每次迭代步长入手。