如何突破中考二次函数综合题

王艳

函数是很重要的数学知识，它让我们体会到由算术到代数、由常量到变量、由有限到无穷的数学学习乐趣。函数与方程思想更是解决数学问题的重要思想方法之一。二次函数在中考中的地位更为特殊，通常以压轴题呈现。那么，我们该如何提高解二次函数综合题的能力呢？这里以2018年宿迁市中考题为例，做一些探讨。

例題 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y= （x-a）（x-3）（0

（1）求点A、B、D的坐标;

（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值：

（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值;若不能，请说明理由。

【分析】（1）注意到点A、B、D均为抛物线与坐标轴的交点，求其坐标不难，准确求解的关键点是如何“确定”坐标。

（2）考虑∠DOA=∠BPC=90°为相等的定角，故△AOD与△BPC相似需分类讨论：①AO/BP= OD/PC;②DO/BP= OA/PC。

（3）共圆问题重在确定圆心和半径（或直径）。观察四点D、0、C、B可发现∠DOB=90°，故四点若能在同一个圆上，直径当为BD，之后只需考虑点C也在该圆上即可。

解：（1）（略解）点A、B、D的坐标分别为（a，0）、（3，0）、（0，3a）。

（2）易求得点C的坐标为（a+3/2，-（a-3）2/4），因为LDOA=LBPC=90°，所以分两种情况讨论。

①当△AOD--△BPC时，则AO/BP=OD/PC，

解得a=0或a=+3。

因为O

所以a=0和a=+3皆舍去。

②当△DOA一△BPC时，则DO/ BP=OA/PC，

解得a=7/3或a=3或a=0。

因为O

综上所述，a的值为7/3。 （3）若四点D、0、C、B在同一个圆上，因为∠DOB=90°，所以连接BD，线段BD即为直径。

取BD的中点H，连接OH、CH，则OH=CH，且可得点H的坐标为（3/2，3a/2）。

由OH=CH，得（3/2）2+（3a/2）2=（3/2一a+3/2）2+[3a/2+（a-3）2/4]2。

化简得a4-14a2+45=0，所以（a2—5）（a2—9）=9，解得a=±5或a=+3，因为O

所以点D、O、C、B能在同一个圆上，a的值为5。

【点评】本题作为中考压轴题，体现了这样的特色：

1.注重基础知识、基本方法、基本技能的综合考查。本题考查了二次函数图像与坐标轴的交点问题，相似三角形、圆与二次函数知识的综合应用，看似很难，若我们把问题分解开再看，发现其实都是应该掌握的基础知识、基本方法和基本技能。如解决函数图像与坐标轴的交点坐标问题必然要考虑设x=0或y=0建立方程。相似问题、共圆问题只要我们按部就班，细心运算，都不难解决。该题淡化技巧，更多关注了“通法”的考查。

2.渗透了数形结合、分类讨论、函数与方程等重要的数学思想。不论是相似三角形问题还是四点共圆问题，都要求我们对图形有很好的感知，不仅要眼中有图，还要心中有图，更要能恰当构图。本题中的三个问题最终的本质都是求值问题，所以必须归结到如何构建方程上，可见如何建立方程、求解方程是多么重要。因此，解好综合题必须练就扎实的基本功。

3.突出了对思维严密性的考查。三个问题都突出了一个不起眼的条件O

总之，要解决好压轴题，必须深入领会基本知识、熟练掌握基本技能、灵活运用基本数学思想，多思考，淡化技巧追求，练就扎实的通法基本功才是我们真正的“解题利器”。

（作者单位：江苏省泗阳县众兴中学）