模态综合法在航天器动力学仿真中的精度分析①

蔡一波，杜 冬，周爱明

(上海卫星工程研究所，上海 201109)

0 引言

在航天器向大型化、模块化、平台化以及不同研制单位分工合作的时代潮流下，模态综合法具有广阔的应用前景。模态综合法最早起源于20世纪60年代，Hurty[1]在1960年确立了这一概念，Gladwell[2]于1964年在Hurty的基础上提出了子结构模态综合法(Component Mode Synthesis)，即CMS方法。随后模态综合法逐步发展出了以CBH(Craig-Bampton-Hurty)法[3]为代表的固定界面模态综合法、自由界面模态综合法和混合界面模态综合法等方法，并在国内外学者的研究中不断改进和丰富。

模态综合法的基本思想是“化整为零，积零为整”，能够大幅度缩减整体结构特性矩阵的阶数，同时还能够保持计算分析精度，有着诸多优点：(1)提高计算效率，节约成本；(2)可以在不泄露子结构几何和材料信息的情况下实现各研制方的有效对接，保护知识产权。因此，模态综合法在航空航天、船舶制造等需要解决复杂结构动力学问题的大型工程领域有着很好的应用。

本文主要针对CBH固定界面模态综合法进行精度分析，从理论公式分析其误差来源，再通过实际的航天器模型仿真，以有限元法为标准，对比不同主模态截断方法对固定界面模态综合法精度的影响。

1 主模态截断方法

固定界面模态综合法将整体结构按照结构特点分割成A、B两个子结构，子结构A、B在界面上进行连接，定义二者节点自由度的交集为界面自由度集，界面自由度集 内的所有自由度固定，但A、B的内部自由度集iA、iB原有约束维持不变。单个子结构的运动方程为

(1)

式中m为质量阵，k为刚度阵，x为位移坐标，fj表示界面力，gi、gj分别表示作用在子结构内部自由度集、界面自由度集上的其它外部扰动力。

主模态截断的准则是，如何既最大程度上的缩减结构系统的自由度，又能满足精度要求。在以往研究中应用的方法有：频率截断法[4,5,6]、有效模态质量截断法[7,8]、势能判据截断法[9]等。下面结合matlab编程和有限元仿真的方式对于这三种方法进行对比，建立了某卫星的有限元模型，下部分为平台子结构1，上部分为载荷子结构2，如图1所示。

图1 卫星有限元模型Fig.1 Satellite finite element model

图1中有限元模型底部固支，施加基础加速度激励，计算响应点A的加速度响应。

1.1 频率截断法

主模态频率截断法是取所关心最高模态频率的某一倍数，对子结构进行模态截断。现关心图1卫星模型200Hz以内的动态特性，并采用1～3倍关心频率对各子结构进行主模态截断，观察其保留主模态阶数和最高精确结构频率(误差小于0.5%)，如表1所示。

表1 不同频率截断结果Tab.1 Truncation results based on different frequencies

在表1中，Sf表示所关心频率(200Hz)的倍数。

由表1可知，当Sf=1时，模态综合后得到的最高精确结构频率为95Hz，不满足200Hz的要求，子结构1保留1阶主模态，子结构2保留4阶主模态；当Sf=2时，模态综合后得到的最高精确结构频率为328Hz，满足200Hz的精度要求，子结构1保留1阶主模态，子结构2保留17阶主模态；当Sf=3时，模态综合后得到的最高精确结构频率为491Hz，满足200Hz的精度要求，子结构1保留17阶主模态，子结构2保留52阶主模态。由上述可见，频率截断法可以有效减少子结构主模态数，极大降低了动力学计算的工作量，且当Sf=2～3倍时，能较精确地反映卫星系统的低频模态特性。

图2为不同频率截断倍数下，卫星系统A点的加速度响应曲线。

图2 频率截断的加速度响应Fig.2 Acceleration response for truncation at different frequencies

由图2可知，当Sf=1时，在0～85Hz激励范围内，A点的加速度响应与无截断的标准响应比较一致；当Sf=2时，在0～340Hz激励范围内，A点的加速度响应与无截断的标准响应比较一致；当Sf=3时间，在0～450Hz激励范围内，A点的加速度响应与无截断的标准响应比较一致。可见，当Sf=2～3倍时，频率截断法可以较高精度地反映卫星系统的动力学响应特性，且随着截断频率增大，高频激励下的响应精度也会增大。

1.2 有效模态质量截断法

David等人[8]采用有效模态质量截断法进行主模态的选取，定义子结构第 阶主模态的模态参与因子为：

其中ΦiK为第K阶主模态，定义第K阶主模态有效模态质量和总有效模态质量分别为

(3)

Me的对角元素表示各主模态在每个界面自由度上的有效模态质量之和，则MeK与Me的比值，即有效模态质量比，可反映子结构各阶主模态之间的相对重要性。

现取0.1,0.01,0.001作为有效模态质量比的阈值，分别计算截断后的保留主模态阶数和最高精确结构频率，如表2所示。

表2 不同有效模态质量截断结果Tab.2 Truncation results based on different effective mode mass

在表 2中，Sm=0.1为有效模态质量比的阈值。由表 2得，当 时，模态综合后得到的最高精确结构频率为318Hz，子结构1保留9阶主模态，子结构2保留7阶主模态；当Sm=0.01时，模态综合后得到的最高精确结构频率为338Hz，子结构1保留66阶主模态，子结构2保留10阶主模态；当Sm=0.001时，模态综合后得到的最高精确结构频率为653Hz，子结构1保留74阶主模态，子结构2保留62阶主模态。可知，有效模态质量截断法可以有效缩减保留主模态数，提高计算效率；同时随着截断阈值的增加，高阶模态频率的计算精度下降，但在低频区间仍有较高的计算精度。

图3为不同截断阈值情况下，卫星系统A点的加速度响应曲线。观察可知，当截断阈值分别取0.1、0.01、0.001时，在0～400Hz范围内，A点的加速度响应与标准响应曲线比较一致。因此，有效模态质量截断法也可以保证模态综合计算所得的结构动力学响应特性在低频区间有较高的精度。

图3 有效模态质量截断的加速度响应Fig.3 Acceleration response for truncation at different effective mode mass

1.3 势能判据截断法

随着主模态截断数K的增加，由广义坐标推出子结构在物理坐标下的位移也会不同，该位移会逐渐逼近于精确解，当K分别取1,2,…,n时(n为子结构模态的总阶数)，得到一组位移向量：x1,x2,…,xn，定义集合X={x1,x2,…,xn，0}，可知该集合为一线性空间。现构造一个函数|xK|：

(4)

|xn|-|xK0|<ε

(5)

其中ε为给定的无穷小量。当满足上式时，可判断出xK0和xn之间差异很小，可以用xK0来近似替代xn，此时模态综合得到系统的动力学特性接近于实际情况，所以模态截断只需要找到范数满足上式的最小K0即可，|xK|代表子结构势能的开方，故这一方法又称势能判据截断法。

图4为在一定激励下，子结构1和子结构2随截取主模态阶数K变化的势能范数曲线。

图4 子结构势能范数曲线图Fig.4 Diagram of the potential energy norm

由图4可知，随着截取主模态阶数K的增大，结构的势能增大，当K取到某一值K0时，势能趋于收敛，此时的K0即为最佳模态截断数。在图4中，子结构1的最佳截断模态数61，子结构2的最佳截断模态数为233。根据势能判据截断法，对卫星系统进行模态综合后动力学计算，得到最高精确结构频率为Hz，图5为A点的加速度响应曲线。

图5 势能判据截断的加速度响应Fig.5 Acceleration response for truncation at potential energy criterion

由图5可知，采用势能判据截断的固定界面模态综合法有很高的精度，与直接计算所得的动力学响应曲线高度吻合，同时也能在一定程度上缩减模态综合的保留主模态数，提高计算速度。

2 主模态截断方法对比

频率截断法、有效模态质量截断法和势能判据截断法都能有效地减少模态综合计算时动力学方程中矩阵的自由度数，大大地缩短了计算时间，且在低频区间都有较高的计算精度，但三种方法仍各有优劣。

由表1可知，当Sf时，子结构1保留1阶主模态，子结构2保留4阶主模态，最高精确结构频率为95Hz；当 时，子结构1保留1阶主模态，子结构2保留17阶主模态，最高精确结构频率为328Hz，子结构1在两种情况下都只保留了1阶主模态，这是因为子结构1的低阶固有频率比较大。但随着子结构2保留主模态数由4阶增加到17阶，计算所得系统的精确结构频率很快提高，说明子结构1 的低阶主模态对于卫星系统的低频动态特性影响较小，而子结构2的低阶主模态对于卫星系统的低频动态特性影响较大，原因是子结构1的刚度相对较大，在低频振动情况下的变形较小且多为静力变形，而固定界面模态综合法利用约束模态考虑了静变形的影响，因此即使子结构1保留的主模态数较少，卫星系统的低频动态特性计算结果仍有较好的精度。由表2中Sm=0.1和Sm=0.01的两组数据对比也可得到这一结论，总保留主模态数由16阶增加到76阶，其中子结构1保留主模态数增加了57阶，但最高精确结构频率只上升了20Hz，进一步说明了子结构2低阶模态对于系统低频动态特性的影响要大于子结构1。

对比表1和表2可知，当Sf=2时，总保留主模态数为18，子结构1最高精确结构频率为328Hz；而当Sm=0.01时，总保留主模态数为76，最高精确结构频率为338Hz，仅提高了10Hz，说明频率截断法相对于有效模态质量截断法有更高的截断效率。因为有效模态质量截断法只能对比单一子结构内各阶模态的重要性，而无法判断各个子结构的模态分别对于整体系统的影响，这就导致了当Sm=0.01时，子结构1保留了多余的主模态，进而导模态综合体计算效率的下降。对比表1Sf=3和表2Sm=0.01两组数据也能得到这一结论，Sf=3时，总保留主模态数为69，最高精确结构频率为491Hz；Sm=0.01时，总保留主模态数为76，最高精确结构频率却只有338Hz。

频率截断法和有效模态质量截断法虽然都有不错的截断效果，但截断倍数和阈值的选取具有很大随机性，根据个人经验和实际模型结构的不同，截取的模态数量也会大有不同，从而必然会影响到结果的好坏。而势能判据截断法有严格的理论证明支撑，对于任意的系统都有很好的适用性，且截断结果不因人为因素改变，完全取决于系统结构本身，稳定性较好，精度高，但势能判据截断法相对于前两种方法，截断准则保守，保留的主模态数往往较多，且需要计算势能范数曲线图来找出最佳截断模态数，计算速度略有不足。

3 结论

针对卫星系统模型，分析了三种模态截断法在固定界面模态综合法中对动态特性和动力学响应计算结果精度的影响，结果表明：

(1)频率截断法需根据实际模型，选取合适的截断倍数，一般建议选取2～3倍，可对比不同子结构间主模态的重要性，截断后保留的主模态数较少，计算效率较高。

(2)有效模态质量截断法需根据经验，选取合适的截断阈值，有效模态质量比在模态综合计算过程中即可算得，不需要额外的计算，但该方法只能对比各子结构自身各阶主模态的重要性，容易造成保留主模态的冗余。

(3)势能判据截断法无需凭借经验和估计，截断准则的理论合理性充分，计算精度最高，但该方法较为保守，保留主模态数较多，计算速度较慢。

(4)对于精细化分析，应该考虑采用频率截断法，但需要选取多个截断倍数进行计算，找到在关心频率范围内使得动力学响应精度最高且收敛的最小截断倍数，以实现高效率截断。

在航天器动力学仿真中应用固定界面模态综合法，可结合实际的系统结构和工程需求来选取合适的主模态截断方法，在保证精度的同时有效地提高分析效率。