常微分方程建模方法及案例分析

沈延锋 姜永慧 沈延琦

摘  要：常微分方程建模是数学建模中一类十分重要的方法，使用它通常需要建立含多个变量及导数信息的常系数微分方程。本文首先给出了此类建模问题的基本思路、步骤和建模方法，然后通过最速降线、悬链线及药物扩散衰减三个问题对该建模方法进行了分析。分析过程中强调了变量及其变量间关系的确定在常微分方程建立过程中的重要作用。

关键词：微分方程  微元分析法  最速降线  悬链线  药物扩散衰减

中图分类号：O175                                文献标识码：A                    文章编号：1674-098X（2020）08（c）-0199-04

Abstract： Ordinary differential equation modeling is a very important method in mathematical modeling. Using it， it is usually necessary to establish constant coefficient differential equations with multiple variables and derivative information. In this paper， we shall discuss the basic idea， steps and several methods about thus modeling problems firstly. Then three practical problems will be studied， as the brachistochrone problems， catenary problems and medicament diffusion problems. The important role of the determination of variables and their relations in the establishment of ordinary differential equations is emphasized.

Key Words： Ordinary differential equations; Microelement analysis method; Brachistochrone; Catenary; Medicament diffusion

函數的本质是两个变量之间的依赖关系，而对事物变化相互影响的关系研究是工程计算、医疗卫生和金融经济等众多领域中的核心问题。通常情况下这些领域中所用到的函数比较复杂，很难用解析表达式直接给出因此用包含多变量（因变量、自变量）的常系数方程是可取的方式之一。有时还需要考虑含未知函数导数的方程，这类方程就是常微分方程。建立适当的常微分方程是数学建模中解决连续性问题的一类十分重要的方法。常微分方程建模的应用领域也非常广泛，如生物学模型、经济模型、航空航天模型和物理学模型等等。

常微分方程建模[1-5]是利用常微分方程来近似模拟某些事物或现象随时间而连续发生变化的方法。所遇问题中提到的“变化”、“增加”、“减少”和“改变”等类似词语，通常都与导数有关，这也是常微分方程建模时需要特别注意的地方。总体来说，常微分方程建模的思路是：首先寻找问题中的条件得到自变量和因变量及其导数之间的联系，建立合适的常微分方程;然后利用分析或数值方法求解对应常微分方程;再结合问题本身对结果进行分析;最后对所研究的事物或现象的推演过程给出分析或预测等工作。

一般的常微分方程模型建立的步骤及方法[1-4]总结如下：

（1）分清变量的类型，明确自变量和因变量，理清多个因变量之间的相互联系。从问题出发，利用“奥卡姆”剃刀，筛选出直接反映所需结论的核心因变量。这里可能会有多个因变量反映结论的不同方面。结合题目所创设的环境，挖掘影响因变量的因素，注意区分确定性因素和随机性因素。对于随机性的因素还需要概率统计等基础知识，甚至还应考虑建立随机微分方程模型。另外某些因变量之间可能会有明确的（导数关系）关联，比如位移和速度以及加速度之间的联系。对于这类关系应该尽早明确，以备后续建立方程时候直接使用。

（2）探索各变量之间的相互关系。通常问题的因变量与自变量之间不是线性关系。对于具有确定性关系的情况，可以参考已有模型进行处理。例如，指数（对数）关系模型、多项式型关系模型和引力模型（在经济领域中应用也非常多）等等。而对于关系不是很明确的情况，需要建立含两类变量的函数方程进行处理。部分可以参考人口增长模型、传染病模型等等，而另外一些还需要分析题设中的不变量。

（3）分析并建立合适的常微分方程。通过上面两个步骤，已经可以建立起粗糙的常微分方程，而这步通常需要添加一些影响因素对模型进行改进，并得到合理的模型。建立常微分方程的方法多种多样，大致可以归结为以下几种：

①按规律列方程。简单地说，含自变量和因变量的常系数等式就是常微分方程，而部分等式可以通过数学、化学和物理等学科中的规律获取。牛顿第二定律就描述了力和加速度的关系。另外放射规律、折射定律等等都可以帮助我们建立较为合适的常微分方程。

②微元分析法。这里所谓的微元分析法不同于定积分应用的微元法，详见参考文献[8]。求解微分方程所用的积分几乎都是变上限的积分，其本质上也是一个函数。因此这里的微元可以理解为微分。我们知道，微分是对应改变量的一种近似。固定自变量的两点和，分析对应因变量，及其改变量所满足的等式条件。这里的等式通常由确定的规律或者题设中的不变量得到。然后近似转化为各变量的微分，就构造出了所需要的常微分方程。例如分析匀速圆周运动的向心加速度，对圆周运动的速度变化进行微元分析，便可以推导出向心加速度的表达式。

③模拟近似法。工程应用领域中的问题通常比较复杂，且受到许多不可控制的因素影响。全面考虑这些因素往往使得微分方程十分复杂甚至无法建立。因此有必要删繁就简，添加一些假设条件，用简单些的微分模型去近似。在Logistic人口阻滞增长模型中，人口的增长率被简化为只由当前人口总量和其他一些阻滞增长率的因素（如资源环境等）所决定。

1  常微分方程案例分析

利用常微分方程模型解决实际问题，第一步就是要利用数学理论、初等模型以及其他学科中的定律，建立起较为合适的常微分方程。下面笔者通过几个典型实例对上述常微分方程建立方法进行阐述。

1.1 最速降线问题

意大利科学家伽利略曾提出这样的问题：一个质点受重力作用，从点A滑到不在它垂直下方的点B，若不计摩擦，沿什么曲线所需时间最短？取时间t为自变量，并建立坐标系如图1所示，位置、速度和P点切线倾角都是关于t的因变量。另设质点的质量为m，初速度为。因为不计摩擦，速度满足           。

由费马原理可知，光沿着遵守折射定律的路线传播，所用的时间最短。将AB曲线看作光在非均匀介质中的传播路径，要使得时间最短，每点都应满足折射定律，即

1.2 悬链线问题

悬链线是指受重力作用，两端水平固定的柔软的绳子自由下垂所形成的曲线[6]。如图2所示，O点为绳子的最低点，此点受到一个水平向左的拉力。取横坐标为自变量，悬链线上点的高度、拉力、拉力与水平方向夹角和累计重力均为因变量，分别记为、、和。任取绳子上极小的一段，且设和 的横坐标分别为和。另设绳子的线密度为，下面对绳子上的一小段进行受力分析。

1.3 药物扩散衰减问题

在使用药物治疗疾病时，通常有三种给药方式，分别为快速静脉注射（方式a）、恒速静脉注射（方式b）和口服或肌肉注射（方式c）[7]。下面通过模拟近似分析血药浓度随时间的变化趋势。为此，我们将身体看成一个房室，给药方式不同，药物的吸收和消除速率不同。

取时间为自变量，设为表观分布容积，为  时刻体内的药物量，为时刻体内的药物浓度，则满足关系体内的药物浓度，则满足关系。令 为一级消除速率。

下面我们将建立描述三种给药方式的常微分方程。利用微元分析法，任取小区间，设药物的改变量为，其值可以利用不同的吸收和消除速率计算：

（1） 方式a。因吸收和消除速率分别为0和，故改变量，从而借助函数微分即可得到常微分方程为，且有初值条件。为注射总药量。解得血药浓度变化曲线为，近似为指数分布的密度函数。

（2）方式b。吸收速率为定值a，得改变量，可得模型为，且。解得浓度变化曲线为。近似为Logistic人口阻滞函数曲线。

（3）方式c。此时改变量计算稍微复杂，因为吸收速率也是的函数。先考虑吸收子模型。设药物被吸收的速率与存量药物的数量成正比，记比例系数为，若记时刻残留药物量为，类似地得到常微分方程为，，其中为方式c的药物总量。解得。进而建立方式c药量的常微分方程，。解得血药浓度变化曲线为

近似为卡方分布的密度函数。

（1） 方式a。因吸收和消除速率分别为0和，故改变量，从而借助函数微分即可得到常微分方程為，且有初值条件。为注射总药量。解得血药浓度变化曲线为，近似为指数分布的密度函数。

（2）方式b。吸收速率为定值a，得改变量，可得模型为，且。解得浓度变化曲线为。近似为Logistic人口阻滞函数曲线。

近似为卡方分布的密度函数。

图3给出了三种给药方式的血药浓度变化曲线。进一步分析可以根据血药浓度要求控制再次给药的时间和剂量，以便达到维持药效的作用。

2  结语

常微分方程建模在利用数学模型解决医疗、经济、工程等领域问题中占据着很大的优势。要建立适合的微分方程模型，就要从题设、目标中仔细挖掘各变量及其可能存在的关系，还要考虑相应领域中的定律、因变量微分的近似计算特性和微分方程教材中的经典模型，综合分析构建出较为适合的模型。通常还需要把求得的解与实际情况进行比较，不断改进和优化模型，尽可能地让最终模型既能满足实际问题的精确性要求，同时也具有一定的稳定性要求。

参考文献

[1] 廖莉.常微分方程在数学建模中的应用[J].课程教育研究，2017（38）：139-140.

[2] 陈尹刚.数学建模在常微分方程中的应用[J].湖北开放职业学院学报，2019（6）：103-104.

[3] 郑玉敏.对常微分方程数学建模案例的研究[J].黑龙江科学，2017（13）：66-67.

[4] 李明伟.数学建模思想融入常微分方程教学的探讨[J].高教学刊，2018（1）：93-95.

[5] 武海辉.一类竞争扩散系统的稳定性分析[J].河南科学，2019，37（6）：869-873.

[6] 周义仓.悬链线模型在系泊系统设计中的应用——2016年全国大学生数学建模竞赛A题解答评述[J].数学建模及其应用，2016，5（4）：26-33.

[7] 王莲招.三种给药方式的微分方程及函数性态比较 探讨[J].高教学刊，2016（5）：111-112.