单元整体视角下的命题设计路径初探

【摘 要】通过对数列单元的整体分析，大致梳理了立足单元整体的数列创新题的设计路径。在命题技术层面，基于数列单元整体视角分析了问题载体和设问方式;参考已有的核心素养评价框架，通过具体案例，分析数列创新题考查学生核心素养水平的三个层级。

【关键词】单元整体;命题设计;核心素养评价

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2020）03-0015-04

【作者简介】任念兵，华东师范大学第二附属中学（上海，201203）教师，高级教师。

《普通高中数学课程标准（2017年版）》采用了“内容主线—内容主题—核心内容”的课程结构，从总体到局部，从局部到总体，充分体现了数学本身的系统和结构。在教学实施层面，提倡单元教学设计，强调“整体把握课程”，引导学生构建完整的认识，形成良好的体系，是帮助学生更好地掌握数学课程、提升数学核心素养的重要突破口。在教学评价层面，命制揭示数学本质和内在联系的创新试题，是检测学生的思维水平和数学核心素养达成情况的关键课题。

近些年来，高考中的数列创新题不少，其中有两类难度还相当大。其一是通过限定某个集合中元素的关系来构造数列，比如北京卷压轴题多年来似乎都具有该特点;其二是利用函数迭代an+1=f（an）来构造数列，只是有些迭代函数十分复杂，令人望而生畏。虽然这些数列创新题，具有很高的区分度，便于选拔具有数学学习潜力的高水平人才，但似乎与教材中的数列内容联系不够紧密，命题设计对日常教学的引导作用不够显著。倘若能基于对数列单元内容的教材分析，站在单元整体视角下命制创新试题，既能有效检测学生对数学本质的理解和数学核心素养的达成情况，又能基于課本高于课本，发挥考试命题对日常教学的反向引导作用。

本文以“数列”单元为例，在分析单元内容的前提下，梳理近几年来相关创新试题的命制思路，探讨单元整体视角下的命题设计路径。

一、数列单元分析

“数列”单元的研究脉络遵循一般数学对象的研究脉络，即数列的定义—表示—性质—应用—特殊的数列（等差数列、等比数列）。数列的表示，主要研究通项公式和递推公式，前者是函数解析式的具体形式，后者则体现了数列的离散特征。数列是一类特殊的函数，其性质的研究也主要立足于函数性质和离散特征两个方面，离散特征重点体现在数列的单调性（只需要研究an+1与an的大小关系）、部分和（前n项和Sn=a1+a2+…+an），这些与一般的连续函数有本质的不同。类比于函数研究，通过对幂函数、指数函数、对数函数、三角和反三角函数等基本初等函数的有限次复合和运算，可以得到各种初等函数;数列的研究中，可以通过对两类特殊数列（等差、等比数列）的运算、变换生成各种不同类型的数列。

代数的根本在于运算和运算律，而“运算”也正是数列研究过程中的灵魂所在。从概念的名称就可知，研究数列的基本手段是运算：施行减（除）法运算而发现“差（比）相等”，于是有“等差（比）数列”。而它们的通项公式、基本性质、前n项和公式等等，都是在运算中出现的规律性、不变性。在研究了等差数列之后，可以从“运算”角度类比研究等比数列：若{bn}为等差数列，则{ab }（常数a>0）为等比数列;若正项数列{bn}为等比数列，则{logabn}（常数a>0且a≠1）为等差数列。

在学生掌握了等差（比）数列的基本性质之后，可以从“运算”角度展开对一般数列性质的研究，主要有三大问题：

①数列的两种表示方式——递推公式和通项公式之间的转化。最常见的问题就是由递推式求通项公式，方法是通过某些运算技巧转化为等差（比）数列来研究。

②数列通项与部分和之间的关系。各种数列求和问题都需要运算技巧的呈现，比如通过“配对”将不同数的和转化为相同数的和，通过“错位相减”消去中间项等，而裂项相消法更是体现了数列求和的本质，对学生思维能力提出了极大挑战。

③新数列的构造。对于单个数列，可以进行各种变换（取绝对值、取倒数、取子列等）构造出新数列;对于两个数列，可以进行四则运算构造出新的组合数列。

通过运算，可以将一般数列问题转化为等差（比）数列来研究;通过运算和变换，可以由等差（比）数列生成各种复杂的数列。总之，从“运算”角度入手，由一般到特殊、由特殊到一般，是研究数列的“基本套路”。

二、创新命题设计

“数列”创新题的设计，关键是构造出新数列。为了让考生思维集中，在命制一道数列题时可引入一或两个数列，一般不超过三个数列。从单元内容分析中不难发现，等差数列和等比数列是命制数列创新题的基本载体，其他数列都通过转化为等差（比）数列来研究。立足于等差（比）数列，通过运算、变换、约束、生成等路径设计新数列，是单元整体视角下命制创新试题的基本思路。

路径1：着眼于运算。

任意两个有理数的和、差、积、商（分母不为零）仍然是有理数，我们称有理数集关于四则运算是“封闭”的。类似地，实数集、复数集也具有对四则运算的“封闭”性，平面向量对加法、减法也具有“封闭”性。类比到数列中，我们不难发现：两个等差数列{an}、{bn}的和数列{an+bn}仍然是等差数列，即等差数列对和运算是封闭的。两个等比数列{an}、{bn}的积数列{an·bn}仍然是等比数列，即等比数列对积运算是封闭的。由此，可以考虑“满足什么条件的等比数列，其连续两项的积仍是该数列中的项？”“满足什么条件的等差数列，存在两个连续项的和仍是该数列中的项？”等问题。

在运算封闭性的思路指引下，可以自然地命制如下试题。

题1：若数列bn=aqn（a、q为常数，且aq≠0），对任意正整数m，存在正整数k，满足bmbm+1=bk，试求a、q满足的条件。（答案：a=qc，其中整数c≥-2）

题2：若an=3n+1，是否存在m，k∈N*，使得am+am+1=ak？（答案：不存在m，k∈N*使等式6m+5=3k+1成立。）

路径2：着眼于变换。

根据等差（比）数列的概念，修改关系（比如“等”改为“不等”）、数字（比如1改为2）等，可以“改造”出各种新的数列来。将等差数列定义中的关系——差“相等”改为“不等”，可以定义“增差数列”：若对任意n∈N*，都有an+1-an

除了修改等差（比）数列定义中的某些要素外，最简单的改造数列的方法，是将两个简单的等差（比）数列进行“拼接”、取公共项等，得到新的组合数列。例如：

题3：已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an=3n+6，bn=2n+7（n∈N*）。将集合{x|x=an，n∈N*}∪{x|x=bn，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，…，cn，…（具体问题略）

题4：若存在常数c、d、k（k∈N*，k≥2），使

得无穷数列{an}满足  an+1=        ，则称

数列{an}为“段比差数列”。（具体问题略）

路径3：着眼于约束。

对于单个数列，可以定义该数列具有某种特殊性质，例如：（2014年高考江苏卷）若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”。

对于两个数列，可以定义两者之间具有某种特殊联系，常常是用一个数列约束另一个数列。比如：（2018年高考上海卷）给定无穷数列{an}，若无穷数列{bn}满足：对任意n∈N*，都有

|bn-an|≤1，则称{bn}与{an}“接近”。这样的约束具有深刻的背景，我们可以利用特殊的等差（比）数列来“接近”一般的某个数列。类似地，还可以将一般的数列“嵌入”特殊的等差（比）数列中。

题5：对于项数为m（m≥3）的有穷数列{an}，若存在项数为m+1，公差为d的等差数列{bn}，使得bk

路径4：着眼于生成。

由一个特殊数列A“生成”新数列B是指：当给定数列A后，由A生成的数列B也确定了。比如：记Mn，mn为a1，a2，…，an中的最大数和最小数，则由无穷数列{an}可以生成数列{bn}，bn=Mn-mn;还可以生成数列{cn}，cn=Mn+mn。

2019年上海春季高考压轴题就是研究由一个等差数列生成的新数列：已知等差数列的{an}公差d∈（0，π]，数列{bn}满足bn=sin（an），集合S={x|x=bn，n∈N*}。（具体问题略）

三、命题技术分析

首先，在问题载体选择上，数列创新题立足于等差（比）数列，主要考查数列通项、数列部分和等公式的灵活运用，等差（比）数列的概念和基本性质，数列的函数性质和离散特征（比如通过研究数列的单调性求数列的最值项）等，重点仍是对基本知识和基本技能的考查。

其次，在设问方式设计上，数列创新题一般会设计“计算”和“证明”两部分。前者主要是求通项（或某些特殊项），求部分和，解不等式（或不等式恒成立时求参数范围），求参数所满足的约束条件等等;后者主要是判断或证明数列新概念或性质，证明（或否定）某些项或者某个性质的存在性，证明两个性质之间的等价性（充要条件）等。在计算问题中，除了需要运用等差（比）数列的基本知识外，常常需要分类讨论;在证明问题中，除了需要运用数列基本概念和性质之外，常常需要灵活运用数学归纳法、函数方程思想等。

最后，在核心素养考查上，涉及“计算”的问题，主要考查数学运算素养;涉及“证明”的问题，重点考查逻辑推理素养。当然，有些数列创新题还涉及数学抽象等其他核心素养的考查。

南京师范大学喻平教授在《数学核心素养评价的一个框架》[1]一文中将学生数学核心素养水平分成三个等级，即知识理解（一级水平）、知识迁移（二级水平）和知识创新（三级水平）。下面参考这个评价框架具体分析一道數列创新题：

若无穷数列{an}满足：只要ap=aq（p，q∈N*），必有ap+1=aq+1，则称{an}具有性质P。

（1）若{an}具有性质P，且a1=1，a2=2，a4=3，a5=2，a6+a7+a8=21求a3;

（2）若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列，b1=c5=1，b5=c1=81，an=bn+cn，判断{an}是否具有性质P，并说明理由;

（3）设{bn}是无穷数列，已知an+1=bn+sinan（n∈N*）。求证：“对任意a1，{an}都具有性质P”的充要条件为“{bn}是常数列”。

命题技术分析：这里定义了具有某种特殊性质的数列，并紧紧围绕这个性质设计问题。

第（1）问考查学生对“性质P”这个抽象概念的理解，涉及递推和简单的一次方程，这些都是对数学运算素养的考查，属于一级水平。

第（2）问需要运用等差和等比数列的通项公式，才能求出an=20n-19+35-n，考查数学运算素养。通过判断an+1-an的正负，研究数列{an}的单调性（a1>a2

第（3）问充分性的证明只需要理解“性质P ”的内涵即可，必要性的证明则需要借助反证法。假设{bn}不是常数列，则存在k∈N*，使得b1=b2=…=bk=b，而bk+1≠b。接下来的任务就是找到适当的a1，使得数列{an}不满足“性质P ”。考虑到{bn}的前k项为常数，可以构造a1=a2，即a1=b+sina1，而a1可以看成是函数f（x）=x-sinx-b的零点（由零点存在定理保证其存在性）。这样的a1得到的数列{an}满足a1=a2=…=ak+1，但ak+2≠ak+1。所以{an}不具有性质P。上述过程中，对“{bn}不是常数列”的数学抽象和表达，寻找“适当的a1”，这两大难点分别体现了对数学抽象和逻辑推理核心素养（三级水平）的考查。

【参考文献】

[1]喻平.数学核心素养评价的一个框架[J].数学教育学报，2017（2）：19-23，59.