用大观点引领数学教学——“新加坡第十三届数学教师大会”述评

陆 珺，鲍建生

用大观点引领数学教学——“新加坡第十三届数学教师大会”述评

陆 珺1，鲍建生2，3

（1．苏州大学 数学科学学院，江苏 苏州 215006；2．华东师范大学 数学科学学院，上海 200241；3．上海市核心数学与实践重点实验室，上海 200241）

数学教师大会是新加坡数学教师专业发展的重要活动．新加坡第十三届数学教师大会共设置7个主题报告，22个工作坊和9个专题报告．围绕“数学中的大观点”开展的主题报告和工作坊内容丰富多元，涵盖数学、教材、教学、评价等多个领域．新加坡数学教师大会这一专业发展活动形式，为广大研究者思考如何创立教师专业发展的品牌活动，持续稳妥地服务于区域性的广大数学教师带来启示．

大观点；数学教学；MTC；新加坡

1 MTC简介

数学教师大会（Mathematics Teachers Conference，简称MTC）是新加坡数学教师专业发展的重要活动，由新加坡南洋理工大学国立教育学院数学与数学教育学术组（Mathematics and Mathematics Education Academic Group，简称MME）和新加坡数学教育工作者协会（Association of Mathematics Educators，简称AME）共同主办，意在通过对话和工作坊的形式为新加坡数学教师和教育部的工作提供专业支持．其每年固定于新加坡中小学学期二和三之间假期第一周的周四举行．每届会议，来自新加坡各小学、中学、初级学院和其他学校（私立学校、国际学校、特殊教育学校等）的数百名数学教师共赴盛会，他们或是自愿报名，或由学校派遣．自2017年新加坡数学教师的专属最高荣誉——“数学卓越教学奖（Excellence in Mathematics Teaching Award，简称EMTA）”设立以来，MTC开幕式上便设置了一幕重头戏——公开表彰荣获EMTA的教师．该奖项的6人评选委员会由两位教育部专家，两位MME学者和两位AME成员组成，计划每年从全国各所学校推荐的候选教师中评选2~5位以出色的教学表现和专业水准赢得学生爱戴和同行尊敬的数学教师．

2 会议概况

第13届MTC在南洋理工大学国立教育学院举行，其7个主题报告和22个工作坊的主讲人是新加坡国内的20位学者和来自澳大利亚、加拿大、日本、美国、马来西亚的5位学者，另9个专题报告或由MME成员同新加坡教育部、南洋理工大学、国立大学的学者合作，或由一线数学教师、团队负责人等主讲，与会教师共计744人．主办方希望所安排的海外学者的报告有助于拓宽教师视野，更希望国内学者的报告能与教学产生直接的相关性和可行性，因而将大会主题定为“数学教学：数学中的大观点（Mathematics Instruction: Big Ideas in Mathematics）”．他们认为，大观点是在学生学习中居于中心地位的，且能将多样化的数学概念联结为统一整体的那些清晰的、主要的概念．借助中心概念的可视化，主题方面的一致与联结，以及水平之间的连续性，大观点可用于指导教师发展学生深刻稳定的数学理解．大观点之“大”是一种隐喻，意指其跨越主题和水平的范围之大．理解大观点是为了更好地教学，最终促进学生更好地学习．

广为人知的是，新加坡学生的数学成绩历来为世界所瞩目，其数学教学随之成为国际学界竞相研究的热点．那么，作为数学教师专业发展年度活动国家层面的MTC，自然不乏特色与价值．

3 主题报告

大会的7个主题报告中有一个面向全员的45分钟开场报告和面向小学、中学、初级学院数学教师的各两个55分钟报告．

3.1 开场报告

Jung Younbo奉献了题为“1+1=3：在第四次工业革命时代以交流的视角再看数学教育”的开场报告．他指出，当社会进入融合了心理世界和数字世界的第四次工业革命时代后，一些带有破坏性方法的新思想随之产生，并以技术革新的方式被运用到教育中，如虚拟现实的大量开放的在线“慕课”课程和人工智能型的数字家庭教师．这些技术对未来的教与学会产生什么结果与影响？紧跟技术进步的学习能否从根本上改变日常的课堂学习方式？教师将受到哪些影响？太多的问题在等待回答．他建议以交流的视角重新看待整个教育过程，使用一种包括发送人、收件人、信息和传输通道在内的基础性交流模型的通盘考虑的方法以代替着眼于局部过程的方法，才有助于思考什么是数学教育这一根本性问题，并更好地理解该如何引导教育改革．

3.2 面向小学数学教师的主题报告

来自澳大利亚的Chris Hurst认为要关注小学数学中的大观点，应突破内容按年级分配的线性的课程编排方式，采用一种有更多概念参与的教学方法来代替以往的程序化教学方法．他总结了遵循大观点编排的数学课程的教学优势：第一，教师对大观点内外的联系知道得越多，他/她的理解就越深刻，也就越有可能把这种联系清楚地教授给学生；第二，大观点之间相互联结的性质可以促进学习迁移并减轻记忆负担；第三，高效的教师知道如何使大观点跨越等级水平，从而与教学主题相联系，如何在各级水平上发展概念，以及如何将这些概念在先前和后续的等级上接轨．他的报告还强调教师要通过教学大的过程性观点来教学大的内容性观点，要思考小学数学中可能有哪些大观点，要注意识别用于支撑一些大观点的细微内容，要考虑基于大观点构建的课程的可能面貌．

Chan Chun Ming Eric援引教学大纲中“建立联系可视为观察和联结数学思想的一种能力”之说法，指出乘法中的基本思想可用于传达乘法性质的意义及讨论乘法、除法、面积和数字模式间的相关性概念，而识别数学概念的不同表征间的联系则会影响教学，使其转向于支持数学的有意义学习．

3.3 面向中学数学教师的主题报告

来自加拿大的David Wagner以“数学：面向负责任的公民”回应联合国提出的可持续发展目标框架．他认为数学教学的意义在于改变课堂的交流活动，重新考虑数学样例的背景和反思“对于数学而言，什么是最为必要的”．他认同那些郑重担负起社会和环境需要的数学教师为可能的第一步和后续步子所作的改变和反思，其整体是一个面临各种可能性的充满挑战的领域．

Chua Boon Liang探讨了解构大观点的视角与路径．他指出数学中的大观点，不论在帮助学习者发展对于数学内容的深刻认识方面，还是在帮助教师创造概念与技能之间的联结以使数学成为一致性观点的集合方面，都是必要的基础材料．学生在数学学习中需有大观点的意识，才不至于把数学简单地看成是一些不连贯的概念的集合．数学教师需理解这些大观点并转化到教学行动中．他还就如何进行大观点的概念教学为中学教师作了例证分析．

3.4 面向初级学院数学教师的主题报告

Koh Khee Meng是一位在新加坡备受喜爱的大学数学教师．他指出，在数学发展的历史长河中有无数的突破性思想，数系、三角函数、对数、笛卡儿坐标系、极限和微积分基本定理是属于A水平数学内容的突破性思想．他通过报告带领教师领略这些思想在数学发展中的重要性及其影响，以点燃听众的数学教学激情．

现任MME负责人Tay Eng Guan作了题为“教授数学：一个对大观点的适度呼唤”的报告．他呈现了一些贯穿在初级学院数学教学大纲中的大观点实例，如“解方程”包括求解线性、二次、联立、三角和微分方程等．事实上，学生应掌握的是所有这些方程通常包含单个变量，或被表示为一个数字区间，或为另一个变量的表达式，以及公式法中包括配方、因式分解等适量的代数处理．

4 工作坊

大会面向小学、中学、初级学院数学教师各开设8个、10个和4个工作坊，每个持续活动两小时．

4.1 面向小学数学教师的工作坊

Cheng Lu Pien通过系列活动的开展，将一些观点集中到如何清楚地学习数学这个问题上．现场教师在参与她设计的小学数学课堂的多样化任务实践中，逐渐将关注点转向其中的大观点和数学过程．

来自澳大利亚的Chris Hurst给予教师“动手”机会，通过思考小学数学中可能存在的大观点（先呈现已收集的不同人对大观点和/或关键性理解的建议），解构关键概念的数学内容知识，识别影响大观点的细微内容，举例说明大观点的发展及其是否为课程内容构成样例，在小组活动中探索一个大观点的发展等活动带领教师走近大观点．

Lim Li Gek Pearlyn与教师分享了一些有趣的教学观点，包括用与数学主题相关的魔术导入新课，用新闻或戏剧沟通数学与真实的生活，设计开放题以鼓励学生建构数学知识．

来自日本的Pauline Anne Therese M. Mangulabnan展示了日本小学数学课堂中两个体现探究长度与课堂合作的教学实例．她带领教师仔细观察这两则教学如何植入到需要的课程中以发展学生的概念知识和程序性数学技能．

来自美国的Padmanabhan Seshaiyer带来的观点是，若将数学建模作为一个大观点较早引入小学数学课程，不仅有利于提升批判性思维、创造性、协作和交流能力等21世纪的核心能力，且有利于STEM课程中跨学科主题的融合．他为教师讲解小学级别的数学建模过程，讲解如何培育学生的数学素养，如何在真实世界和数学之间建立联系，如何进行以学习者为中心的课堂管理等．

Cynthia Seto和Choon Ming Kwang讨论了大观点的3种不同类型：关于内容的大观点、关于领域的大观点和关于有效学习的大观点，帮助现场教师学习如何以大观点为教学焦点去引导学生将数学看作一致的、统一的整体而非零碎的知识片段，以及如何用大观点来反思个人的教学意图．

来自马来西亚的Teoh Kim Hong就如何提供用于促成数学知识联结的合适的任务作了分享．这些任务倾向于鼓励学生质疑，而质疑将引发学生为促进有意义学习中的理解而展开讨论．

Yeo Kai Kow Joseph认为等价是小学数学中的一个大观点，因为等价意味着可将看似不同的表征整合为实则相同的观点．他与教师分享该看法并呈现实例，另讨论教师为促使学生去探索与等价相关的所有对象而可在教学中开展的各种活动．

4.2 面向中学数学教师的工作坊

Choy Ban Heng事先通知教师带上最新版教学大纲，在介绍了一种用于支持学生观察和领会大观点的基于学科思维的四维度方法之后，他引导教师用该方法关注教学大纲中的大观点并为之设计相应的教学任务．

Dindyal Jaguthsing指出，因注意力常被引向程序性操作，学生总是仅关注怎么做而忽视为什么这么做，而后者对于发展他们用于观察不同概念之间联系的推理能力有重要影响．因此他建议使用一些易于理解的典型问题来促进学生的数学推理能力，如此才能为各级学业水平的学生实现发展程序性技能和增进概念理解的双重目的．

Leong Yew Hoong认为大观点之所以重要是因为其一旦被忽视，其它知识点都无法被理清．因此教师在开始某一主题的教学时，应尽早挖掘其中的大观点，且要不断扩大视阈，在教学大纲框定的其它主题中寻找这些大观点．这是教师目前需要强化的方面．

Low Leng认为教师需要在教学方法上作些改变，要将数学知识呈现为一个一致的、相互联结的知识整体．因此她强调了一些可用于不同内容背景的有效教学和学习的大观点，让教师探索如何用大观点串接不同的教学活动，以使学生获得内部联系更加紧密的数学主题知识．

来自日本的Pauline Anne Therese M. Mangulabnan给教师观看几位日本高中数学教师如何利用或独立或协作的探究来设计教学单元．这些设计巧妙地运用了不同的数学背景和经历来帮助学生增长主题知识．她提醒现场教师观看时特别留意其中的数学任务和在更新设计后的单元教学中与鼓励深度探究时学生的反应．

来自美国的Padmanabhan Seshaiyer将数学建模视为一个大观点，其包容开放性结论、提出问题的策略、创造力等多种特质且背景真实．他通过探究活动帮助现场教师理解数学模型在数学教与学中的重要性，区分数学建模与问题解决中的模式化数学的差异，并分享对两者都起决定作用的最优化的数学实践．

来自加拿大的David Wagner围绕联合国提出的可持续发展目标框架，讨论数学任务设计的原则，并使教师在小组合作中尝试基于这些原则去设计练习和做出评价．

Wong Khoon Yoong认为数学中的大观点或基本理解是共存于不同主题的核心概念和原则，如算术和代数中的等价，算术中的模式等，而类似的大观点同样存在于教师的教学方法和评价方式之中．因此他以中学数学课程中的统计为主题，带领教师探索其在数学、教学、评价3个不同领域中的大观点及其相互间的联系，以此丰富教师对数学教学内容知识的认知．

Yap Von Bing聚焦于经验性问题的数学建模教学，即在告知数据的基础上明确变量，要求学习者设计感兴趣的问题．在他看来，虽然问题的范围可能受到较多限制，但这是值得推广的任务，因为它不仅可与后续H2水平（新加坡初级学院的A水平数学分H1、H2和H3几种不同难度．H1内容最少，难度最低；H3最难，只为少数数学成绩突出的学生开设．）的概率模型接轨，还能使学生在统计和数据科学中得到更高级的训练．

Yeo Boon Wooi Joseph就如何在课堂教学中渗透大观点给出建议，包括怎样设计包容大观点的足够丰富的数学任务．现场教师通过小组合作对他的建议进行提炼，并就一些大观点在课堂教学中的具体渗透策略开展头脑风暴．

4.3 面向初级学院数学教师的工作坊

Ho Weng Kin认为计算不该是大多数教师和学生眼中琐碎、平凡的数学内容，而是一个可追溯至古代文明的数学中的大观点．他带领教师对计算何以是数学中的大观点以及如何欣赏A水平数学课程背景下的计算展开探索．

Victor Tan指出大多数的线性代数概念是彼此联通的，他以拓展课程的“矩阵和线性空间”主题为例，向教师展示如何使用几个大观点对该主题下的十几个子主题进行联结．

Toh Tin Lam为教师介绍了与数学有关的大观点，以及如何以一种既促进数学学习，又遵循大观点的方法来教授数学．他的方法聚焦于大观点，却不向学生的数学考试成绩妥协．其中所有的举例和例证都来自A水平数学中的微积分内容．

Zhu Ying为促进现场教师对有助于提升统计素养和统计思维的统计关键概念的理解，分享了她对一些主题的研究，包括哪种平均数的性能最优、变量的测量、假设检验、回归分析中的相关性和因果关系，如何用统计的眼光去了解世界，等等．

5 专题报告

大会共安排9个专题报告，每个45分钟，包括MME团队（其中少数成员是来自MME以外的高校或新加坡教育部的学者）的项目介绍，第一届EMTA的3位获奖者的经验分享，还有新加坡数学会和出版社组织的报告．

5.1 MME团队的项目介绍

现任MME学术带头人Berinderjeet Kaur代表她的研究团队与观众分享了在研项目——“新加坡中学称职教师的数学课程实施研究”的一些初步发现．该项目受新加坡教育部资助，包括“称职教师数学课程实施中的教学方法”和“称职教师数学课程实施中的教材使用”两项子研究．另探讨一个项目层面的研究问题：与Schoenfeld所推崇的充满数学味的课堂教学方法相比，新加坡中学称职教师的教学方法有何不同？研究手段包括视频拍摄和问卷调查两部分，预计有30名教师和600名学生参与到多机位和多角度的视频拍摄中，另有600名教师参与到自我报告式的问卷调查中，目前已有20名教师和300名学生参与了视频拍摄．

Lee Ngan Hoe所在团队承担的项目为“建构主义视角下新加坡中学数学课程的学习设计”．他们认为，采用建构主义视角下的学习设计，不仅可观察与中学数学教学大纲对应和与教学目标对应的学习设计的二阶段发展过程，还可观察教师知识的发展过程．他们在报告中分享了一则已完成的设计任务，并为教师展示使用过程，以便为在中学数学课堂内开展建构主义视角下的学习设计提供一些参考．

Toh Tin Lam领导了一项由新加坡国立教育学院资助的“A水平微积分教学研究”．该研究目的包括：了解学生在不同学习阶段的A水平微积分知识情况；了解讲座、个别辅导、课堂教学等不同形式下的微积分教学方式；了解教师对A水平微积分内容的理解及其教学信念，终极目标是要基于已有文献中的相关研究和对当前微积分教学情况与现实教学约束下的理想情况间的差距的认识，去发展一个微积分教学模型．

Choy Ban Heng团队的项目是“加强教师的数学学习经验与其数学教学的融合”．他们认为，这种融合首先是教学方法层面的需要，教师应将教学实践转向更为互动的形式，通过思维构建来发展学生的数学能力．项目的诞生源于数学任务设计中丰富的数学学习经验和充分的数学讨论的需要，以及评价学生的推理能力并反映其思维方式的需要．他们通过该项目提议，为小学数学教师加强数学学习经验与数学教学的融合而发展一个全新的学习框架．借助报告，他们分享了关于这一提议的初步想法，以期获得现场教师的一些反馈．

5.2 EMTA获奖者的经验分享

来自CHIJ（Kellock）小学的Arif Hong Chu Sen为小学数学教师带来“形成性反馈与学生参与”的报告．她先引用John Hattie的“在为掌握目标的从容教学中，在反馈的获得与找寻中，在积极、热情、痴迷的学习过程中”这一表述来解析可视化教与学可能发生的时刻，后与教师分享如何使用形成性评价中的反馈来呈现可视化的教与学，以及如何转化学生的学习策略以促进概念理解．

来自Yuan Ching中学的Chew Chong Kiat为中学数学教师带来“给予反馈”的报告．他指出，学生通常只知订正错误而不去关注教师反馈，而教师往往也不清楚自己的反馈能对学生产生多少帮助．仅有的反馈，不外乎是些“√”与“×”，分数与等级．即便是稍有一些具体评语，大部分也是针对结果，少有能关注过程或触动学生的．他在报告中就如何利用Hattie提出的4种反馈水平来指导反馈作了分享，以帮助现场教师理解在数学教学中有效使用每一级反馈水平的时刻与方法，以及需要借助的辅助手段和方法．

来自St Andrew’s初级学院的Eng Kai Seng为初级学院数学教师带来“Eng老师，您肯定是开玩笑吧？”的报告．他与现场教师分享自己身为数学教师的诸多快乐瞬间，令听众惊讶于看似无法快乐的场合何以能产生快乐，从而去搜索自己教学中的快乐瞬间．他希望通过该过程让现场教师明白：数学教师的快乐其实远多于自己的想象，并且这种快乐是能够被传递的．

5.3 新加坡数学学会的报告

与应试学习不同，课题研究是为训练学生的创造性工作能力，因而数学课题指导不同于传统的课内教学．在新加坡数学学会组织的“谈谈中学数学研究课题的指导——再看获奖选手与联赛”的报告中，来自国家初级学院的课题指导者与其学生一同向观众展示了他们获得的2018新加坡数学节银奖的数学课题．在课题指导教师分享课题指导经验后，新加坡数学节的组织者还具体介绍了新加坡的数学课题竞赛．

5.4 Marshall Cavendish出版社的报告

Michelle Choo曾是一位小学数学老师，现在是Marshall Cavendish出版社的数学教辅用书策划人．她以“共赢的合作伙伴：在数学教学中与家长合作”为题作了专题报告．她指出，实证研究已证明来自家长的支持与家长对待数学的态度，与孩子的数学成绩存在着正相关．很多家长都渴望能够把控孩子的学习路径，监控学习进度，给予必要的引导和数学学习资源方面的支持．然而通常情况下，家长的做法都比较愚蠢．她在报告中讲述了通过深度访谈获知的家长在渴望给予孩子数学学习帮助时的挣扎与痛苦，促使他们将研究聚焦于家长能够给予何种支持以及如何辅导家长尽可能地了解数学学习，以便为孩子提供真正的帮助．她号召现场的教师加入他们的团队，一起帮助家长成为那个有能力在孩子数学学习道路上给予充分鼓励和支持的人．

6 特色与启示

曾有中国学者谆谆告诫：“数学教学要把握大观点和核心概念．以大观点和核心概念统帅数学教学过程，是数学教学的又一个特色之处，也是‘教与数学对应’原理的具体体现……教师要创造性地教，就不但要研究学生的学，更要研究数学，把握教材．把握数学和驾驭教材的前提，是把握数学的大观点和核心概念．”[1]因而，第十三届MTC主题鲜明与立意深远是值得肯定的．所有主题报告和工作坊均围绕大会主题而展开，众多主讲人的学术背景与研究视角之差别使得研究成果丰富多元，宏观的方向引领或细微的教学指导涵盖数学、教材、教学、评价等多个领域．反观国内，虽然“大观点”一词于研究者们并不陌生，但不论是在学界还是一线，似乎都未曾深入人心，这是需要反思的．

MTC是一面折射新加坡数学教师专业发展活动样貌的镜子．会议的29个主题报告和工作坊中，9个海外学者专场占比近1/3，一天日程内便为一线教师提供诸多与海外学者面对面交流的机会，可见MTC本身是教师发散思维，开阔视野的平台．再从一线教师与专家学者轻松平等地交流并给予积极热情的反馈来看，类似的专业引领与学术共享似已成为家常便饭．此外，专题报告内容亦颇为丰富．MME团队的项目介绍让教师有机会了解和学习国内高校学者的在研项目；EMTA获奖者的经验分享为教师近距离地传递榜样的力量；数学学会与出版社的报告令教师感受到专业团体的存在及其触手可及的服务．这一切无疑都是教师专业发展的助推力，且年复一年地供给着新加坡数学教师．

总之，新加坡优质的数学教育支撑起MTC的文化传承，MTC继而滋养其数学教育百尺竿头．那么，对照这个560万人口的城市国家，在国内拥有等量人口的教育发达地区的城市里，学习新加坡人务实高效的精神，创立类似的数学教师专业发展活动，持续稳妥地服务于区域性的广大数学教师，或许是广大学者可为亦应为之事．

致谢：文章写作得到新加坡南洋理工大学国立教育学院数学与数学教育学术组教学助理Wong Lai Fong女士的热情帮助，在此表达诚挚谢意．

[1] 涂荣豹，王光明，宁连华．新编数学教学论[M]．上海：华东师范大学出版社，2006：68．

Using Big Ideas to Guide Mathematical Teaching——A Summary of the 13thMathematics Teachers Conference in Singapore

LU Jun1, BAO Jian-sheng2, 3

(1. Soochow University, School of Mathematical Sciences, Jiangsu Suzhou 215006, China;2. School of Mathematical Sciences, East China Normal University, Shanghai 200241, China;3. Shanghai Key Laboratory of Pure Mathematics and Mathematical Practice, Shanghai 200241, China)

The Mathematics Teachers Conference (MTC) is an important professional development activity for Singapore mathematics teachers. There were seven keynote lectures, twenty-two workshops, and nine special sessions at the 13th MTC. All the keynote lectures and workshops focused on the theme of “big ideas in mathematics” and had abundant and varied content which covered several domains, such as mathematics, textbooks, instruction, evaluation, and so on. The form of professional development activity of the MTC in Singapore helps us to think about how to conduct effective professional development activities for teachers so as to serve local mathematics teachers in an ongoing basis.

big ideas; mathematical teaching; MTC; Singapore

G

A

1004–9894（2020）05–0098–05

陆珺，鲍建生．用大观点引领数学教学——“新加坡第十三届数学教师大会”述评[J]．数学教育学报，2020，29（5）：98-102．

2020–02–10

上海高校“立德树人”人文社会科学重点研究基地、上海数学教育教学研究基地2016年度重点项目——数学教师的实践知能和教师专业发展者的现状调查（16048/002）；上海市科学技术委员会资助课题——核心数学与实践（13dz2260400）

陆珺（1984—），女，江苏苏州人，博士，主要从事数学课程与教学论研究．

[责任编校：周学智、陈汉君]