一个导数问题的两种方法

孙孟

导数及其应用是高考考查的重点知识，此处命题题目难度大，难度体现在知识容量大，思维逻辑性强，题目变化多样，学生在学习和考试中往往遇到很大困难，但是在变化万千的题目中也是有规律与方法可遵循的，掌握一些处理题目的方法，可以有效的解决很多导数问题。

方法一：分析：此题目为恒成立问题，我们研究的最小值，而对于最小值的研究可以利用导数进行。

证明：（我们需要判断与0的大小关系，从而得到的单调性，进而解决的最小值，但此题中不可解，但我们可以用的二阶导函数来研究的与0的大小关系。）

总结：此题用上述方法进行处理的困难在于函数存在极值点，但我们无法通过方程进行求解，无法求出极值点就很难判断导函数与0的关系，就无法研究函数的单调性，从而难以解决函数的最值问题，所以我们要通过对的性质的研究（借助）及函数零点存在定理，得到存在极值点，得到的单调性，从而解决其最值问题。这种一阶导函数与0的关系不能直接得到，需要二次求导及利用函数零点存在定理得到极值点存在，并利用极值点是导函数对应方程的解对原函数的最值进行化简整理已达到题目的要求的方法，我们称之为“零点反代”。这种处理导数问题的思路在现在导数问题的研究中经常会遇到。

总结：此题的处理方法就是利用的方法一，完全按照方法一进行的求解，处理这一类问题一定注意要有目标，要清楚自己要完成什么目标，条件提供给我们什么信息，这是我们完成一个数学问题的重要思维方法，也是我们分析解决数学问题的一种重要方法----分析法。

总结：此题主要应用了二次求导与零点存在定理对问题进行处理。此题在高考中学生做得相对来讲比较差，一个重要的原因是将三角函数与对数函数组合在一起进行了考查，学生感觉比较陌生，另一个重要原因学生缺乏解决问题的思路，不会思考问题，没有目标意识，没有解决问题的思路，从此题来看不管题目是以什么样的背景呈现，一类题目解决问题的思路方法是一致的，我们既要教会学生如何思考问题，也要交给他们具体问题解决方法。

总结：此题难度相对前几个题目较大，但是整体的思路做法都符合处理此问题的一般方法，此题的难点还在于更精确的确定一下的范围，若有必要我们要用二分法精确一下的范围，在最后求的取值范围时，要有目标意识，也可注意的取值范围问题。

这些不等式的证明方法都是一样的，这里就不再一一证明。这些不等式揭示了不同函数之间的大小关系，所以我们可以利用这些大小关系来比较不同类型函数的大小。

2020年山东高考导数大题的21题第二问对很多考生来讲比较困难，现在很多人也研究了此题目提出了各种各样的解法，有很多方法设计思路十分巧妙，这里就不再一一陈述。下面提出两种方法仅供参考，这两种方法是根据上面的方法一与方法二进行的求解。

综上：

总结：此题用法1就是利用了“零点反代”的思路进行了处理，除了此处为难点，另一处难点在于直接求很难处理，把表示为的函数，利用题目中的关系利用解函数不等式的方法先解出的取值范围，再利用函数求值域的方法解出的取值范围。过程较为繁琐，思维含量高，不过流程性很强，并不难掌握。法2就是利用了指數函数与一次函数之间的不等关系，寻求了一个中间量，让中间量先满足条件，保证原式满足条件，但是注意此处并不等价，还需要一个检验的过程。

总体而言，导数及其应用作为高考必考内容，思维含量大，而数学的本质就是思维，因此导数问题一直是高中数学学习及高考的重点知识，而一个数学老师应该提高学生的思维能力，老师在讲解导数问题时应该“讲道理”，应当体现数学思维，给学生一种思路，一种通法，能够解决一系列问题。以上两种解决导数问题的方法在高考中的应用比较多，规律性也比较强，是学生通过学习可以掌握的方法。

（作者单位：山东省博兴县第三中学）