对杆影变化规律确定时间及地点的研究

张存龙 闫晶晶 柳舒

【摘 要】如今，人工定位方法多种多样，如GPS、北斗系统，但相对于复杂且昂贵的卫星技术，利用太阳影子定位则成为行之有效的方式，所以视频、图片的数据分析对于影子定位有无可替代的意义。我们团队利用Matlab软件对视频和数据进行提取和拟合处理，建立影子长度—太阳高度角模型，用来依据图片和视频甚至数字准确定位出相应的地理位置。

【关键词】控制变量法;最小二乘法;非线性拟合;灰度处

1问题分析

根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。在推测的影长与时间的关系的基础上，利用二次曲线拟合逼近杆影长度变化的动态过程，得到影长与时间的关系模型，杆所在地为正午12点时影长最短，结合标准时间和北京经度，得到杆所在地的经度。根据附件1中所给数据计算出赤纬，利用直杆顶点坐标数据和对应时间，利用Matalab进行非线性拟合得到杆长和纬度。

2 符号说明

3 模型建立与求解

同一地区不同时间的影子长度不同，影子长度总是随着随着时间的变化而变化。通过搜集的资料和直杆高度、影长和太阳高度角三者之间的数学关系可得出同一地区影子长度变化的数学模型。通过matalab对附件1中的数据进行二次曲线拟合得到影长与时间的关系模型，求得直杆所在地的经度，再通过matalab进行非线性拟合求得直杆的长度和所在地的纬度，从而确定了附件1中直杆所在位置。

3.1 拟合确定经度

对于问题二，将附件1中的数据加以处理，得到杆影长度随时间变化的散点图，利用二次曲线拟合逼近杆影长度变化的动态过程，最终估计出影长与时间的二次方程，得到从上午9点到下午4点影长随时间变化的完整图像，进而得到2015年4月18日的当地正午时间对应的北京时间，根据公式可计算得杆所在的经度。附件1中已知影长顶点坐标，以直杆底端为坐标原点，利用两点之间距离公式求得影子长度为：

利用MATLAB将上表中的数据按二次曲线进行拟合，使用最小二乘法确定拟合方程为：l1=0.1489t2 1-3.7519t1+24.1275（其中l1为附件1中杆影长度，t为附件1中的当地时间〉利用MATLAB绘制出上午9点至下午4点的影长随时间变化的圖像如下所示：

影长最短即上图最低点。对应的时间为杆所在地的正午时刻，可以求得图中影长，最低点对应的横坐标，即北京时间约为t2=12.59。α1=α0-（t0-t1）15（表示杆所在地经度，表示北京的经度，表示杆所在地的地方时，表示北京时间α1表示杆所在地经度，α0表示北京的经度，-t1表示杆所在地的地方时，-t2表示北京时间）计算可得杆所在地的经度为东经111度0分59秒。

3.2 拟合确定纬度

由附件1得测量日期为2015年4月18日，即日期序数N=108，利用下述公式：

δ=0.006918-0.399912*cosb+0.070257*sinb-0.006758*cos（2b+0.000907*.sin2b-0.002697*cos3b+0.00148*sin3b

（π=3.1415926为圆周率;b=2*T*3）可以求得太阳赤纬角β=0.058605π（单位rad）将太阳赤纬角β代入太阳高度角公式：⑥

sinh = sinα * sinβ + cosα * cosβ * cosω再将求得的太阳高度角的正弦值代入影长与杆长的三角函数关系式：⑦根据以上两式以及附件1中的直杆顶点坐标数据和对应的时间，运用Matlab进行非线性拟合，得到直杆长度d=1.9108m，以及若直杆位于太阳直射点以北，可能所在纬度为北纬17度43分1秒。根据对称性，可以求得若直杆位于太阳直射点以南，可能所在纬度为ψ2=2β-ψ1=3度22分50秒

综上所述，我们可以确定直杆可能所在位置为北纬17度43分1秒，东经111度0分9秒，位置大概在中国三亚（北纬3度22分50秒，东经111度0分9秒），大概位于中国曾母暗沙。

杆所在经度α作为常数参量进行估计，得到数值：d=3.0409m，ψ=0.5748rad，β=-0.2762rad，α=110.2438°计算得N=308。整理得到直线所在地为北纬32度56分9秒，东经110度14分37秒，大致位于湖北省十堰市附近;根据对称性可得另一位置为南纬64度35分17秒，东经110度14分37秒，大概位于南极洲附近的海域，结合实际情况可舍弃。假定直杆测量的所在年份为2015年，则具体日期为2015年11月24日。

若测量影子的日期未知，可以先通过与上述相同的截取图像、灰度处理、坐标系转化的方法获得各个时刻的影长和对应的时间模型，然后利用同样的模型和求解方法，可以获得杆所在的位置以及测影长的日期。

参考文献：

[1]李坤，周世斌，朱佳明，张国鹏.多时间维度信息融合的图像描述方法[J/OL].小型微型计算机系统：1-13[2021-01-08].

[2]刘付桂兰.基于MATLAB图像处理技术及应用[J].科学技术创新，2020（35）：64-67.

[3]吕鹏.基于Qt的摄像信息处理系统[J].电视技术，2019，43（18）：74-75+78.

（作者单位：华北理工大学）