一元函数的凹凸性在证明不等式中的应用

吴建军 刘晶

【摘要】函數的凹凸性是函数的重要性质之一，它描述和刻画的是函数图象的弯曲程度。本文首先介绍了描述函数凸性的四种定义，其次对函数凹凸性的相关性质进行了讨论，总结了函数凸性的判别法和凸函数的一些重要的性质，得到了几个关于函数凹凸性的命题，并对函数凹凸性的应用进行了研究，最后简要地给出了函数凸性在证明不等式方面的一些应用，利用函数凹凸性的定义证明了几个重要的不等式。

【关键词】凹凸性;可导;单调;连续

【基金项目】本文系省级课题“基于核心素养理念下的数学史知识在高中数学课堂教学中的运用研究”（课题编号：GS〔2017〕MSZX141）。

函数是基础数学研究的一个重要组成部分，更是高中数学教学研究的中心课题，了解和掌握函数的内在本质就需要我们从“数”和“形”两个方面去探究和分析。在具体的研究实践中，我们更多的是通过研究函数的基本性质去刻画和描述函数的图象，再通过观察函数的图象发现更多的更加深刻的函数的基本性质。函数的凹凸性作为函数的基本性质，它反映在函数图象上就是曲线的弯曲方向。探究和分析函数的凹凸性，可以较好地掌握函数对应曲线的性状，所以深入研究函数的凹凸性对于我们掌握和了解函数的整体性质和图象具有不可替代的重要意义。

一、下凸函数的几种定义

1.下凸函数的定义1

定义1 设函数在区间 I 上有定义， f（x） 称为 I 上的下凸函数当且仅当，有，若不等号严格成立，则称 f（x） 是 I 上的严格下凸函数.

2.下凸函数的定义2

定义2 设函数在区间 I 上有定义， f（x） 称为 I 上的下凸函数当且仅当，有

若不等号严格成立，则称 f（x） 是 I 上的严格下凸函数.

3.下凸函数的定义3

定义3 设函数在区间 I 上有定义， f（x） 称为 I 上的下凸函数当且仅当曲线 f（x） 的切线保持在曲线之下.若除切点之外，切线严格保持在曲线的下方，则称 f（x） 是 I 上的严格下凸函数.

二、 判定函数凸性的方法

定理1.1.设函数在区间 I 上有定义，则以下条件等价（） ：

〈Ⅰ〉 f（x） 在 I 上为下凸函数; 〈Ⅱ〉;

〈Ⅲ〉; 〈Ⅳ〉;

〈Ⅴ〉 曲线y= f（x） 上的三点A（，f（））， B（，f（））和

C所圍的有向面积.

（对严格的下凸函数有类似的结论，只要将“≤”改为“<”即可）

证明：10. 〈Ⅰ〉〈Ⅱ〉：对 I 中任意，根据下凸函数的定义，条件〈Ⅰ〉等价于≤.另一方面，将条件〈Ⅱ〉中的不等式乘以，移项变形，可知其等价于

可见，，令=，则，于是，，從而由 〈Ⅰ〉可推到<Ⅱ〉 .

反之，λ（0，1），若令，则，故 〈Ⅰ〉〈Ⅱ〉 。

20.类似可证〈Ⅲ〉， 〈Ⅳ〉与〈Ⅴ〉等价。

30.证明〈Ⅱ〉与〈Ⅴ〉等价。将〈Ⅱ〉中的不等式乘以并移项，可知〈Ⅱ〉中的不等式等价于：，此即：

命题1.2. f（x） 是区间 I 上的下凸函数，则对 I 的任意内点，其单侧导数都存在，且都为增函数，且，（），（其中是 I 的内部）.

定理1.3.设函数 f（x） 在区间 I 上有定义，则 f（x） 为 I 上的

下凸函数的充要条件是：，.

证明：（必要性）：因下凸函数，由命题1.2，可知，存在且单调递增且趋于。由此任取，則时有 f（x）（）+ f （）;同理，当取，则时有f（x） ≥a（x-x0）+ f（x0）.因，故对任意的：

恒有 f（x）（）+ f（）。

（充分性）：设是区间 I 上的任意点。由已知条件，对存在，使得 f （x）（）+f（），.由此，令 x=和x=，可得：

，由定理1.1知 f（x） 為下凸函数.

推论1.4.设 f（x） 在区间 I 内可导，则 f（x） 为 I 上的下凸函数的充要条件是：，.

注：由此可见，若 f（x） 可导，则下凸函数的定义1，2，3等价.

定理1.5 .设 f（x） 在区间 I 上有导数，则 f（x） 在 I 上为下凸函数的充要条件是：单调递增（）.

证明：10.（充分性）（不妨设）及（0，1）.記来证

即： （1）

（1）式等价于

（2）

应用Lagrange中值定理，，使得

但

故〈2〉式左端

（3）

由已知單调递增，知从而〈3〉式. （1）式得证.

20.（必要性）据命题3.2，在内单调递增，因存在，故亦在内单调递增，若 I 有右端点 b ，按已知条件 f 在 b 点有左导数，易知同理，若 I 有左端点a，则由此得证 f（x） 在 I 上是递增的.

定理1.6.若 f（x） 在区间 I 上有二阶导数，则 f（x） 在 I 上为下凸函数的充要条件是：.

证明：可由定理1.5及函数单调性的充要条件推出。

三、函数凹凸性的若干性质

性质3.1 若（x）在区间 I 上为下凸函数，则 I 上任意三点x1.

证明：由定理1.1易得证。

注：对曲线y=f（x）上任意一弦AB，若用KAB表示弦AB的斜率，点.則上不等式的几何意义为KAB

性质3.2：若（x）在区间I上为下凸函数，则过点的弦的斜率是x的增函数。（若 f 为严格下凸的，则严格的单调递增）。

性质3.3：若是区间 I 上的下凸函数，则 I 上任意四点，有。（若 f 是严格的下凸函数，则取“<”）

性质3.4：若 f（x） 在区间 I 上为下凸的，则 f 存在任意内点上连续。

证明：由命题1.2知，与存在，故 f 在 x 处左右都连续。

性质3.5：若在区间 I 上为下凸的，则，在曲

线上一点可做一条直线L：，使曲线位于的L上方。

注：若为严格的下凸函数，则除点之外，曲線严格的在直线 L 的上方，这是著名的分离定理，也是可导下凸函数的几何特征，而直线 L 称为 y=f（x） 的支撑。

四、利用函数的凹凸性证明不等式

例1.（Jensen不等式）设 f（x）为[a，b]上的连续下凸函数，证明对于任意的，，成立.

证明：应用数学归纳法.当k=2时，由下凸函数定义知Jensen不等式成立.

现假设当k= n-1时Jensen不等式成立，则当k=n 时，

所以，Jensen不等式对一切正整数n成立.

例2.证明不等式对于正数a，b，c成立.

证 ：设

所以在下凸，因而

利用平均值不等式，得到

即

命題得证.

五、结语

本文通过对函数的凹凸性定义的梳理和刻画，对函数的凹凸性作了深入的探索，通过对凸函数的一些重要性质的刻画，让学生对函数的凹凸性有了更深层次的认识。这对于学生今后认识和学习新的函数，无疑具有重要的意义。本文对函数凹凸性的应用方面的探索也是极富意义的，通过函数的凹凸性证明了数学中的若干重要的不等式，这对于开拓今后的数学研究者思路和思维，也具有积极的借鉴意义。

【参考文献】

[1] 顾荣 .函数凹凸性定义的探讨[J].佳木斯职业学院学报，2010（06）：299.

[2] 罗志斌，曾菊华.关于函数凹凸定义的一个注解[J].赣南师范大学学报，2005，26（3）：106-109.

[3] 华东师范大学数学系 .数学分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.